Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8 - Năm học: 2016 - 2017

ĐỀ THI SỐ 1
Cõu 1: (4,0 điểm)
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử :
a) 3x2 – 7x + 2; 	 	b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Cõu 2: (5,0 điểm)
 Cho biểu thức : 
Tỡm ĐKXĐ rồi rỳt gọn biểu thức A ?
Tỡm giỏ trị của x để A > 0?
Tớnh giỏ trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Cõu 3: (5,0 điểm)
Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau : 
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Cho và . Chứng minh rằng : .
Cõu 4: (6,0 điểm)
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? 
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đỏp ỏn
Điểm
Bài 1
a
2,0
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
5,0
a
3,0
ĐKXĐ : 
1,0
1,0
0,5
0,25
Vậy với thỡ .
0,25
b
1,0
Với 
0,25
0,25
0,25
Vậy với x > 3 thỡ A > 0.
0,25
c
1,0
0,5
0,25
Với x = 11 thỡ A = 
0,25
Bài 3
5,0
a
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 
1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,5
Do : 
0,5
Nờn : (*) x = 1; y = 3; z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
b
2,5
Từ : 
0,5
ayz + bxz + cxy = 0
0,25
 Ta cú : 
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6,0
0,25
a
2,0
Ta cú : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh : 
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành.
0,25
b
2,0
Ta cú: 
0,5
Chứng minh : 
1,0
0,5
b,
1,75
Chứng minh : 
0,25
0,25
Chứng minh : 
0,25
0,25
Mà : CD = AB 
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
0,25
ĐỀ SỐ 2
Cõu1. 
a. Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trỡnh: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Cõu2. Cho biểu thức: 
 	a. Rỳt gọn biểu thức A. 
 	b. Tớnh giỏ trị của A , Biết |x| =.
 	c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
 	d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn.
Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
Cõu 4. 
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1
(6 điểm)
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 điểm)
b. (*)
Vỡ x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
(2 điểm)
c. Nhõn cả 2 vế của: 
với a + b + c; rỳt gọn đpcm	
(2 điểm)
Cõu 2
(6 điểm)
Biểu thức: 
a. Rỳt gọn được kq: 
(1.5 điểm)
b. hoặc 	
 hoặc 
(1.5 điểm)
c. 
(1.5 điểm)
d. 
(1.5 điểm)
Cõu 3
(6 điểm)
HV + GT + KL 
(1 điểm)
a. Chứng minh: 	
 đpcm
(2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(2 điểm)
c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
 khụng đổi
 lớn nhất (AEMF là hỡnh vuụng)
 là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Cõu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
 ĐỀ THI SỐ 3
Cõu 1 : (2 điểm) Cho P=
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của a để P nhận giỏ trị nguyờn
Cõu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyờn chia hết cho 3 thỡ tổng cỏc lập phương của chỳng chia hết cho 3.
b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để biểu thức :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cú giỏ trị nhỏ nhất . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú .
Cõu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trỡnh : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc . Chứng minh rằng :
 A = 
Cõu 4 : (3 điểm)
 	Cho tam giỏc đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một gúc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BDE và CED.
c) Chu vi tam giỏc ADE khụng đổi.
Cõu 5 : (1 điểm)
Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú số đo cỏc cạnh là cỏc số nguyờn dương và số đo diện tớch bằng số đo chu vi .	
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Cõu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
 Nờu ĐKXĐ : a 0,25 
 Rỳt gọn P= 0,25
b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyờn khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 0,25
 Từ đú tỡm được a 0,25
Cõu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tỡm là a và b , ta cú a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta cú a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vỡ a+b chia hết cho 3 nờn (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9	 0,25
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0,5
 Ta thấy (x2+5x)2 0 nờn P=(x2+5x)2-36 -36 	 0,25
 Do đú Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Từ đú ta tỡm được x=0 hoặc x=-5 thỡ Min P=-36	 0,25
Cõu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,25
 ĐKXĐ : 	 0,25
 Phương trỡnh trở thành : 
 	 0,25
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đú tỡm được x=-13; x=2;	 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Từ đú suy ra a= ;	 0,5
 Thay vào ta được A= 0,25
 Từ đú suy ra A hay A	 0,25
Cõu 4 : (3 đ)
a) (1đ)	
 Trong tam giỏc BDM ta cú : 
 Vỡ =600 nờn ta cú : 
 Suy ra 
 Chứng minh ∾ (1) 	 0,5
 Suy ra , từ đú BD.CE=BM.CM
 Vỡ BM=CM= , nờn ta cú BD.CE= 	 0,5
b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nờn ta cú 
 Chứng minh ∾ 	 0,5
 Từ đú suy ra , do đú DM là tia phõn giỏc của gúc BDE
 Chứng minh tương tự ta cú EM là tia phõn giỏc của gúc CED 	 0,5
c) (1đ) Gọi H, I, K là hỡnh chiếu của M trờn AB, DE, AC
 Chứng minh DH = DI, EI = EK 	 0,5
 Tớnh chu vi tam giỏc bằng 2AH; Kết luận. 	 0,5
Cõu 5 : (1đ)
 Gọi cỏc cạnh của tam giỏc vuụng là x , y , z ; trong đú cạnh huyền là z
 (x, y, z là cỏc số nguyờn dương )
 Ta cú xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta cú :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Từ đú ta tỡm được cỏc giỏ trị của x , y , z là :
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)	 0,25
ĐỀ THI SỐ 4
Cõu1( 2 đ): Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử
Cõu 2( 2 đ): Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức:
phõn tớch thành tớch của một đa thức bậc nhất cú cỏc hệ số nguyờn
Cõu 3( 1 đ): tỡm cỏc số nguyờn a và b để đa thức A(x) = chia hết cho đa 
thức 
Cõu 4( 3 đ): Cho tam giỏc ABC, đường cao AH,vẽ phõn giỏc Hx của gúc AHB và phõn giỏc Hy của gúc AHC. Kẻ AD vuụng gúc với Hx, AE vuụng gúc Hy.
Chứng minh rằngtứ giỏc ADHE là hỡnh vuụng
Cõu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
 Đỏp ỏn và biểu điểm
Cõu
Đỏp ỏn
Biểu điểm
1
2 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2
2 đ
Giả sử: 
Khử a ta cú : 
 mn = 10( m + n – 10) + 1 
vỡ m,n nguyờn ta cú:
suy ra a = 12 hoặc a =8
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3
1 đ
Ta cú:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
Để thỡ 
0,5 đ
0,5 đ
4
3 đ
Tứ giỏc ADHE là hỡnh vuụng
Hx là phõn giỏc của gúc ; Hy phõn giỏc của gúc mà và là hai gúc kề bự nờn Hxvà Hy vuụng gúc 
Hay = 900 mặt khỏc = 900
Nờn tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật ( 1)
Do 
Hay HA là phõn giỏc (2)
Từ (1) và (2) ta cú tứ giỏc ADHE là hỡnh vuụng
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
5
2 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
	Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
	Giải phương trỡnh:
	.
Bài 3: (3 điểm)
	Tỡm x biết:
	.
Bài 4: (3 điểm)
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 5: (4 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, D là điểm di động trờn cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm D lờn AB, AC.
Xỏc định vị trớ của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng.
Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
	Trong tam giỏc ABC, cỏc điểm A, E, F tương ứng nằm trờn cỏc cạnh BC, CA, AB sao cho: .
Chứng minh rằng: .
Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tớnh độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1: 
	a) 	(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 
	= 
	= = 3
	= 3.
	b) 	x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = 
	= = .
Bài 2: 	
Bài 3: 
	.
	ĐKXĐ: .
	Đặt a = x – 2010 	(a 0), ta cú hệ thức:
	 (thoả ĐK)
	Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
	Vậy x = và x = là giỏ trị cần tỡm.
Bài 4:
	= 
	Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.	
Bài 5:
	a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật (vỡ )
	Để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng thỡ AD là tia phõn 
	giỏc của .
	b) Do tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật nờn AD = EF
	Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
	3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất
	 D là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC.
Bài 6:
	a) Đặt .
	Ta cú (*)
	Qua D, E, F lần lượt kẻ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF.
	(1)
	Ta cú (2)
	(1) & (2) (**)
	(*) & (**) .
	b) Chứng minh tương tự cõu a) ta cú:
s
	, 
s
s
	 (3) 
	Ta lại cú CD + BD = 8 (4)
	(3) & (4) BD = 2,5
ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. 
a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
 a) Tớnh đỳng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tớnh đỳng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đú: ( 0,25điểm )
Tớnh đỳng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tỡm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta cú: 
 (0,25điểm)
 Do đú: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm) 
 Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hỡnh đỳng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC 
AB = AC =BCABC đều
Kết luận đỳng (0,25điểm) 
*Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ hưởng trọn số điểm cõu đú
ĐỀ SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = với x khỏc -1 và 1.
a, Rỳt gọn biểu thức A.
b, Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x .
c, Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
	Cho .
 Chứng minh rằng .
Bài 3 (3 điểm)
	Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh.
 Một phõn số cú tử số bộ hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lờn 4 đơn vị thỡ sẽ được phõn số nghịch đảo của phõn số đó cho. Tỡm phõn số đú.
Bài 4 (2 điểm) 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 5 (3 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
 Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20092 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. 
Đỏp ỏn
Bài 1( 4 điểm ) 
a, ( 2 điểm )
Với x khỏc -1 và 1 thỡ :
 A= 
0,5đ
 =
0,5đ
 = 
0,5đ
 = 
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thỡ A = 
0,25đ
= 
0,25đ
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1)
0,25đ
Vỡ với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 
0,5đ
Biến đổi để cú 
0,5đ
Biến đổi để cú (*)
0,5đ
Vỡ ;;; với mọi a, b, c
nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đú suy ra a = b = c
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là (x là số nguyờn khỏc -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phõn số 
(x khỏc -15)
0,5đ
Theo bài ra ta cú phương trỡnh =
0,5đ
Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món)
1đ
Từ đú tỡm được phõn số 
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để cú A=
0,5đ
=
0,5đ
Vỡ và nờn do đú 
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
0,25đ
KL
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giỏc AMNI là hỡnh thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đú suy ra tứ giỏc AMNI là hỡnh thang cõn
0,5đ
b,(2điểm)
Tớnh được AD = ; BD = 2AD = 
AM = 
0,5đ
Tớnh được NI = AM = 
0,5đ
DC = BC = , MN = 
0,5đ
Tớnh được AI = 
0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để cú , 
0,5đ
Lập luận để cú 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xột để cú (1), xột để cú (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,5đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,5đ
từ đú cú (OM + ON). 
0,5đ
b, (2 điểm)
, 
0,5đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để cú 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đú SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
ĐỀ SỐ 8
Bài 1:
Cho x = ; y = 
Tớnh giỏ trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trỡnh:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đụi một khỏc nhau)
Bài 3:
Xỏc định cỏc số a, b biết:
 = +
Bài 4: Chứng minh phương trỡnh:
2x2 – 4y = 10 khụng cú nghiệm nguyờn.
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tớnh tỷ số đường cao xuất phỏt từ B và C
ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn):
 x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức 
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi F là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiờn m, m+k, m+ 2k đều là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3, thỡ k chia hết cho 6.
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A.
b) Tỡm x để A < -1.
c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe mỏy và một ụ tụ cựng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lỳc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lỳc mấy giờ ụ tụ cỏch đều xe đạp và xe đạp và xe mỏy?
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chộo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chớnh phương.
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
a) Cho .Tớnh 
b) Nếu a, b, c là cỏc số dương đụi một khỏc nhau thỡ giỏ trị của đa thức sau là số dương: 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ:
Bài 3: (2 điểm) 
 Một ụ tụ phải đi quóng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quóng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quóng đường sau đi với vận tốc kộm hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB biết người đú đến B đỳng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giỏc CME khụng đổi khi E chuyển động trờn BC
Bài 5: (1 điểm)
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phõn tớch thành nhõn tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả món: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tớnh giỏ trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả món: = ++
Bài 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Bài 4: 
a, Tỡm giỏ trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tỡm giỏ trị lớn nhất: M = với x > 0
Bài 5: 
a, Tỡm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tỡm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:
b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và 
Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trỡnh: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phỳt, người đú gặp một ụ tụ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ụ tụ đến A nghỉ 15 phỳt rồi trở lại B và gặp người đi xe mỏy tại một một địa điểm cỏch B 20 km. 
Tớnh quóng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trờn đường chộo BD. Kẻ ME và MF vuụng gúc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuụng gúc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xỏc định vị trớ của điểm M để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
ĐỀ SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tớnh: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song son