Tuyển tập các bất đẳng thức thường gặp

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng 
Giải:
Cách 1: Ta có: 
 (Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2)
Vậy 
Cách 2: (vì 22)
2) Chứng minh rằng: x2 + 3 + 
Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có:
 3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Giải:
 (BĐT đúng)
Vậy 
4) Cho a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1
Ta có: a + b 1 
Mà (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1
5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: 
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki 
Vậy 
6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: 
Giải:
0 
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)
7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0
Giải:
Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có:
 b + c > a, c + a > b, a + b > c
 a2(b + c) > a2. a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c
 a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3
 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 
 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)
8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải:
a < b + c (bất đẳng thức tam giác)
a + a < a + b + c
2a < 2 a < 1. Tương tự b < 1, c < 1
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
(1 – b – a + ab)(1 - c) > 0
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
 a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
 a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2
 a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2)
9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: 
Giải:
 (BĐT đúng)
Vậy 
10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b
Giải:
Ta có: a2 + b2 2ab
 b2 + 1 2b
 a2 + 1 2a
 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)
(a2 + b2 + 1) ab + a + b
11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)
Giải:
Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có:
(1-x)(1-z) 
4(1-x)(1-z) (1+y)2
4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)
4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)
4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z
Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)
12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 
Giải:
Ta có: (vì a+b+c=1)
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 
13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
Giải: 
a) Ta có: a2 + b2 2ab
 b2 + c2 2bc
 c2 + a2 2ca
 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca)
 (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca)
Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
a<b+c; b<c+a;c<a+b
Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
1+b2 2
Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a2 2a
 a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca
Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca)
14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x2 + y2 + z2 
Giải:
Ta có: x2 + y2 + z2 
 (là bất đẳng thức đúng)
15) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
16) Cho a0, b0,c0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c)
Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab hai lần
17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0
Giải: Ta có: 
0
 (là bất đẳng thức đúng)
Vậy 
18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: a + b + 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có:
19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có:
Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử abc>0. Ta có 
Tương tự ta có: 
Do đó: +
+= ab(a-b)+. 0
20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a + b 16abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
1 = (a + b +c)2 4a(b + c) 
Mà (b + c)2 4bc nên
b + c 4a.4bc hay b + c 16abc
21) Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minh 
Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh
22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
Giải:
Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2
Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2
 (c+a-b)(c-a+b) c2
[(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với mọi x,y,z
Giải:
 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2
 (BĐT đúng)
Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2
24) a) Chứng minh (với a,b > 0)
b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4
Giải:
a) 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
 2
Vậy 
b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) 
= (a – b)2[(a + + 0
a4 + b4 a3b + ab3
2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3
2(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)
2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)
2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0
Vậy a3+b3 a4 + b4
25) a) Cho a 0, b 0. Chứng minh: 
b) Cho . Chứng minh rằng: 
Giải:
a) (a + b)(9 + ab) 12ab
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có:
b) Ta có:
a4 + b4 = 
26) Cho a+b+cabc. Chứng minh rằng a2+b2+c2abc
Giải: Vì a+b+cabc nên có hai trường hợp xảy ra
- Trường hợp : 
Ta có: 
- Trường hợp: trong ba số có ít nhất một số nhỏ hơn 1
Không mất tính tổng quát, giả sử 
Ta có: a2+b2+c2 a2+b2
27) Cho x1, y1. Chứng minh 
Giải:
28) Chứng minh rằng với mọi a,b 
Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu a+b 0, ta có:
 (BĐT đúng)
Vậy với mọi a,b 
29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh
30) Cho a,b,c>0. Chứng minh : 
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ;
31) Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có:
Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2
Áp dụng (*) ta có: 
32) Cho a0, b0. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: 
Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
Vậy 
33) Cho xy =1, x>y. Chứng minh rằng 
Giải:
Ta có: (theo BĐT côsi)
34) Chứng minh: 
Giải:
Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b
Ta có: 
35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: (a+b-c)2 0
 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0
 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2
Mà a2+b2+c2=5/3 < 2
2ab+2ca-2bc 2
(do abc>0)
36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức
37) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: 
Giải:
(áp dụng bất đẳng thức phụ )
38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
Tương tự:
Vậy 
39) a) Chứng minh: với mọi x
b) Chứng minh 
Giải:
a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo côsi cho hai số dương)
dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x
Vậy với mọi x
b) 
 (BĐT đúng)
Vậy 
40) Cho a2. chứng minh rằng: 
Giải:
 (vì a2)
 vì a2 nên 2a – 2 < 2a – 1 
41) Chứng minh bất đẳng thức: 
Giải:
Nếu ac + bd 0 thì BĐT đúng
Nếu ac + bd > 0 thì 
 (BĐT đúng)
Vậy ta có: 
42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1.
a) Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng các bất đẳng thức phụ:
 ( HS tự chứng minh )
a) Ta có: 
b) 
43) Cho a,b 0. Chứng minh a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải:
Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z3
Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0
Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 1
44) Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
 = a + b + c
45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1. Chứng minh rằng:
 c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2
Giải: 
Ta có: a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1
Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 
 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4
 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4
 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 
46) Cho a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 
Hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b thế vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ 
47) Chứng minh rằng nếu x+y+z =1 thì x2+y2+z2
Giải:
x2+y2+z2 = 
48) Chứng minh rằng: 2( (với n là số nguyên dương)
Giải:
Ta có: 
Mặt khác: 
Vậy 
49) Cho x,y0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng 
Giải:
Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 và y2 1 mà x0, y0
0x1 và 0x1 x3x2 , y3y2
 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 
1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki)
Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y 
(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
Tương tự: 
51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 
b)Gọi m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: 
Giải:
a) HS tự giải
b) Vai trò x,y,z như nhau, giả sử xyz.
Vì m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2
 là số nhỏ nhất trong ba số 
(x-y)2 m, (y-z)2m
Mặt khác: 
(x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m
 m
52) Cho a,b là các số dương. Chứng minh: 
Hướng dẫn: Bình phương hai vế
53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a,b
HD: Chuyển vế biến đổi tương đương
54) Chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta có đẳng thức: 
HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương
55) Chứng minh 1998 < 
HD: sử dụng bài toán phụ: 2( để chứng minh
56) a) Cho a,b 1. Chứng minh: 
b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải:
a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có:
Tương tự 
Vậy 
b) Vì a+b+c = 1 nên:
(theo BĐT côsi cho hai số không âm)
Tương tự:
57) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2
HD: biến đổi tương đương
58) Với a>0, b>0, c>0. Chứng minh các BĐT:
a) 
Giải:
a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế trái
b) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu a
c) Chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra điều cần chứng minh
59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c6
Giải:
Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với mọi x,y
 (do a2 + b2 + c2 = 3 ) 
Vậy ab+bc+ca+a+b+c6
60) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: 
Mặt khác:
61) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh:
 (p – a)(p – b)(p –c) 
Giải:
Ta có: p – a = (vì b + c >a – BĐT tam giác))
Tương tự: p – b>0, p –c>0
Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:
(p – a)(p – b) 
Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 
62) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có:
63) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có: 1 + a2 2a 
Tương tự: 
Chứng minh: dung biến đổi tương đương
64) Chứng minh: 
HD: Ta có: 
Áp dụng bài toán trên suy ra BĐT
65) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
Tương tự: 
66) Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+
Giải:
Ta có: (x+y)2 4xy 
Mặt khác: (HS tự chứng minh)
Suy ra: 8(x4+y4)+
67) Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh: 
Giải:
Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:
68) Cho a+b+c = 3. Chứng minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3
Giải:
Áp dụng bài toán phụ x4+y4x3y+xy3 ta có:
3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4)
 = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c)
 = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3)
Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c3
69) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Chứng minh:
Giải:
Vì x,y,z>0 và x3+y3+z3 = 1 nên 1-x,1-y,1-z >0
Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:
Tương tự: 
Vậy 
70) Cho a,b>0. Chứng minh: 
Giải:
Ta có: 
71) Chứng minh: với a>b>0
HD: bình phương hai vế rồi dung phương pháp biến đổi tương đương
72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh: 
Giải:
Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 
Và (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1
Vậy 
73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0
Giải: 
a+b+c = 0
74) Cho a,b,c > 1. Chứng minh : 
Giải:
Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:
Tương tự: 
Vậy 
75) Cho x,y là hai số thực sao cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2)2
Giải: