Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12

 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tốn 12 
  
  1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
I. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 
Phương pháp: 
 Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau: 
 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 
 Bước 2: Tính đạo hàm y’ 
 Bước 3: Giải phương trình y’=0 
 Bước 4: Tính các giới hạn ( nếu cần). 
 Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ đĩ, đưa ra kết luận. 
 Chú ý: Trong trường hợp phương trình y’ = 0 vơ nghiệm, tức là hàm số luơn đồng biến hoặc nghịch biến, ta cĩ thể bỏ 
qua bước 5 ( lập bảng biến thiên ). 
Ví dụ: 
 Ví dụ 1: Cho hàm số (C ): y = 2x3 -3x2 + 1 
 a. Khảo sát sự biến thiên của (C ) ? 
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2x3 -3x2 –m = 0 (1) 
 Hướng dẫn: 
a/ - Miền xác định: D = IR 
 - Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x , Giải phương trình: y’=0 6x2 – 6x = 0 x=0 v x= 1 ( nhận) 
 -Giới hạn: 

y
x
lim và 

y
x
lim 
 - Bảng biến thiên: 
Vậy: * Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0) và (1; ) 
 * Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) 
b/ Viết lại phương trình dưới dạng: 2x3 -3x2 + 1 = m +1 
Khi đĩ , số nghiệm của phương trình bang số giao điểm của (C ) với đường thẳng (d): y = m +1. 
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận được kết luận: 
 * Với m + 1 < 0  m < -1: Phương trình (1) cĩ một nghiệm 
 *Với m +1 = 0 m =-1: Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt 
 * Với 0<m+1<1  -1<m<0: Phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt 
 * Với m+1 = 1  m = 0: Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt 
 * Với m +1 >1  m > 0: Phương trình (1) cĩ một nghiệm. 
Áp dụng: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x- (m2 -1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cắt 
trục Ox tại 3 điểm phân biệt với hồnh độ dương. 
 Giải 
 Miền xác định: D=IR , y’=3x 2 -6mx+3(m2-1) 
 Δ ’ = m 2 - m 2 +1=1>0, với mọi m 
 y’=0  xmax = m-1, xmin = m+1 
Để phương trình(1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt khi và khi: 





















 213
0)1(
01,01
0)12)(3)(1(
0.
0,0
0,
0'
2
222
minmax
minmax
m
m
mm
mmmm
da
xx
yy
 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tốn 12 
 Ví dụ 2:Cho hàm số 
x 3
y
x 2



 cĩ đồ thị (C) 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai 
điểm phân biệt 
 Giải: 
1/ - TXĐ D=R\ 2 
- 
2
;
)2(
1


x
y >0 với mọi x D 
- TCĐ x=2 vì 
  22
lim;lim
xx
yy 
- TCN y= 1 vì 1lim 
x
y 
- Bảng biến thiên: 
x=0 => y=3/2 
y=0 => x=3 
2/ Phương trình hồnh độ của (C ) và đường thẳng y mx 1  : 
x 3 2
mx 1 g(x) mx 2mx 1 0 , x 1
x 2

       

 (1) 
Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 2 
 







02
0
0
2;
g
mm
m









01
10
0
mm
m
 10  mm 
Áp dụng: Cho hàm số 4 2
1
y x 2x
4
   cĩ đồ thị (C) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cĩ hồnh độ x0 thỏa  0y '' x 1 
 Giải: 
a/ 4 21y x 2x
4
   , TXĐ: D  R , 
3y' x 4x   , 3
x 0 y 0
y ' 0 x 4x 0
x 2 y 4
  
     
   
- Giới hạn: 
x
lim y

  ; 
x
lim y

  
Bảng biến thiên 
x −∞ −2 0 2 +∞ 
y' + 0 − 0 + 0 − 
y 4 4 
−∞ 0 −∞ 
*Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−2) và (0;2). 
*Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−2;0) và (2;+∞) 
*Hàm số đạt cực đại tại x 2  , yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0 
*Điểm đặc biệt:    2;0 ; 2;0 
b/Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cĩ hồnh độ x0 thỏa  0y '' x 1 
3y' x 4x   , 2y'' 3x 4   
2
7
x 1 y
4
y '' 0 x 1
7
x 1 y
4
   
   
   
  1
2
x 1 k 3
x 1 k 3
  
    
 Pttt: 
5 5
y 3x ; y 3x
4 4
     
4
2
x
y
O 2-2
 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tốn 12 
  
  2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
I. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số 
Phương pháp: 
 Bước 1: Tìm TXĐ 
 Bước 2: Tính y’ 
 Bước 3: Giải phương trình y’ = 0 
 Bước 4: Lựa chọn một trong 2 hướng 
 Hướng 1: Nếu xét dấu được y’ thì lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận vào định lý: 
Định lý i: Nếu hàm số y=f(x) cĩ đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc 
 (a;b). 
 a. Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại xo 
 b. Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x0 
 Hướng 2: Nếu khơng xét dấu được y’ thì : 
 Tìm đạo hàm bậc hai y’’ 
 Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý: 
 Định lý ii: Nếu hàm số y=f(x) cĩ đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc 
 (a;b). 
a. Nếu y’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 
b. Nếy y’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu đại điểm x0 
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số 28 xy  
 Cách 1: 
Ta cĩ điều kiện: => D= [ ; ] 
Đạo hàm: 
 y’= 
 y’=0  => x = 
Bảng biến thiên: 
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = và đạt cực đại của hàm số là f( ) = 
 Cách 2: 
Ta cĩ điều kiện: => D= [ ; ] 
Đạo hàm: 
 y’= 
 y’=0  => x = 
Ta cĩ: y’’ = => y’’(0) < 0 
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = và giá trị cực đại của hàm số là f( 0) = 
 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tốn 12 
 ***_-_*** 
 QUY TẮC QUAN TRỌNG TRONG BÀI TỐN CỰC TRỊ 
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm cực trị, nếu cĩ, của hàm số: 
 Y = (1+cosx).sinx 
2. Tìm cực trị, nếu cĩ, của hàm số: 
2
32
cossin3


x
xxy 
Đáp án: 
1. 
- Miền xác định: D= 
- Đạo hàm: y’ = 
 y’’= 
* y’=0  
Ta cĩ: 
 Với x = ta nhận được: y’’( ) = 0 
 => x= khơng phải là điểm cực trị của hàm số 
 Với x = ta nhận được: y’’ ( ) < 0 
 => Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = , k thuộc Z 
 Với x = , ta nhận được: y’’( ) > 0 
 => Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = , k thuộc Z 
BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN TUẤN 
THPT TÂN HIỆP – CHÂU THÀNH- TIỀN GIANG 
1. Hàm số cĩ cực trị  hệ sau cĩ nghiệm thuộc D 





0''
0'
y
y
2.Hàm số đạt cực tiểu  hệ sau cĩ nghiệm thuộc D 





0''
0'
y
y
3.Hàm số cĩ cực đại  hệ sau cĩ nghiệm thuộc D 





0''
0'
y
y
4. Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là: 







0)('' 0
0
0
xy
hantoiđiêilàx
Dx
5. Hàm số đạt cực đại tại x0 điều kiện là: 







0)('' 0
0
0
xy
hantoiđiêilàx
Dx
Ngồi ra, với hàm đa thức y = f(x) thì điều kiện để 
“Hàm số đạt cuực trị tại điểm x0” là 





0)(''
0)('
0
0
xy
xy