Tuyển tập bài toán Hình học 9 hay

Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khác điểm A).
a, Xác định vị trí của 2 đường tròn tâm O và tâm I.
b, Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng.
c, Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD ). Chứng minh: 
 và 
d, Chứng minh: tổng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu thức . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.
3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .
Câu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2
Mà hoặc
Nếu 
Thử lại ( thỏa mãn)
Khi K
 mâu thuẫn với điều kiện (1đ) 
Vậy n = 2
Bài 4 ( 5 điểm )
	Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với B (O) và C (O’)
	1. Chứng minh OM // O’N.
	2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.
	3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5 ( 3 điểm )
	1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
	2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1
Bài 4:
1. => OM //O’N
2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’
 Có : 
 Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’
 Do OB // O’C => 
 => P = P’ -> đpcm
3. MNO’C là hình thang có 
 S = 
 Dấu “ = “ xảy ra ó H O ó OM OO’ và O’N OO’
 Vậy Max S = 
Bài 5:
1.
 Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
A1 , B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy ra ó AB = AC 
 BB1 = mb ≤ R + OB1 đẳng thức xảy ra ó AB = BC
 CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy ra ó AC = BC
 => (1)
 Có 2S = ( a + b + c)r -> 
 Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => (2)
 2S = 
 = => (3)
 Từ (1),(2),(3) => 
 Dấu đẳng thức xảy ra ó ∆ABC đều
2. Theo đề bài có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* )
 ó a + K = b( Ka2 – b ) ó a + K = mb (1)
 Với Ka2 – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka2 (2)
 Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1
 = a + K – Ka2 + 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3)
 Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3)
 => K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 )
 => 
 * Nếu a = 1 từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 2 => b = 2 hoặc b = 3
 => (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3)
 * Nếu a = 2, K = 1 => ( m -1)(b – 1 ) = 0
 Khi m = 1 từ (1) => ( a; b ) = ( 2; 3 )
 Khi b = 1 => (a; b) = ( 2; 1)
 Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1)
Câu 4 : (5 điểm) 
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4. (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM×AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM×AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
 và 
Þ A là trực tâm của tam giác BNF 
Þ 
Lại có 
Nên A, E, F thẳng hàng 
, nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.
Suy ra: 
Hay không đổi (với R là bán kính đường tròn (C ))
Ta có nên A là trong tâm tam giác BNF Û C là trung điểm NF (3)
Mặt khác: , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng
 Þ 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: không đổi
Nên: NF ngắn nhất Û CN =CF Û C là trung điểm NF (4)
(3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF Û NF ngắn nhất
Bài 4 (5,0 điểm)
	Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
O1
O2
O
E
A
B
C
M
I
N
D
S
1. (2,5 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N
 Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B
Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1=NBO2 (1)
Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 (2)
 MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 
 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật
 NME = FEM (3)
Do MNMO1 MNE + EMO1 = 900 (4) 
Do tam giác O1ME cân tại O1 MEO1 = EMO1 (5)
Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm)
2. (2,5 điểm)
Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm
 MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
Gọi I là trung điểm CD CDOI OI// O1M //O2N 
SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm
Mặt khác: OI = 5 cm
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2
Ta có: CO = 9 cm CI2 + 25 = 81 CI = 
 CD = 4 cm
Bài 7 (3 điểm):
 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao 
 cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E . Tia AE cắt đường tròn (O)
 tại điểm thứ hai là K.
Chứng minh bốn điểm I, E, K, B cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm 
của đường tròn này. 	
Chứng minh AE.AK + BI.BA = 4R2 
Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất
Ta có 
Suy ra I, E, K , B cùng thuộc một đường tròn đường kính EB.
Vậy tâm của đường tròn là trung điểm của EB
Ta có 
 Mặt khác có BI.BA = BM2 
Đặt P là chu vi , ta có:
P = MO + MI + IO = R + MI + IO
Áp dụng bất đẳng thức , ta được:
Do đó P
Dấu “=” xảy ra khi MI = IO = 
Suy ra và 
Bài 3. 
	Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm B, C trên đường tròn đó sao cho BC = . 
	a) Xác định điểm A trên đường tròn (O ; R) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường kính AE là tia phân giác của góc , với AD là tia phân giác của góc (D ở trên đường tròn đã cho).
	b) Tính số đo các góc của tam giác ABC. 
	c) Tính các cạnh AB, AC của tam giác ABC theo R
Bài 5.
	Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện :
a2 + b2 + c2 – 7a – 8b – 9c + 25 = 0. 
	Tính giá trị của biểu thức: D = (a – 2)2014 + (b – 3)2015 + (c – 4)2016.
Câu 5 (1,0 điểm). 
	Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :
.
Ta có: 
 Vì 
Vậy 
Dấu “=” 
Câu 3 (1,0 điểm). 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: .
Vậy .
Câu 5 (1,0 điểm). 
	Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :
.
Câu 3 (1,0 điểm). 
	Tìm số nguyên sao cho: là số chính phương.	
Ta có:
là số chính phương khi và chỉ khi với .
Đặt là số nguyên dương , ta có pt :
Xét trong hệ đồng dư ta có: 
Suy ra suy ra là số chẵn hay .
Phương trình trở thành : 
Do suy ra :
Vậy là số cần tìm.
Câu 4 ( 3,0 điểm ).
 Cho nửa đường tròn (O ; R), đường kính AB và một điểm M trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến d tại M cắt đường trung trực của AB tại I. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với AB, cắt d tại C và D ( C nằm trong góc AOM ).
Chứng minh OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM.
OC cắt AM tại P, OD cắt BM tại Q. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ đến d.
Xác định vị trí điểm M để tam giác COD có chu vi nhỏ nhất
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức 
	Với ;
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm giá trị của A khi .
	c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Câu 2(3 điểm):
a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. 
b) Giải phương trình: 
Câu 3 (4 điểm): 
	a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2.
	b) T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho chia hết cho 45
Câu 4: (7 điểm) 
1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. 
a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
b.Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: .
Câu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. 
Chứng minh rằng 
a) Với điều kiện ta có:
 .
b) Dễ thấy : thoả mãn điều kiện. Khi đó: .
 Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 
 .
c) Viết lại, =. Để có GTNN thì có GTLN, hay có GTNN.
Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0.
Ta có :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương. 
 Đặt 
(với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a = b = c = 2
Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018.