Tuyển tập bộ ba câu phân loại trong đề thi thử trung học phổ thông quốc gia 2015 môn Toán

TuyÓn tËp
Bé ba c©u ph©n lo¹i
Trong c¸c ®Ò thi thö THPT Quèc Gia 2015
π
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC
M¤N TO¸N
* PT, HPT, BPT
* PP tọa độ trong MP
* BĐT, Tìm GTLN, GTNN
TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI
TRONGĐỀ THI THỬ
TRUNGHỌC PHỔ THÔNGQUỐC GIA 2015
Diễn đàn toán học VMF
Ngày 6 tháng 8 năm 2015
Kí hiệu dùng trong sách
BĐT : Bất đẳng thức
BPT : Bất phương trình
CMR : Chứng minh rằng
ĐH : Đại học
GDĐT : Giáo dục và đào tạo
GTLN : Giá trị lớn nhất
GTNN : Giá trị nhỏ nhất
PT : Phương trình
THPT : Trung học phổ thông
THTT : Tạp chí Toán học Tuổi trẻ
TP. HCM : Thành phố Hồ Chí Minh
VMF : VietnamMathematics Forum
VP : Vế phải
VT : Vế trái
VTCP : Vectơ chỉ phương
VTPT : Vectơ pháp tuyến
Trang 4 
LỜI NÓI ĐẦU
Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để
xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại. Bộ ba câu này thường
rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng,
Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.
Nhằmmục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016
một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biên
soạn tài liệu này. Tài liệu bố cục gồm ba phần chính. Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lý
thuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cần
thiết. Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loại
trong các đề thi thử năm học 2014 - 2015. Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trên
đáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận khác
hoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tài
liệu. Chúng tôi nhấnmạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũng
không nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên.
Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có
• Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP.
HCM (Katyusha);
• Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99);
• Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng);
• Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13);
• Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois);
• Thầy Lê Minh An - NamĐịnh (leminhansp);
• Bạn Trần Trung Kiên - TP. HCM (Ispectorgadget).
Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vì
cộng đồng vô tư. Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát được
hết các sai sót. Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi
trao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (
Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tối
thiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ. Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân.
Chúng tôi xin cảm ơn!
Nhóm biên tập
 Trang 5
Mục lục
I. PHƯƠNG PHÁP TỌAĐỘ TRONGMẶT PHẲNG 14
1 Lý thuyết chung 14
1.1 Hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Góc và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Phương trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Một số kĩ thuật cơ bản 17
2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Dựa vào hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Điểm thuộc đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trướcmột khoảng
cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một
góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn . . . . . . . . . 23
3 Phương pháp giải toán 24
3.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Một số hướng khai thác giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29
1 Trục căn thức 29
1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Đưa về “hệ tạm” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Biến đổi về phương trình tích 31
2.1 Các biến đổi thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Trang 6 
3 Phương pháp đặt ẩn phụ 33
3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x)+bB (x)= c
√
A (x) .B (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Phương trình dạng: αu+βv =
√
mu2+nv2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 39
4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Phương pháp lượng giác hóa 44
5.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46
7 Phương pháp hàm số 48
III. MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNGMINHBĐT 51
1 Những BĐT cổ điển thường dùng 51
1.1 BĐT hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 BĐT ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Một số kĩ thuật chứngminh BĐT 51
2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Kĩ thuật tách ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 BĐT thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV. BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONGMỘT SỐĐỀ THI THỬ THPT QUỐCGIA
2015 68
1 Đềminh hoạ THPT 2015 68
2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68
3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 69
5 THPT BốHạ (Bắc Giang) 69
 Trang 7
6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69
7 THPT chuyên Hà Tĩnh 69
8 THPTĐặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70
9 THPTĐông Đậu (Vĩnh Phúc) 70
10 THPT chuyên Hưng Yên 70
11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71
13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 71
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 71
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 72
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 72
17 THPTMinh Châu (Hưng Yên) 72
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 73
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73
20 THPTQuỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 73
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 74
22 THPT Thiệu Hóa (ThanhHóa) 74
23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75
24 THPT Tĩnh Gia I (ThanhHóa) 75
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75
26 THPT CẩmBình (Hà Tĩnh) 76
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76
29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM) 77
31 THPT Như Thanh (ThanhHóa) 77
32 THPT ChuyênHạ Long (Quảng Ninh) 78
Trang 8 
33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78
35 THPTHồng Quang (Hải Dương) 79
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1 79
37 THPT Thường Xuân 3 (ThanhHóa) 79
38 THPT Tĩnh Gia II (ThanhHóa) 80
39 THPT Triệu Sơn 3 (ThanhHóa) 80
40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP. HCM) 80
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 81
42 THPTĐồng Lộc (Hà Tĩnh) 81
43 THPTHậu Lộc 2 (ThanhHóa) 81
44 Đề 44 82
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 82
46 Sở GDĐT Vĩnh Long 82
47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh 83
48 Sở GDĐT Thanh hóa 83
49 Sở GDĐTQuảng Ngãi 83
50 Sở GDĐTQuảng Nam 84
51 Sở GDĐT Lào Cai 84
52 Sở GDĐT LâmĐồng 84
53 Sở GDĐT Bình Dương 85
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85
55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85
56 THPT ThủĐức (TPHồ ChíMinh) 86
57 THPT Nông Cống 1 (ThanhHóa) lần 2 86
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 86
59 THPT LamKinh 87
 Trang 9
60 THPT CùHuy Cận (Hà Tĩnh) 87
61 THPTĐa Phúc (Hà Nội) 87
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88
63 THPT Lý Tự Trọng (KhánhHòa) 88
64 THPTQuảng Hà 88
65 THPT Thống nhất 89
66 THPTHồng Quang (Hải Dương) 89
67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 89
68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 90
69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 90
70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 90
71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 91
72 Chuyên ĐH Vinh lần 3 91
73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 91
V. HƯỚNGDẪN VÀ LỜI GIẢI 92
1 Đềminh họa THPTQuốc gia 2015 92
2 Sở GDĐT Phú Yên 93
3 THTT Số 453 95
4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai) 96
5 THPT BốHạ (Bắc Giang) 98
6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 99
7 THPT ChuyênHà Tĩnh 101
8 THPTĐặng Thúc Hứa (Nghệ An) 102
9 THPTĐông Đậu (Vĩnh Phúc) 104
10 THPT ChuyênHưng Yên 105
11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM) 107
12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 108
Trang 10 
13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 110
14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 111
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2 112
16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 113
17 THPTMinh Châu (Hưng Yên) 116
18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 119
19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 120
20 THPTQuỳnh Lưu 3 (Nghệ An) 123
21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 126
22 THPT Thiệu Hóa (ThanhHóa) 127
23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 129
24 THPT Tĩnh Gia I (ThanhHóa) 131
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 133
26 THPT CẩmBình (Hà Tĩnh) 135
27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 137
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 140
29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 142
30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM) 144
31 THPT Như Thanh (ThanhHóa) 146
32 THPT ChuyênHạ Long (Quảng Ninh) 148
33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 151
34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 153
35 THPTHồng Quang (Hải Dương) 155
36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) 158
37 THPT Thường Xuân 3 (ThanhHóa) 160
38 THPT Tĩnh Gia II (ThanhHóa) 162
39 THPT Triệu Sơn 3 (ThanhHóa) 164
 Trang 11
40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM) 166
41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2 167
42 THPTĐồng Lộc (Hà Tĩnh) 169
43 THPTHậu Lộc 2 (ThanhHóa) 171
44 Đề 44 173
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1 174
46 Sở GDĐT Vĩnh Long 176
47 Sở GDĐT TP. Hồ Chí Minh 177
48 Sở GDĐT ThanhHóa 178
49 Sở GDĐTQuảng Ngãi 180
50 Sở GDĐTQuảng Nam 181
51 Sở GDĐT Lào Cai 183
52 Sở GDĐT LâmĐồng 185
53 Sở GDĐT Bình Dương 186
54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) 187
55 THPT Chuyên ĐH Vinh 189
56 THPT ThủĐức (TPHồ ChíMinh) 192
57 THPT Nông Cống 1 (ThanhHóa) lần 2 193
58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 196
59 THPT LamKinh (ThanhHóa) 198
60 THPT CùHuy Cận (Hà Tĩnh) 199
61 THPTĐa Phúc (Hà Nội) 202
62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 203
63 THPT Lý Tự Trọng (KhánhHòa) 205
64 THPTQuảng Hà (Quảng Ninh) 207
65 THPT Thống nhất (Bình Phước) 210
66 THPTHồng Quang (Hải Dương) 212
Trang 12 
67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 215
68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3 216
69 THPT ChuyênHùng Vương (Phú Thọ) 218
70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 221
71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 222
72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3 225
73 THPT ChuyênHùng Vương (Gia Lai) 227
 Trang 13
I. PHƯƠNG PHÁP TỌAĐỘ TRONGMẶT
PHẲNG
1 Lý thuyết chung
1.1 Hệ tọa độ
Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy cho các điểm: A
(
xA; yA
)
,B
(
xB ; yB
)
,C
(
xC ; yC
)
.
• Tọa độ vectơ:
−→
AB = (xB −xA; yB − yA)
• Tọa độ trung điểm J của đoạn thẳng AB , trọng tâmG của tam giác ABC lần lượt là:
J
(
xA+xB
2
;
yA+ yB
2
)
; G
(
xA+xB +xC
3
;
yA+ yB + yC
3
)
1.2 Phương trình đường thẳng
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
• Vectơ −→u (−→u 6= −→0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng d .
• Vectơ−→n (−→n 6= −→0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường
thẳng d .
• Đường thẳng ax+by + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là −→n = (a;b).
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến).
• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương
của đường thẳng kia.
• Nếu −→u ,−→n lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì −→u .−→n = 0.
Do đó, nếu −→u = (a;b) thì −→n = (b;−a).
• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương. Nếu −→n là một vectơ
pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳng d thì k−→n (k 6= 0) cũng là một vectơ pháp
tuyến, vectơ chỉ phương của d .
1.2.2 Phương trình đường thẳng
• Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax+by + c = 0 (a2+b2 > 0) (1)
Đường thẳng đi qua điểmM(x0; y0) và nhận
−→n = (a;b) là vectơ pháp tuyến có phương trình
dạng:
a(x−x0)+b(y − y0)= 0 (2)
Đặc biệt: đường thẳng đi qua (a;0), (0;b) có phương trình theo đoạn chắn:
x
a
+ y
b
= 1 (3)
Trang 14 
* Đường thẳng đi qua M(x0; y0) và nhận vectơ
−→n = (p;q) làm vectơ chỉ phương, có phương
trình tham số là: {
x = x0+pt
y = y0+qt (4)
Có phương trình chính tắc là:
x−x0
p
= y − y0
q
(p,q 6= 0) (5)
Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A
(
xA; yA
)
,B
(
xB ; yB
)
có phương trình dạng:
x−xA
xB −xA
= y − yA
yB − yA
(6)
• Đường thẳng đi quaM(x0; y0) và có hệ số góc k thì có phương trình đường thẳng với hệ số
góc dạng:
y = k(x−x0)+ y0 (7)
Chú ý:
– Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc. Các đường thẳng dạng x = a không
có hệ số góc. Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợp
đặc biệt này.
– Nếu −→n = (a;b), (b 6= 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là
k =−a
b
.
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng
Cho A
(
xA; yA
)
,B
(
xB ; yB
)
và đường thẳng ∆ : ax+by + c = 0. Khi đó:
• Nếu
(
axA+byA+ c
)(
axB +byB + c
)< 0 thì A,B ở về hai phía khác nhau đối với ∆.
• Nếu
(
axA+byA+ c
)(
axB +byB + c
)> 0 thì A,B ở cùng một phía đối với ∆
1.3 Góc và khoảng cách
• Góc giữa hai vectơ −→v ,−→w được tính dựa theo công thức:
cos(−→u ,−→w )=
−→u .−→w∣∣∣−→v ∣∣∣ . ∣∣∣−→w ∣∣∣ (8)
• Giả sử −→n 1,−→n 2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳng d1 và d2. Khi đó:
cosà(d1,d2)=
∣∣∣−→n 1.−→n 2∣∣∣∣∣∣−→n 1∣∣∣ . ∣∣∣−→n 2∣∣∣ (9)
• Độ dài vectơ −→u = (a;b) là: ∣∣∣−→u ∣∣∣=√a2+b2 (10)
 Trang 15
• Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA),B(xB ; yB ) là:
AB =
√(
xB −xA
)2+ (yB − yA)2 (11)
• Diện tích tam giác ABC là:
S = 1
2
√(
AB.AC
)2− (−→AB .−→AC)2 (12)
• Khoảng cách từ điểmM(x0; y0) đến đường thẳng d : ax+by+c = 0 được tính bằng công thức:
d(M ;d) =
∣∣ax0+by0+ c∣∣p
a2+b2
(13)
1.4 Phương trình đường tròn
• Đường tròn tâm I (a;b), bán kính R có dạng:
(x−a)2+ (y −b)2 =R2 (14)
• Phương trình:
x2+ y2+2ax+2by + c = 0, (a2+b2− c > 0) (15)
cũng là phương trình đường tròn với tâm I (−a;−b) và bán kính R =
√
a2+b2− c.
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểmM(x0; y0)
(x0−a)(x−x0)+ (y0−b)(y − y0)= 0 (16)
• Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn
(
C
)
tâm I , bán kính R.
– Nếu d(I ;∆) >R thì ∆ và
(
C
)
không cắt nhau.
– Nếu d(I ;∆) =R thì ∆ và
(
C
)
tiếp xúc tại I ′ là hình chiếu của I lên d .
– Nếu d(I ;∆) < R thì ∆ và
(
C
)
cắt nhau tại hai điểm M ,N . Khi đó trung điểm H của MN là
hình chiếu của I lênMN và
MN = 2
√
R2−d2(I ,∆) (17)
1.5 Phương trình Elip
• Elip là tập hợp các điểm M di động thỏa mãn MF1+MF2 = 2a với F1,F2 cố định, F1F2 = 2c,
a > c > 0 là các số cho trước.
• F1(−c;0),F2(c;0) được gọi là tiêu điểm, F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự. MF1,MF2 là các bán
kính qua tiêu.
• Các điểm A1(−a;0), A2(a;0), B1(0;−b), B2(0;b) được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng
A1A2 = 2a được gọi là trục lớn, B1B2 = 2b được gọi là trục nhỏ.
• Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểm F1(−c;0), F2(c;0) là:
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 (18)
Trong đó a > b > 0,b2 = a2− c2.
Trang 16 
• Tâm sai e = c
a
.
• Cho elip (E) có phương trình chính tắc (18). Hình chữ nhật PQRS với P (−a;b), Q(a;b),
R(a;−b), S(−a;−b) được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip.
• NếuM ∈ (E) vàM ,F1,F2 không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của góc àF1MF2
chính là tiếp tuyến của (E) tạiM .
2 Một số kĩ thuật cơ bản
2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm
2.1.1 Dựa vào hệ điểm
Xác định tọa độ điểmM thỏamãn điều kiện nào đó với hệ các điểm A1,A2, ...,An. Đối với bài toán
này, ta đặtM(x; y) và khai thác giả thiết.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2), trực tâm H(−1;3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác.
Ví dụ 1
Lời giải
Giả sử I (x; y). Ta có:
−−→
GH = (−2;1);−→GI = (x−1; y −2). Vì −−→GH =−2−→GI nên:−2(x−1)=−2−2(y −2)= 1 ⇐⇒

x = 2
y = 3
2
Vậy I
(
2;
3
2
)
.
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường
Giao của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : ax+by + c = 0,d2 :mx+ny +p = 0 (nếu có) là nghiệm
của hệ phương trình: ax+by + c = 0mx+ny +p = 0 (19)
Giao của đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng d :
x = x0+mty = y0+nt và đường tròn (C ) : (x − a)2+ (y −b)2 = R2. Tọa độ giao điểm
(nếu có) của d và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:
x = x0+mt
y = y0+nt
(x−a)2+ (y −b)2 =R2
(20)
 Trang 17
Giao của đường thẳng và Elip
Cho đườn