Tuyển chọn các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển của các tỉnh, thành phố - Năm học 2016-2017

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN 
TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 – 2017
 −1 
Blog TOÁN HỌC CHO MỌI NGƯỜI 
 https://thcmn.wordpress.com/ 
 https://www.facebook.com/thcmn/ 
 blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com 
TRẦN MINH NGỌC – LƯƠNG VĂN KHẢI 
VÕ THÀNH ĐẠT – HOÀNG ĐÌNH HIẾU – LÊ THÀNH LONG – ĐẶNG NHÌ – NGUYỄN DUY TÙNG 
NGUYỄN TRƯỜNG HẢI – ĐỖ TRẦN NGUYÊN HUY – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG 
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN 
TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Tháng 12 năm 2016 
LỜI NÓI ĐẦU
Ban biên tập
"Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa."
Với mục đích giúp quý thầy cô và các bạn học sinh có một tài liệu chất
lượng để chuẩn bị cho kì thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (VMO), tập thể
các quản trị viên blog Toán học cho mọi người đã cùng nhau biên soạn cuốn
sách "Tuyển chọn theo chuyên đề các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển VMO
của các tỉnh, thành phố".
Trong cuốn sách này, các bài toán được liệt kê trước, sau đó là phần lời
giải, đáp số. Trong một số bài toán, chúng tôi có đưa ra nhiều hơn một cách
tiếp cận, nhưng cũng có những bài toán mà chúng tôi thấy chỉ cần hướng dẫn
sơ lược lời giải, qua đó giúpbạnđọc chủđộng trong quá trình đọc tài liệu.Nhiều
bài giải của chúng tôi trong đây chưa phải là cách làm hay nhất, tốt nhất cho
các bài toán tương ứng, và chúng tôi rấtmong nhận được sự đánh giá, đóng góp
của bạn đọc để những lần biên soạn sau, chất lượng cuốn tuyển tập này được
nâng lên.
Các phần của cuốn sách và người biên soạn cụ thể như sau:
• Bất đẳng thức: Võ Thành Đạt (Sinh viên khoa Toán - Tin học Đại học Khoa học
Tự nhiên Tp. HCM).
• Đa thức, Phương trình và Hệ phương trình: Đỗ Trần Nguyên Huy (Học sinh
trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp. HCM) và Phạm Quốc Thắng (Học
sinh trường THPT chuyên Long An).
• Hình học: Trần Minh Ngọc (Học viên Cao học Đại học Sư phạm Tp. HCM),
Lương Văn Khải và Nguyễn Duy Tùng (Sinh viên khoa Toán - Tin học trường
Đại học Khoa học tự nhiên Tp. HCM).
• Số học: Phạm Thị Hồng Nhung (Học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn,
tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu).
• Tổ hợp: Hoàng Đình Hiếu (Sinh viên khoa Công nghệ thông tin trường Đại
học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM) và Đặng Nhì (Sinh viên khoa Toán - Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM).
• Giải tích: Nguyễn Trường Hải (Học sinh trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo,
Bình Thuận).
• Phương trình hàm: Lê Thành Long (Sinh viên khoa Điện - Điện tử trường Đại
học Bách khoa Tp. HCM).
5
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Nam Dũng (trường Đại học
Khoa học Tự nhiên Tp. HCM), anh Lê Phúc Lữ (FPT Software, Tp. HCM), bạn
Đào Nguyễn Nguyên Trân (Swiss UMEF, Thuỵ Sĩ), bạn Đỗ Thuỳ Anh (THPT
chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá), bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh (THPT chuyên Lý
Tự Trọng, Cần Thơ), bạn Hoàng Hữu Quốc Huy (THPT chuyên Lê Quý Đôn,
Bà Rịa - Vũng Tàu) đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong quá trình biên soạn
cuốn sách này. Cảm ơn các thành viên của các diễn đàn NangKhieuToan.com
(nangkhieutoan.com), Diễn đàn Mathscope (forum.mathscope.org), Diễn đàn
Toán học Việt Nam (diendantoanhoc.net), Diễn đàn Art of Problem Solving
(artofproblemsolving.com) đã đóng góp các đề bài và lời giải.
Trong quá trình biên soạn, chắc chắn chúng tôi không tránh khỏi những
sai sót ở các đề bài và lời giải, rất mong được lắng nghe những nhận xét, góp ý
và phê bình thẳng thắn từ các bạn. Mọi thắc mắc và đóng góp xin vui lòng liên
hệ fanpage Toán học cho mọi người ở địa chỉ www.facebook.com/thcmn hoặc
qua email blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com.
Cảm ơn tất cả các bạn !
6 
Mục lục
I CÁC BÀI TOÁN 8
1 Bất đẳng thức 8
2 Đa thức 11
3 Giải tích 13
4 Hình học 19
5 Phương trình và hệ phương trình 28
6 Số học 30
7 Tổ hợp 33
II LỜI GIẢI 39
1 Bất đẳng thức 39
2 Đa thức 60
3 Giải tích 81
4 Hình học 112
5 Phương trình và hệ phương trình 167
6 Số học 179
7 Tổ hợp 201
 7
Phần I
CÁC BÀI TOÁN
1 Bất đẳng thức
Bài 1. (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
1. Cho x, y là các số thực dương sao cho 2x+y và 2y+x khác 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P = (2x
2+ y)(4x+ y2)
(2x+ y −2)2 +
(2y2+x)(4y +x2)
(x+2y −2)2 −3(x+ y)
2. Cho a,b,c > 0 sao cho a+b+ c = 3. Chứng minh rằng
a
b2(ca+1) +
b
c2(ab+1) +
c
a2(bc+1) ≥
9
(1+abc)(ab+bc+ ca)
Bài 2. (Trường Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Tp. HCM) Tìm số nguyên dương k
nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
xk ykzk(x3+ y3+ z3)≤ 3
đúng với mọi số thực dương x, y,z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 3.
Bài 3. ( THPT chuyên Đại học Vinh) Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức
sau đúng với mọi số thực không âm a,b,c
ab+bc+ ca ≤ (a+b+ c)
2
3
+k.max{(a−b)2, (b− c)2, (c−a)2}≤ a2+b2+ c2
Bài 4. (Bà Rịa - Vũng Tàu)
1. Cho x, y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh bất đẳng thức
1
(2x+ y + z)2 +
1
(2y + z+x)2 +
1
(2z+x+ y)2 ≤
3
16
2. Cho x, y,z không âm và thỏa x2+ y2+ z2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức
(x2y + y2z+ z2x)
(
1p
x2+1
+ 1√
y2+1
+ 1p
z2+1
)
≤ 3
2
.
8 
Bài 5. (Bắc Ninh) Cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện a+b+ c = 9. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
T = ab
3a+4b+5c +
bc
3b+4c+5a +
ca
3ac+4a+5b −
1p
ab(a+2c)(b+2c)
Bài 6. (Bến Tre) Cho a,b,c là các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1344
a+pab+ 3pabc
− 2016p
a+b+ c
Bài 7. (Bình Thuận) Cho các số thực dương x, y,z. Chứng minh rằng
x2
y + z +
y2
z+x +
z2
x+ y ≥
x+ y + z
2
≥ yz
y + z +
xy
x+ y +
zx
z+x
Bài 8. (Đồng Nai) Cho các số thưc dương a,b,c thỏamãn abc = 1. Chứngminh rằng :
√
a
b+ c +
√
b
a+ c +
√
c
a+b ≥
3
p
3p
a3+b3+ c3+3
Bài 9. (Hà Nam) Cho a,b,c ≥ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P =
√
a
b+ c +
√
b
a+ c +
√
c
a+b
Bài 10. (Hà Nội) Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc + ca+2abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất
của
P = 1
a
+ 1
b
+ 1
c
−2(a+b+ c).
Bài 11. (Hà Tĩnh) Cho các số thực dương a,b,c và thỏa mãn a5+b5+ c5 = 3. Chứng
minh rằng
a6b6+b6c6+ c6a6 ≤ 3
.
Bài 12. (Hải Phòng) Cho a,b,c ≥ 1
2
thỏa mãn a+b+ c = 6. chứng minh rằng
ab+bc+ ca ≥ 3
p
abc+ab+bc+ ca−4
 9
Bài 13. (Hòa Bình) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc = 1 và x, y,z thuộc R
Chứng minh rằng :
x2(a+b)+ y2(b+ c)+ z2(c+a)≥ 2(xy + yz+ zx)
Bài 14. (Khánh Hòa) Cho hai số thực x và y thỏa mãn x2+ xy + y2 ≤ 2. Chứng minh
rằng
5x2+2xy +2y2 ≤ 12
Bài 15. (Lạng Sơn) Cho x, y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của :
P = 1
x2+2y2+3 +
1
y2+2z2+3 +
1
z2+2x2+3
Bài 16. (NamĐịnh) Cho các số thực dương a,b,c thỏamãn a+b+c = 3. Chứngminh
rằng:
(a+pb)2p
a2−ab+b2
+ (b+
p
c)2p
b2−bc+ c2
+ (c+
p
a)2p
c2− ca+a2
≤ 12
.
Bài 17. (Ninh Bình) Cho x, y,z > 0 thỏa mãn x+ y + z = 3. Chứng minh rằng:
1p
x+py +
1p
y +pz +
1p
z+px ≥ 4
(
1
x+7 +
1
y +7 +
1
z+7
)
Bài 18. (Quảng Bình) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và a ≥ b ≥ c . Chứngminh
rằng √
a(a+b−
p
ab)+
√
b(a+ c−pac)+
√
c(c+b−
p
bc)≥ a+b+ c
Bài 19. (QuảngNam) Cho các số thực không âm a,b,c,d . Chứngminh bất đẳng thức:
(a+b+ c+d)3 ≤ 4(a3+b3+ c3+d3)+24(abc+bcd + cda+dab)
Bài 20. (Quảng Ninh) Cho a,b,c > 0 thỏa mãn (a+b)(b+ c)(c +a)= 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P =
p
a2−ab+b2p
ab+1
+
p
b2−bc+ c2p
bc+1
+
p
c2− ca+a2p
ca+1
10 
Bài 21. (Quảng Ngãi) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa a+b+c = 3. Chứngminh rằng
1
a
+ 1
b
+ 1
c
+ a+1
1+b2 +
b+1
1+ c2 +
c+1
1+a2 ≥ 6≥
8
a2+b2+2 +
8
b2+ c2+2 +
8
c2+a2+2
Bài 22. (Quảng Trị) Cho 3 số không âm x, y,z thỏa x+ y + z = 2. Chứng minh rằng
x2y + y2z+ z2x ≤ x3+ y3+ z3 ≤ 1+ 1
2
(x4+ y4+ z4)
Bài 23. (Tp. HCM) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+ c = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
(a2+1)2+ (b2+1)2+ c2+1)2+6p6abc
Bài 24. (Thái Nguyên)
1. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1
(1+a)3 +
1
(1+a)3 +
1
(1+a)3 +
3
32
(ab+bc+ ca)≥ 21
32
2. Cho x, y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz ≥ 1 và z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
F = x
1+ y +
y
1+x +
4− z3
3(1+xy)
Bài 25. (Thanh Hóa) Cho x, y,z > 0 thỏa x+ y + z = 1
x
+ 1
y
+ 1
z
. Chứng minh rằng
1
(2xy + yz+ zx)2 +
1
(2yz+ zx+xy)2 +
1
(2zx+xy + yz)2 ≤
3
16x2y2z2
.
2 Đa thức
Bài 1. (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Tìm tất cả đa thức hệ số
thực thỏa mãn
2
(
P (x)−P
(
1
x
))2
+3P (x2)P
(
1
x2
)
= 0.
Bài 2. (Bến Tre) Cho khai triển (1−2x+x3)n = a0+a1x+a2x2+ ...++a3nx3n . Xác định
hệ số a6 biết rằng a0+ a1
2
+ a2
22
+ ...+ a3n
23n
=
(
1
2
)15
.
 11
Bài 3. (Bến Tre) Cho phương trình
x5− 1
2
x4−5x3+x2+4x−1= 0
Chứng minh rằng phương trình trên có đúng 5 nghiệm phân biệt. Với xi (i = 1,5) là
nghiệm của phương trình trên, tính tổng S biết: S =
5∑
i=1
xi +1
2x5
i
−x4i −2
.
Bài 4. (Bình Dương) Cho dãy các đa thức hệ số thực {Pn(x)},n = 1,2,3, ... thỏa mãn
điều kiện Pn(2cosx)= 2n cos(nx),∀x ∈ R,∀n ∈N∗. Chứng minh rằng với mỗi n ∈N∗ thì
Pn(x) là đa thức hệ số nguyên bậc n và x ≤ n
√
Pn(x),∀x > 2.
Bài 5. (Đà Nẵng) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức f (x) bậc
n có hệ số nguyên thỏa mãn: f (0)= 0, f (1)= 1 và với mọim ∈N∗, f (m)( f (m)−1) là bội
của 2017.
Bài 6. (Đà Nẵng) Chứngminh rằng với mọim ∈N, tồn tại đa thức fm(x) có hệ số hữu
tỉ thỏa mãn với mọi n ∈N∗ thì: 12m+1+22m+1+ ...+n2m+1 = fm(n(n+1)).
Bài 7. (Đồng Nai) Cho số tự nhiên n ≥ 2 và n số thực a1,a2, . . . ,an sao cho a1 >−1,a2 ≥
n−1
2
. Giả sử phương trình xnn +a1xn−1+a2xn−2+ . . .+an−1x+an = 0 có đúng n nghiệm
thực. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm đó nằm trong đoạn [−a1,a1+2].
Bài 8. (Hà Nam) Cho P,Q,R là 3 đa thức hệ số thực thỏa mãn: P (Q(x))+P (R(x)) = c
∀x ∈R với c = const ∈R. Chứng minh rằng P (x)≡ const hoặc [Q(x)+R(x)]≡ const
Bài 9. (Hà Tĩnh) Cho các đa thức P (x),Q(x),R(x) với hệ số thực có bậc tương ứng là
3,2,3 thỏamãnđẳng thức P2(x)+Q2(x)=R2(x), ∀x ∈R. Hỏi đa thức T (x)= P (x).Q(x).R(x)
có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả nghiệm bội).
Bài 10. (Hải Phòng) Cho dãy đa thức hệ số thực
{
Pn (x)
}+∞
n=0 xác định như sau P0 (x)=
2,P1 (x)= 2x,Pn+1 (x)= 2x.Pn (x)+
(
1−x2
)
Pn−1 (x)∀n ≥ 1.
1. Xác định công thức tổng quát của Pn (x).
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để Pn (x) chia hết cho x2+3.
Bài 11. (Hòa Bình) Cho đa thức P (x)= x4+ax3+bx2+cx+d vàQ(x)= x2+px+q cùng
thuộc Q[x] . Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng I có độ dài lớn
hơn hai và ngoài khoảng I chúng đều nhận giá trị không âm . Chứng minh rằng tồn
tại xo ∈R đề P (xo)<Q(xo).
Bài 12. (Tp. HCM) Cho đa thức P (x) = x2016+ a2015x2015+ a2014x2014+ ...+ a1x + a0 có
hệ số thực với P (1)P (2) 6= 0 và 4P
/(2)
P (2)
> P
/(1)
P (1)
+2016. Giả sử P (x) có 2016 nghiệm thực,
chứng minh rằng trong số đó, có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).
Bài 13. (Khánh Hòa) Cho P (x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứngminh rằng tồn tại
hai đa thứcQ(x) và R(x) sao cho
12 
1. P (x)R(x) là các đa thức của x2.
2. P (x)R(x) là các đa thức của x3.
Bài 14. (Long An) Tìm tất cả đa thức P (x) thỏa mãn:
P (−x).P (3x)+ (P (2x))2 = P (x).P (5x),∀x ∈R.
Bài 15. (Nghệ An) Cho m là số nguyên dương thỏa mãn m ≡ 1(mod2017). Chứng
minh rằng đa thức P (x)= x2017−mx+2016 là đa thức bất khả quy trên Z[x].
Bài 16. (Phú Thọ) Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số thực thỏa mãn
(x2−6x+8)P (x)− (x2+2x)P (x−2)= 6x2−12x.
Bài 17. (Quảng Bình) Cho đa thức
f (x)= x2017+ax2+bx+ c
trong đó a,b,c ∈ Z có ba nghiệm nguyên x1,x2,x3 . Chứng minh rằng biểu thức sau là
bội của 2017
(a2017+b2017+ c2017+1)(x1−x2)(x2−x3)(x3−x1)
Bài 18. (Quảng Nam) Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
P (x2)+P (x).P (x+1)= 0,∀x ∈R
Bài 19. (Vĩnh Phúc) Cho Pi (x)= x2+bi x+ ci (i = 1,2, ...,n) là n đa thức đôi một phân
biệt với hệ số thực sao cho với mọi 1 ≤ i < j ≤ n thì đa thức Qi , j (x) = Pi (x)+P j (x) có
nghiệm thực duy nhất. Tìm giá trị lớn nhất có thể của n.
3 Giải tích
Bài 1. (THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN) Cho dãy số (xn) thỏa x1 = 3,x2 = 7
và:
xn+2 = x2n+1−x2n +xn ,n ∈N∗
Đặt dãy:
yn =
n∑
k=1
1
xk
Chứng minh (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
 13
Bài 2. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) Tìm a để dãy số (un) hội tụ,
biết u1 = a và:
un+1 =

2un −1 khi un > 0
−1 khi −1≤ un ≤ 0
u2n +4un +2 khi un <−1
,n ∈N∗
Bài 3. (THPT chuyên ĐH Vinh) Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn:
1. f (1)> 0.
2. f (xy −1)+2 f (x) f (y)= 3xy −1∀x, y ∈R.
Bài 4. (THPT chuyên ĐH Vinh) Cho số thực a ≥ 2 và dãy số (un) xác đinh bởi:
u1 = a
un+1 = un + ln un +1
2un −3
,n ∈N∗
Chứng minh rằng dãy un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 5. (Bà Rịa - Vũng Tàu)
1. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f :R→R thỏa mãn:
f (x−2016 f (y))= y −2017 f (x) ∀x, y ∈R.
2. Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn
f (x+ y f (x))= x f (y)+ f (x) ∀x, y ∈R.
Bài 6. (Bà Rịa - Vũng Tàu) Cho dãy số xn xác định bởi:
x1 = 1
2
xn+1 =
nx2n
1+ (n+1)xn
,n ∈N∗
1. Chứng minh xn ≤ 1
n(n+1) ,∀n ≥ 1.
2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn =
n∑
k=1
kxk
1+ (k+1)xk
. Chứngminh dãy số có giới
hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Bài 7. (Bình Dương) Tìm tất cả các hàm số f : R→ R thỏa mãn 1
3
f (xy)+ 1
3
f (xz)−
f (x) f (yz)≥ 1
9
.
Bài 8. (Bình Thuận)
14 
a. Tìm limun với un = 1
2
· 3
4
· · · 2n+1
2n+2 n ∈N.
b. Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 1
un+1 =
√
1+u2n −1
un
,n ∈N∗
Tìm công thức tổng quát của (un).
Bài 9. (Đà Nẵng) Cho dãy Fibonacci xác định như sau:{
u1 = u2 = 1
un = un−1+un−2
Chứngminh rằng với mọi số nguyên tố p ≥ 7 thì có đúng 1 trong 2 số up−1,up+1 là bội
của p.
Bài 10. (Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm f :R→R thỏa mãn
f (x2−2y f (x))+ f (y2)= f 2(x− y),∀x, y ∈R.
Bài 11. (Đồng Nai) Cho dãy số (un) xác định bởi:

u1 ∈
(
1;2
)
un+1 = 1+un −
u2n
2
,∀n ∈N∗
Chứng minh rằng
(
un
)
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 12. (Hà Nam) Cho hai dãy số được xác định bởi:
x1 = y1 =
p
3
xn+1 = xn +
√
1+x2n
yn+1 = yn
1+
√
1+ y2n
,∀n ∈N∗
1. Chứng minh rằng xn yn ∈ (2;3) ∀n ≥ 2.
2. Tính lim
n→+∞ yn.
Bài 13. (Hà Nội) Cho dãy số
(
un
)
có u1 = 1,un = n
n−1un−1+n với n ∈N và n ≥ 2.
1. Xác định công thức của
(
un
)
.
2. Chứng minh u1+u2+ ...+u2016 < 20163.
 15
Bài 14. (Hà Tĩnh) Với mỗi số nguyên dương n, xét hàm số fn trên R được xác định
bởi fn(x)= x2n +x2n−1+ ...+x2+x+1.
1. Chứng minh hàm số fn đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm duy nhất.
2. Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số fn là sn. Chứngminh dãy số (sn) có giới hạn hữu
hạn.
Bài 15. (Hải Phòng) Cho dãy số (un) thỏa:
u1 = 1
un+1 =
u2n +n
2un
,n ∈N∗
Chứng minh rằng dãy
(
unp
n
)
có giới hạn hữu hạn.
Bài 16. (Hòa Bình) Xác định tất cả các hàm f : R→ R thỏa mãn: f ([x]y) = f (x)[ f (y)]
với [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Bài 17. (Hòa Bình) Cho (xn) được xác định như sau:
x0 > 0;xn+1 = xn
1+x2n
,n ∈N
Tìm lim
p
2nxn.
Bài 18. (Hòa Bình) Cho dãy số (xn) xác định bởi:
xo = 1
x1 = 41
xn+2 = 3xn +
√
8(x2n+1+x2n),n ∈N
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bài 19. (Tp. HCM) Cho dãy số un xác định bởi công thức:
u1 = 1,u2 = 3
2
un+2 = un+1+2
un +2
,n ∈N∗
Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn.
Bài 20. (KhánhHòa) Tìm các hàm số f :R→R thỏamãn: f (xy)+ f (x−y)+ f (x+y+1)=
xy +2x+1 với mọi x, y ∈R
Bài 21. (Khánh Hòa) Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1 = a
un+1 = un
n
+ n
un
,n ∈N∗
16 
Chứng minh rằng
[
u2n
]
= n khi n ≥ 4.
Bài 22. (Lạng Sơn) Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 =−1
3
un+1+1= un +1√
u2n +1
∀n ∈N∗.
1. Chứng minh rằng un+1+1< 3(un +1)p
10
∀n ∈N∗.
2. Chứng minh rằng dãy (un) hội tụ. Tính lim
n→+∞un.
Bài 23. (Lạng Sơn) Tìm tất cả các hàm số f :R→R đơn điệu trên R thỏa mãn:
f (x3+ f (y))= f 3(x)+ y∀x, y ∈R
Bài 24. (Lào Cai) Cho dãy số thực (xn) được xác định bởi
x1 = 5
2
xn+1 =
√
x3n −12xn +
20n+21
n+1
.
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó .
Bài 25. (Ninh Bình) Cho hàm số f :N∗→N∗ thỏa mãn các điều kiện sau:
i. f (m)< f (n) ∀m,n ∈N∗;m < n.
ii. f (mn)= f (m) f (n) ∀m,n ∈N∗; (m,n)= 1.
iii. ∃i ∈N∗, i > 1 sao cho f (i )= i .
1. Chứng minh rằng f (1)= 1 , f (3)= 3.
2. Tìm tất cả các hàm f (n) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 26. (Ninh Bình) Cho dãy số (xn) xác định bởi hệ thức:x1 = 1xn+1 =√xn(xn +1)(xn +2)(xn +3)+1,n ∈N∗
Đặt yn =
n∑
i=1
1
xi +2
. Tính lim yn .
 17
Bài 27. (Phú Thọ) Xét dãy số thực vô hạn x1,x2, · · · ,xn thỏa mãn
|xm+n −xm −xn | < 1
m+n
với mọi số nguyên dươngm,n. Chứng minh rằng (xn) là cấp số cộng.
Bài 28. (QuảngBình) Tìm tất cả hàmsố f :N∗→N∗ sao cho ba số a, f (b), f (b+ f (a)−1)
luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi a,b ∈N∗
Bài 29. (Quảng Binh) Cho a là một số thực và dãy số thực (xn) xác định bởi
xn = 2016n+a. 3
√
n3+1.
1. Tìm a sao cho dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm a để dãy số là dãy tăng từ một lúc nào đó.
Bài 30. (Quảng Ninh) Cho a,b là các số thực dương. Xét dãy số un được xác định bởi
un = a2n2+bn, với n ∈N∗. Tính Lim
{p
un
}
.
Bài 31. (Quảng Trị) Cho dãy số xn xác định bởi
x1 = 2
xn+1 = 2xn +1
xn +2
Tìm số hạng tổng quát xn và tìm limxn.
Bài 32. (Thái Bình) Cho dãy số (an) có a1 ∈R và an+1 =
∣∣∣an −21−n∣∣∣ ,∀n ∈N∗. Tìm liman .
Bài 33. (Thanh Hóa) Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn:
f ( f (x)+ f (y))= f (x2)+2x2 f (y)+ ( f (y))2
với mọi x, y ∈R
Bài 34. (Thanh Hóa) Với số thực a 6= −1p
2
cho trước ,xét dãy số an cho bởi

a1 = a
an+1 =
7
√
2a2n +7−14
4an +
√
2a2n +7
Xác định a để dãy có giới hạn hữu han.
18 
4 Hình học
Bài 1. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nhọn (AB < AC ) có H ,O
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Điểm E thuộc cạnh AC sao cho
OE//BC . OE cắt đường tròn ngoại tiếp 4EBC tại F . Tiếp tuyển tại F của đường tròn
ngoại tiếp4EBC cắt BC ,AH ở P,Q.
1. Chứng minh đường tròn (K ) ngoại tiếp4BPQ đi qua trung điểmM của AH .
2. PA,PH cắt (K ) ở S,T khác P . Chứngminh hai tiếp tuyển của (K ) tại S,T cắt nhau
tại một điểm trênME .
Bài 2. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Tứ giác ABCD nội tiếp (O) sao
cho ABCD không phải hình thang. Tiếp tuyến tại C ,D của (O) cắt nhau tại T . TA cắt
BD tại S, E dối xứng với D qua S. AB cắt đường tròn ngoại tiếp4EBC tại F . EC cắt TA
tại P .
1. Chứng minh rằng PF tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp4EBC .
2. Giả sử PF cắt AC tại Q, H ,K lần lượt là hình chiếu của Q lên FA,FC . M là trung
điểm FA. Chứng minh rằng tiếp tuyến qua A của (O) và đường thẳng qua Qv
song song AO cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp4MHK .
Bài 3. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nhọn nội tiếp (O) có H
là trực tâm. P là một điểm nằm trên trung trực của BC và nằm trong 4ABC . Đường
thẳng qua A song song PH cắt (O) tại E khác A. Đường thẳng qua E song song AH cắt
(O) tại F khác E . Gọi Q là điểm đối xứng với P qua O. Đường thẳng qua F song song
với AQ cắt PH tạiG.
1. Chứng minh rằng B ,C ,P,G cùng thuộc một đường tròn tâm K .
2. AQ cắt (O) tại R khác A. PQ cắt FR tại L. Chứng minh KL =OP .
Bài 4. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp
(I ). Đường tròn qua B ,C tiếp xúc (I ) tại P . AI giao BC tại X . Tiếp tuyến qua X của (I )
khác BC , giao tiếp tuyến tại (I ) tại P tại S. AS giao (O) tại T khác A. Chứng minh rằngAT I = 90o
Bài 5. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) Cho 4ABC nhọn. Đường
tròn (I ) có tâm I thuộc BC và tiếp xúc với các cạnh AB ,AC lần lượt tại E ,F .Llấy hai
điểm M ,N bên trong tứ giác BCEF sao cho tứ giác EFNM nội tiếp (I ) và các đường
thẳng BC ,MN ,EF đồng quy.MF cắt NE tại P , AP cắt BC tại D.
1. Chứng minh A,D,E ,F cùng thuộc một đường tròn.
2. Trên đường thẳng BN ,CM lấy các điểm H ,K sao choƒACH =ABK = 90o. Lấy T là
trung điểm HK . Chứng minh TB = TC .
 19
Bài 6. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) 4ABC có BAC tù, H là
chân đường cao kẻ từ A xuống BC . Điểm M thay đổi trên cạnh AB . Dựng N sao cho
4BMN ∼4HCA (H ,N ) nằm khác phía với AB .
1. CM cắt đường tr