Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 1 
ĐỀ THI SỐ 1 
Câu 1: (4,0 điểm) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 3x
2
 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). 
Câu 2: (5,0 điểm) 
 Cho biểu thức : 
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
  
  
   
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? 
b) Tìm giá trị của x để A > 0? 
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. 
Câu 3: (5,0 điểm) 
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 
9x
2
 + y
2
 + 2z
2
 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. 
b) Cho 1
x y z
a b c
   và 0
a b c
x y z
   . Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   . 
Câu 4: (6,0 điểm) 
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần 
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của 
C xuống đường thẳng AB và AD. 
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK 
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
 Nội dung đáp án Điểm 
Bài 1 
a 2,0 
 3x
2
 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 
= (x - 2)(3x - 1). 0,5 
b 2,0 
 a(x
2 
+ 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 2 
= (x - a)(ax - 1). 0,5 
Bài 2: 5,0 
a 3,0 
ĐKXĐ : 
2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
33 0
2 0
x
x x
x x
xx x
x x
  

  
 
     
    
  
 1,0 
2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )
( ) : ( ) .
2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
       
    
      
 1,0 
24 8 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
 

  
 0,5 
24 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
 
 
   
 0,25 
Vậy với 0, 2, 3x x x    thì 
24x
3
A
x


. 0,25 
b 1,0 
Với 
24
0, 3, 2 : 0 0
3
x
x x x A
x
      

 0,25 
3 0x   0,25 
3( )x TMDKXD  0,25 
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 
c 1,0 
7 4
7 4
7 4
x
x
x
 
      
 0,5 
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD

  
 0,25 
Với x = 11 thì A = 
121
2
 0,25 
Bài 3 5,0 
a 2,5 
9x
2
 + y
2
 + 2z
2
 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 
 (9x
2
 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 
 9(x - 1)
2
 + (y - 3)
2
 + 2 (z + 1)
2
 = 0 (*) 0,5 
Do : 2 2 2( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z      0,5 
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 
b 2,5 
Từ : 
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
     0,5 
 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 3 
 Ta có : 21 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
       0,5 
2 2 2
2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
       0,5 
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
 
     0,5 
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dfcm
a b c
    0,25 
Bài 4 6,0 
O
F
E
K
H
C
A
D
B
0,25 
a 2,0 
Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 
Chứng minh : ( )BEO DFO g c g     0,5 
=> BE = DF 0,25 
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 
b 2,0 
 Ta có: ABC ADC HBC KDC   0,5 
Chứng minh : ( )CBH CDK g g   1,0 
. .
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
    0,5 
b, 1,75 
 Chứng minh : AF ( )D AKC g g   0,25 
AF
. A .
AK
AD AK F AC
AD AC
    0,25 
 Chứng minh : ( )CFD AHC g g   0,25 
CF AH
CD AC
  0,25 
 Mà : CD = AB . .
CF AH
AB AH CF AC
AB AC
    0,5 
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(đfcm). 
0,25 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 4 
ĐỀ SỐ 2 
Câu1. 
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: 
4
x 4 
      x 2 x 3 x 4 x 5 24     
b. Giải phương trình: 
4 2
x 30x 31x 30 0    
c. Cho 
a b c
1
b c c a a b
  
  
. Chứng minh rằng: 
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
  
  
Câu2. 
 Cho biểu thức: 
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
  
      
      
 a. Rút gọn biểu thức A. 
 b. Tính giá trị của A , Biết x = 1
2
. 
 c. Tìm giá trị của x để A < 0. 
 d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD. 
a. Chứng minh: DE CF 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. 
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. 
Câu 4. 
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
1 1 1
9
a b c
   
b. Cho a, b d-¬ng vµ a
2000
 + b
2000
 = a
2001
 + b
2001
 = a
2002
 + b
2002
Tinh: a
2011
 + b
2011 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
Câu Đáp án Điểm 
Câu 1 
(6 điểm) 
a. x
4 
 + 4 = x
4 
 + 4x
2 
 + 4 - 4x
2 
 = (x
4 
+ 4x
2 
 + 4) - (2x)
2 
 = (x
2 
+ 2 + 2x)(x
2 
 + 2 - 2x) 
 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 
 = (x
2 
 + 7x
 + 11 - 1)( x
2
 + 7x + 11 + 1) - 24 
 = [(x
2 
 + 7x
 + 11)
2
 - 1] - 24 
 = (x
2 
 + 7x
 + 11)
2
 - 5
2 
 = (x
2 
 + 7x
 + 6)( x
2 
 + 7x
 + 16) 
 = (x + 1)(x + 6) )( x
2 
 + 7x
 + 16) 
(2 điểm) 
b. 
4 2
x 30x 31x 30 0    
   2x x 1 x 5 x 6 0     (*) 
Vì x
2
 - x + 1 = (x - 
1
2
)
2
 + 
3
4
 > 0 x 
 (*) (x - 5)(x + 6) = 0 
 
x 5 0 x 5
x 6 0 x 6
   
 
    
(2 điểm) 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 5 
M
F
E
D C
BA
c. Nhân cả 2 vế của: 
a b c
1
b c c a a b
  
  
với a + b + c; rút gọn  đpcm (2 điểm) 
Câu 2 
(6 điểm) 
Biểu thức: 
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
  
      
      
a. Rút gọn được kq: 
1
A
x 2



(1.5 điểm) 
b. 
1
x
2
 
1
x
2
  hoặc 
1
x
2

 
4
A
3
  hoặc 
4
A
5
 
(1.5 điểm) 
c. A 0 x 2   (1.5 điểm) 
d.  
1
A Z Z ... x 1;3
x 2

    

 (1.5 điểm) 
Câu 3 
(6 điểm) 
HV + GT + KL 
(1 điểm) 
a. Chứng minh: AE FM DF  
 AED DFC   đpcm (2 điểm) 
b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm (2 điểm) 
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi 
ME MF a   không đổi 
AEMF
S ME.MF  lớn nhất  ME MF (AEMF là hình vuông) 
M là trung điểm của BD. (1 điểm) 
Câu 4: 
(2 điểm) 
a. Từ: a + b + c = 1  
1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c

  


  


  

1 1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2 2 2 9
     
              
     
    
(1 điểm) 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 6 
Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 
1
3
b. (a
2001
 + b
2001
).(a+ b) - (a
2000
 + b
2000
).ab = a
2002
 + b
2002
 (a+ b) – ab = 1 
 (a – 1).(b – 1) = 0 
 a = 1 hoÆc b = 1 
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) 
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) 
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 
(1 điểm) 
 §Ò thi SỐ 3 
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
8147
44
23
23


aaa
aaa
a) Rót gän P 
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 
C©u 2 : (2 ®iÓm) 
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph-¬ng cña chóng 
chia hÕt cho 3. 
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : 
 P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . 
C©u 3 : (2 ®iÓm) 
a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 
18
1
4213
1
3011
1
209
1
222





 xxxxxx
b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : 
 A = 3




 cba
c
bca
b
acb
a
C©u 4 : (3 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M 
sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l-ît t¹i D vµ E . Chøng minh : 
a) BD.CE=
4
2BC
b) DM,EM lÇn l-ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. 
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. 
C©u 5 : (1 ®iÓm) 
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè 
®o chu vi . 
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái 
C©u 1 : (2 ®) 
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 7 
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 
 Nªu §KX§ : a 4;2;1  aa 0,25 
 Rót gän P=
2
1


a
a
 0,25 
b) (0,5®) P=
2
3
1
2
32




aa
a
 ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ -íc cña 3, 
 mµ ¦(3)= 3;3;1;1  0,25 
 Tõ ®ã t×m ®-îc a  5;3;1 0,25 
C©u 2 : (2®) 
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25 
 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)  abbaba 3)2( 22  = 
 =(a+b)  abba 3)( 2  0,5 
 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; 
 Do vËy (a+b)  abba 3)( 2  chia hÕt cho 9 0,25 
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 
 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36  -36 0,25 
 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 
 Tõ ®ã ta t×m ®-îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 
C©u 3 : (2®) 
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; 
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; 
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 
 §KX§ : 7;6;5;4  xxxx 0,25 
 Ph-¬ng tr×nh trë thµnh : 
 18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1





 xxxxxx 
18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1











 xxxxxx
18
1
7
1
4
1



 xx
 0,25 
 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 
 (x+13)(x-2)=0 
 Tõ ®ã t×m ®-îc x=-13; x=2; 0,25 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 8 
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Tõ ®ã suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy 




 ; 0,5 
 Thay vµo ta ®-îc A= 











)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
x
y
z
yx
y
zx
x
zy
 0,25 
 Tõ ®ã suy ra A )222(
2
1
 hay A 3 0,25 
C©u 4 : (3 ®) 
a) (1®) 
 Trong tam gi¸c BDM ta cã : 1
0
1
ˆ120ˆ MD  
 V× 2Mˆ =60
0 nªn ta cã : 1
0
3
ˆ120ˆ MM  
 Suy ra 31
ˆˆ MD  
 Chøng minh BMD ∾ CEM (1) 0,5 
 Suy ra 
CE
CM
BM
BD
 , tõ ®ã BD.CE=BM.CM 
 V× BM=CM=
2
BC
 , nªn ta cã BD.CE=
4
2BC
 0,5 
b) (1®) Tõ (1) suy ra 
EM
MD
CM
BD
 mµ BM=CM nªn ta cã 
EM
MD
BM
BD
 
 Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 
 Tõ ®ã suy ra 21
ˆˆ DD  , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE 
 Chøng minh t-¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC 
 Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 
 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 
C©u 5 : (1®) 
 Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z 
 (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng ) 
 Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 
 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : 
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) 
 z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) 
 z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 
 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 
3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
CB
A
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 9 
 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®-îc : 
 xy=2(x+y+x+y-4) 
 xy-4x-4y=-8 
 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 
 Tõ ®ã ta t×m ®-îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : 
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 
ÑEÀ THI SOÁ 4 
Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû 
     1 3 5 7 15A a a a a      
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: 
  10 1x a x   
phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân 
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = 
4 33x x ax b   chia heát cho ña 
thöùc 
2( ) 3 4B x x x   
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc 
AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. 
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng 
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 
2 2 4 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4 100
P       
 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm 
Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 
1 
2 ñ 
    
  
   
 
  
   
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
1 3 5 7 15
8 7 8 15 15
8 22 8 120
8 11 1
8 12 8 10
2 6 8 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
     
     
    
   
    
    
0,5 ñ 
0,5 ñ 
0,5 ñ 
0,5 ñ 
2 
2 ñ 
Giaû söû:      10 1 ;( , )x a x x m x n m n Z       
   

2 2
10
. 10 1
10 10 1
m n a
m n a
x a x a x m n x mn
  
 
        

0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 10 
Khöû a ta coù : 
 mn = 10( m + n – 10) + 1 
10 10 100 1
( 10) 10 10) 1
mn m n
m n n
    
    
vì m,n nguyeân ta coù:  10 1 10 110 1 10 1m mn nv       
suy ra a = 12 hoaëc a =8 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
3 
1 ñ 
Ta coù: 
A(x) =B(x).(x
2
-1) + ( a – 3)x + b + 4 
Ñeå ( ) ( )A x B x thì  3 0 34 0 4a ab b     
0,5 ñ 
0,5 ñ 
4 
3 ñ 
Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø AHB 
vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 
Hay DHE = 90
0
 maët khaùc ADH AEH  = 900 
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) 
Do 
0
0
0
0
90
45
2 2
90
45
2 2
AHB
AHD
AHC
AHE
AHD AHE
  
  
 
Hay HA laø phaân giaùc DHE (2) 
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,5 ñ 
0,5 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
0,25 ñ 
5 
2 ñ 
2 2 4 2
1 1 1 1
...
2 3 4 100
1 1 1 1
...
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1 1 1
1 ...
2 2 3 99 100
1 99
1 1
100 100
P     
    
    
      
   
0,5 ñ 
0,5 ñ 
0,5 ñ 
0,5 ñ 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 11 
ĐỀ THI SỐ 5 
Bài 1: (4 điểm) 
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. 
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. 
Bài 2: (2 điểm) 
 Giải phương trình: 
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
   
    . 
Bài 3: (3 điểm) 
 Tìm x biết: 
      
      
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
492009 x 2009 x x 2010 x 2010
     

     
. 
Bài 4: (3 điểm) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
2010x 2680
A
x 1



. 
Bài 5: (4 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. 
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. 
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 6: (4 điểm) 
 Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao 
cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF   . 
a) Chứng minh rằng: BDF BAC . 
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. 
Một lời giải: 
Bài 1: 
 a) (x + y + z) 
3
 – x3 – y3 – z3 =  
3 3 3 3x y z x y z         
 =         2 2 2 2y z x y z x y z x x y z y yz z             
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 12 
 =   2y z 3x 3xy 3yz 3zx    = 3     y z x x y z x y      
 = 3   x y y z z x   . 
 b) x
4
 + 2010x
2
 + 2009x + 2010 =    4 2x x 2010x 2010x 2010    
 =     2 2x x 1 x x 1 2010 x x 1      =   2 2x x 1 x x 2010    . 
Bài 2: 
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
   
    
x 241 x 220 x 195 x 166
1 2 3 4 0
17 19 21 23
   
         
x 258 x 258 x 258 x 258
0
17 19 21 23
   
     
  
1 1 1 1
x 258 0
17 19 21 23
 
      
 
 x 258  
Bài 3: 
      
      
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
492009 x 2009 x x 2010 x 2010
     

     
. 
 ĐKXĐ: x 2009; x 2010  . 
 Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức: 
   
   
2 2
2 2
a 1 a 1 a a 19
49a 1 a 1 a a
   

   
2
2
a a 1 19
3a 3a 1 49
 
 
 
 2 249a 49a 49 57a 57a 19      28a 8a 30 0    
     
2 22a 1 4 0 2a 3 2a 5 0        
3
a
2
5
a
2


 
  

 (thoả ĐK) 
 Suy ra x =
4023
2
 hoặc x = 
4015
2
 (thoả ĐK) 
 Vậy x =
4023
2
 và x = 
4015
2
 là giá trị cần tìm. 
Bài 4: 
2
2010x 2680
A
x 1



 = 
2 2 2
2 2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x 1 x 1
     
    
 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 13 
Bài 5: 
 a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì oE A F 90   ) 
 Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân 
 giác của BAC . 
 b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF 
 Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 
 3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất 
  D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. 
Bài 6: 
 a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF     . 
 Ta có 0BAC 180 (*) 
 Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. 
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. 
  oOFD OED ODF 90   (1) 
 Ta có oOFD OED ODF 270    (2) 
 (1) & (2)  o180  (**) 
 (*) & (**)  BAC BDF   . 
 b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: 
 B  , C   
  AEF DBF DEC ABC 
 
BD BA 5 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8 8 8
CD CA 7 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8 8 8
AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC 7
   
       
   
   
          
   
        
    
   
 CD BD 3   (3) 
 Ta lại có CD + BD = 8 (4) 
 (3) & (4) BD = 2,5 
ĐỀ SỐ 6 
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: 
a) x
2
 – 4x + 4 = 25 
b) 4
1004
1x
1986
21x
1990
17x






c) 4
x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0
z
1
y
1
x
1
 . 
E
F
A B
C
D
O
A
B C
F
D
E

  
 
 

 s
s
s
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 14 
Tính giá trị của biểu thức: 
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222 




 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn 
vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số 
hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. 
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
a) Tính tổng 
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc 
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. 
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 222
2
'CC'BB'AA
)CABCAB(


đạt giá trị nhỏ nhất? 
ĐÁP ÁN 
 Bài 1(3 điểm): 
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) 
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) 
 c) 4
x
 – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 
  2
x
(2
x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) 
  (2
x
 – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 
  2
x
 = 2
3
 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
 Bài 2(1,5 điểm): 
0
z
1
y
1
x
1
 0xzyzxy0
xyz
xzyzxy


  yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) 
x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) 
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A





 ( 0,25điểm ) 
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) 
 Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 090  a,d,c,b,a (0,25điểm) 
 Ta có: 
2kabcd  
2m)3d)(5c)(3b)(1a(  
2kabcd  
 với k, mN, 100mk31  
 (0,25điểm) 


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 
 Trường THCS Phan Chu Trinh 15 
2m1353abcd  (0,25điểm) 
 Do đó: m2–k2 = 1353 
  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) 
 m+k = 123 m+k = 41