Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT môn Toán

UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm có 1 trang)
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 15/12/2016
Thời gian làm bài: 180 phút.
 Họ tên thí sinh:.. 
 Số báo danh:............ Phòng thi:
Câu 1:(4,0 điểm) 
Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số . 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. (m là tham số)
Câu 2: (4,0 điểm) 
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu 3: (4,0 điểm).
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện .
Anh B vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà và được hưởng lãi suất ưu đãi là 0,5% một tháng. Anh B trả ngân hàng theo phương thức trả góp, mỗi tháng trả 5,5 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh B sẽ trả hết số tiền vay? (làm tròn đến số nguyên).
Câu 4: (2,0 điểm).
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình vuông có đỉnh . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh và . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông , biết thuộc đường thẳng và là giao điểm của và .
Câu 5: (4,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và DC. 
 a) Tính thể tích khối tứ diện SMCN.
 b) Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (SBN). 
Câu 6 (2,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của .
b) Cho các số thực dương x, y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
------------------------Hết --------------------
UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2015-2016
Hướng dẫn chấm môn: Toán
Ngày thi: 15/12/2015
Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang, 06 câu.
Câu
Nội dung
Điểm
1a.
Txđ: 
0,5
Xét giới hạn , suy ra đt là TCN.
0,5
Xét giới hạn , suy ra đt là TCĐ.
KL: .
1,0
1b
Để hs có CĐ, CT điều kiện cần và đủ là: có hai nghiệm phân biệt.
0,5
 Tính được 
0,5
Tính được 
0,5
. Vậy là giá trị cần tìm. 
0,5
2a
 Điều kiện: 
0,5
Với điều kiện trên: 
0,5
0,5
. Vậy tập ng của phương trình đã cho là 
0,5
2b
Từ pt (1) ta có: 
0,5
Xét hàm số 
 Hàm số đồng biến trên R. Suy ra 
0,5
Thay 2y = x+1 vào pt (2) ta được: 
0,5
Giải tìm được x = 0; x = -1; x = -2, 
từ đó tập nghiệm của hpt là: 
0,5
 3a
TH 1 : Nếu a=b<c có =36 số thỏa mãn
TH 2 : Nếu a<b=c có =36 số thỏa mãn
TH 3 : Nếu a=b=c có =9 số thỏa mãn
1,0
TH 4: a < b < c có =84 số thỏa mãn
Vậy có 165 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1,0
3b
Lập luận để tìm ra công thức tổng quát 
Sau tháng thứ
Tiền gốc
lãi
trả
số tiền còn vay
1
a
2
a
3
a
..
n
..
.
a
 =
1,0
 Để trả hết tiền sau n tháng thì
Từ đó ta có pt: 
0,5
Thay A=300; a=5,5 ta được phương trình: 
Giải ra ta được tháng.
0,5
Câu4
Chứng minh được
0,5
AH đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến
 tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
0,5
Đường thẳng BC đi qua B(3 ; 3) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến, suy ra .
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
0,5
Ta có . 
0,5
5a
Gọi H là trung điểm của AD, suy ra , lại có: 
0,5
Chiều cao của khối chóp là : 
0,5
 Ta có tỷ số thể tích 
0,5
.Diện tích tam giác BCN là : 
0,5
5b
Vì tam giác SAB cân tại A nên 
0.5
Ta chứng minh .
Gọi E là trung điểm của BC, suy ra AE cắt BH tại trung điểm I của BH
0,5
Dễ chứng minh được (ĐL ba đường vuông góc) 
0,5
Chú ý : Có thể chứng minh bằng cách sử dụng tích vô hướng, gắn hệ trục tọa độ
0,5
6a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Chú ý: HS có thể chứng minh sử dụng đạo hàm; sử dụng Cô si cho 4 số.
Có thể khg cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào.
1,0
6b
Theo kết quả phần a), ta có 
Chứng minh được: 
0,25
Xét hàm số 
0,25
, 
Bảng biến thiên
t
0	 	 1
 - 0 +
16 1
 , 
0,25
Vậy M , M= 
0,25
Chú ý: Tất cả các lời giải đúng khác đều được cho điểm tối đa.