Tuyển chọn 50 bài toán điển hình về xác suất trong thi THPT quốc gia

 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 
XÁC SUẤT 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp 
đó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. 
Hướng dẫn 
* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách) 
* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách) 
* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách) 
Suy ra xác suất cần tìm là ( ) 4
90 10
24 12
p
+
= = 
Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. 
Hướng dẫn 
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu. 
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 424C cách lấy hay n( Ω ) = 424C . 
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau: 
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 110 8 6 2160C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 110 8 6 1680C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 210 8 6 1200C C C = cách 
Do đó, n(A) = 5040 
Vậy, xác suất biến cố A là ( ) 5040( ) 47,4%( ) 10626
n AP A
n
= = ≈
Ω
Bài 3: Từ các chữ số của tập { }0;1;2;3;4;5T = , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên 
có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có 
ít nhất một số chia hết cho 5. 
Hướng dẫn 
 + Có 255. 100A = số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau 
+ Có 2 15 44. 36A A+ = số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. 
+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. 
+ ( ) 1 1100 99. 9900n C CΩ = = 
+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5” 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Ta có: ( ) 1 1 1 136 64 36 35. . 3564n A C C C C= + = 
Vậy : ( ) ( )( )
3564 9 0,36
9900 25
n A
P A
n
= = = =
Ω
Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác 
suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn 
trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là: ( ) 520 15504n CΩ = = . 
- Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 
4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4. 
- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: ( ) 3 1 110 5 5. . 3000n A C C C= = . 
Vậy, xác suất cần tính là: ( ) ( )( )
3000 125
15504 646
n A
P A
n
= = =
Ω
. 
Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một 
số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ 
số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ). 
Hướng dẫn 
Xét các số có 9 chữ số khác nhau: 
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. 
- Có 89A cách chọn 8 chữ số tiếp theo 
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. 89A = 3265920 
Xét các số thỏa mãn đề bài: 
- Có 45C cách chọn 4 chữ số lẻ. 
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 
cách xếp. 
- Tiếp theo ta có 24A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. 
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại. 
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó == !6..7.)( 2445 ACAn 302400. 
 Vậy xác suất cần tìm là 
54
5
3265920
302400)( ==AP . 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 6: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh 
để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. 
Hướng dẫn 
- Ta có ( ) 311 165n CΩ = = 
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 25 6 5 6. . 135C C C C+ = 
- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
165 11
= 
Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 
0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu. 
Hướng dẫn 
- Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8 
- B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9 
- Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = . .+AB AB 
Vậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26 
Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà 
hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và 
có đủ ba bộ môn 
Hướng dẫn 
Ta có : 416 1820CΩ = =
Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ” 
 B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ” 
 C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “ 
Thì H = A B C∪ ∪ : “Có nữ và đủ ba bộ môn” 
2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3 3( )
7
C C C C C C C C CP H + += =
Ω
Bài 9:
 Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh 
để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. 
Hướng dẫn 
( ) 311 165n CΩ = = 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 25 6 5 6. . 135C C C C+ = 
- Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
165 11
= 
Bài 10: Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung 
kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn 
thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách 
bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm 
Hướng dẫn 
- Có 5 5 5 520 15 10 5( )n C C C CΩ = cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn. 
- Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cùng một nhóm” 
- Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có 5 5 515 10 5C C C cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại. 
- Do vai trò các nhóm như nhau nên có 5 5 515 10 54A C C CΩ = 
Khi đó 5
20
4(A)P
C
= 
Bài 11 : Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 
4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. 
Hướng dẫn 
- Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C420 = 4845 
- Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi (mỗi chiếc lấy từ một đôi) là : 
(số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc) = C41024 
Xác suất cần tìm là : 
44 4
20 10
4
20
C - C .2 672
=
969C
Bài 12: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước 
ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng 
A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử không gian mẫu là 44 4 412 8( ) . . 34.650n C C CΩ = = 
- Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau” 
- Số các kết quả thuận lợi của A là 3 3 39 6 3( ) 3 .2 .1. 1080n A C C C= = 
Xác xuất của biến cố A là ( ) 1080 54( ) 0,31( 34650 173
n AP A
n
= = =
Ω
≃
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 13: Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt. 
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có 
bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt. 
Hướng dẫn 
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử. 
- Gọi A là biến cố “Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy 
được 2 bánh ngọt”. 
2 5 2 4 2
8 5 3n( ) (C ) , n(A) 5.(C ) .C⇒ Ω = = 
2 4 2
5 3
2 5
8
5.(C ) .C 9375P(A) 0,0087(C ) 1075648⇒ = = ≈ 
Bài 14: Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính 
xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 
tấm mang số chia hết cho 10. 
Hướng dẫn 
- Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 
1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 
- Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C1030 cách chọn 
- Ta phải chọn : 
+ 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C155 cách chọn. 
+ 1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C13 cc 
+ 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có : C412 
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) = 
5 4 1
15 12 3
10
30
. . 99
667
=
C C C
C
Bài 15: Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán 
đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2 
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết 
năm học của tỉnh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn 
có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí. 
Hướng dẫn 
- Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cách chọn ra 3 học sinh trong các học sinh 
đạt giải của kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, do đó ta có 36( ) C 20n Ω = = 
- Kí hiệu A là biến cố ‘‘4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học 
sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí’’ 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Vì chỉ có đúng 2 học sinh nữ đạt giải đều thuộc môn Vật lí, do đó phải chọn tiếp ra 2 
học sinh nam lại phải có mặt ở hai môn khác nhau thì chỉ có thể là 2 học sinh nam đạt 
giải môn Toán hoặc 1 học sinh nam đạt giải môn Toán và 1 học sinh nam đạt giải môn 
Vật lí. Vậy ta có 1 12 2
(A) 1(A) 1 . 5 (A) ( ) 4
n
n C C P
n
= + = ⇒ = =
Ω
Bài 16: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ giống nhau và 6 viên bi xanh cũng giống nhau. Lấy 
ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được lấy ra có đủ hai màu và 
số viên bi màu đỏ lớn hơn số viên bi màu xanh. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là: 411 330C = . 
- Trong số 4 viên bi được chọn phải có 3 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. 
- Số cách chọn 4 viên bi đó là: 3 15 6. 60C C = . 
Vậy xác suất cần tìm là : 60 2
330 11
P = =
Bài 17: Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An 
và Bình. Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho 
hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau. 
Hướng dẫn 
- Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử 
( ) 6! 720n⇒ Ω = = (phần tử) 
- Gọi A là biến cố: "An và Bình đứng cạnh nhau". 
 ( ) 5!.2! 240n A⇒ = = (phần tử) 
( ) 240 1( ) ( ) 720 3
n AP A
n
⇒ = = =
Ω
 (phần tử) 
Bài 18: Cho tập { }A 0;1;2;4;5;7;8= .Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân 
biệt lấy từ A. Tính số phần tử của X. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập X, tính xác suất để số 
lấy được là số chẵn. 
Hướng dẫn 
+) Xét các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử các số đó có dạng: 
, 0.abcd a ≠ 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 7 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+ Chọn 0a ≠ , có 6 cách chọn, chọn các chữ số , ,b c d a≠ và xếp thứ tự có: 36 120A = cách. 
⇒ có tất cả: 6.120 = 720 số tự nhiên như vậy. 
Vậy số phần tử của X là: 720. Số phần tử của không gian mẫu là: ( ) 720n Ω = . 
+) Gọi B là biến cố: “Số tự nhiên được chọn là số chẵn”. 
+) Xét các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử các số đó có dạng: 
{ }1 2 3 4 1 4, 0, 0; 2; 4;8a a a a a a≠ ∈ . 
+) TH1: 4 0a = , có 1 cách chọn; chọn các chữ số 1 2 3, , 0a a a ≠ và xếp thứ tự có 36 120A = 
cách chọn ⇒TH1 có: 1.120 = 120 số tự nhiên như vậy. 
+) TH2: { }4 2; 4; 6a ∈ , có 3 cách chọn; chọn { }1 4\ 0;a A a∈ , có 5 cách chọn; chọn các 
chữ số { }2 3 1 4, \ ;a a A a a∈ và xếp thứ tự có 25 20A = cách chọn ⇒TH2 có: 3.5.20 = 300 số 
tự nhiên như vậy. 
⇒ có tất cả: 120 + 300 = 420 số tự nhiên như vậy ⇒Số phần tử thuận lợi cho biến cố B 
là: n(B) = 420. 
+) Vậy: ( ) 420 7( ) ( ) 720 12
n BP B
n
= = =
Ω
. 
Bài 19: Có 13 tấm thẻ phân biệt trong đó có 1 tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, 1 tấm thẻ ghi chữ 
ĐẠI, 1 tấm thẻ ghi chữ HỌC và 10 tấm thẻ đánh số lần lượt từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 
7 thẻ. Tính xác suất để rút được 7 thẻ : ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; 2 ; 0 ; 1 ; 5 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là 713 1716C = 
- Có 1 cách chọn 7 thẻ ĐỖ ; ĐẠI ; HỌC ; 2 ; 0 ; 1; 5 . Vậy xác suất cần tìm 1
1716
P = 
Bài 20: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. 
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được 
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là 416 1820CΩ = = . 
- Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả 
màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau: 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 34 5C C 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 14 5 7C C C 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 24 5 7C C C 
Khi đó 1 3 1 1 2 1 2 14 5 4 7 5 4 7 5 740B C C C C C C C CΩ = + + = . 
Xác suất của biến cố B là ( ) 740 37
1820 91
BP B
Ω
= = =
Ω
. 
Bài 21: Biết trong số 10 vé xổ số còn lại trên bàn vé có 2 vé trúng thưởng. Khi đó một 
người khách rút ngẫu nhiên 5 vé .Hãy tính xác suất sao cho trong 5 vé được rút ra có ít 
nhất một vé trúng thưởng 
Hướng dẫn 
+ Số phần tử của không gian mẫu: Ω = 510C =252 
+ Biến cố A: “Trong năm vé rút ra có ít nhất một vé trúng thưởng” 
⇒ biến cố A : “Trong năm vé rút ra không có vé nào trúng thưởng” 
⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 58C = 56 
⇒ Xác suất của biến cố A là P( A ) = 56
252
⇒ Xác suất của biến cố A là P(A) = 56 71
252 9
− = 
Bài 22: Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu 
nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không 
quá 1 phế phẩm 
Hướng dẫn 
- Mỗi kết quả lấy ra 6 sản phẩm từ 12 sản phẩm ứng với tổ hợp chập 6 của 12, do đó số 
kết quả có thể xảy ra là: ( ) 612 924n CΩ = = 
- Gọi A là biến cố: “Lấy ra 6 sản phẩm có 2 phế phẩm” 
- Khi đó A là biến cố: “Lấy ra 6 sản phẩm mà trong đó có không quá 1 phế phẩm” 
Ta tìm được ( ) 2 42 10 210n A C C= = ⇒  
Bài 23: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất 
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia 
hết cho 10. 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Hướng dẫn 
- Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 
1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 
- Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có: 1030C cách chọn 
Ta phải chọn : 
+ 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ 
+ 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 
+ 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy. 
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thuận lợi để xảy ra biến cố A là: 13412515 CCC 
Xác suất cần tìm là 
667
99)( 10
30
1
3
4
12
5
15
==
C
CCCAP 
Bài 24: Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập { }1,2,...,11 .S = Tính xác suất để tổng ba số được chọn 
là 12 
Hướng dẫn 
- Số trường hợp có thể là 311 165.C = 
- Các bộ (a, b, c) mà 12a b c+ + = và a b c< < là : 
(1, 2,9), (1,3,8), (1, 4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6), (3,4,5) . Vậy 7 .
165
P = 
Bài 25: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một 
số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ 
số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ). 
Hướng dẫn 
Xét các số có 9 chữ số khác nhau: 
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. 
- Có 89A cách chọn 8 chữ số tiếp theo 
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. 89A = 3265920 
Xét các số thỏa mãn đề bài: 
- Có 45C cách chọn 4 chữ số lẻ. 
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 
cách xếp. 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 10 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Tiếp theo ta có 24A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. 
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại. 
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó == !6..7.)( 2445 ACAn 302400. 
 Vậy xác suất cần tìm là 
54
5
3265920
302400)( ==AP . 
Bài 26: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi 
cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. 
Hướng dẫn 
- Gọi Ω là tập hợp các cách lấy ra 4 viên bi từ 11 viên bi ban đầu, ta có ( ) 411n C 330Ω = = 
- Số các viên bi đánh số lẻ là 6, số các viên bi đánh số chẵn là 5. 
- Gọi A là biến cố lấy ra 4 viên bi có tổng là một số lẻ 
TH1. Trong 4 viên lấy ra có 1 viên bi lẻ, 3 viên bi chẵn. 
Suy ra TH1 có 1 36 5C C 6.10 60= = cách 
TH2. Trong 4 viên lấy ra có 3 viên bi lẻ, 1 viên bi chẵn 
Suy ra TH2 có 3 16 5C C 20.5 100= = cách 
Vậy ( ) 1 3 3 16 5 6 5n A C C C C 160= + = . Suy ra ( ) ( )( )
n A 160 16P A
n 330 33
= == =
Ω
Bài 27: Trường THPT Trần Quốc Tuấn có 15 học sinh là Đoàn viên ưu tú, trong đó khối 
12 có 3 nam và 3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường 
chọn ra 1 nhóm gồm 4 học sinh là Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt 
sĩ. Tính xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh 
nam. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu: 415 1365CΩ = = 
- Gọi biến cố A: “nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh 
nam” 
- Số phần tử của biến cố A: 1 1 1 13 2 2 8. . . 96A C C C CΩ = = . Vậy: 
96 32( )
1365 455
P A = = 
Bài 28: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ 
số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước 
Hướng dẫn 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ XÁC SUẤT TRONG THI THPT QUỐC GIA 
Trang 11 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: 1 2 3 4 5a a a a a trong đó i ja a≠ với i ≠ j 
a1 0≠ ⇒ Có 9 cách chọn a1 
 + Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2 
 + Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3 
 + Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4 
 + Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5 
9.9.8.7.6⇒ Ω = = 27216 
- Xét biến cố A: “Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số 
đứng trước”. Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp: 
X ={ }1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp 
xếp theo thứ tự tăng dần 59A C⇒Ω = 
126 1( )
27216 216
P A⇒ = = 
Bài 29: Một hộp chứa 6 bi màu vàng, 5 bi màu đỏ và 4 bi màu xanh có kích thước và 
trọng lượng như nhau, lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp. Tính xác xuất sao cho trong 8 bi lấy 
ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ. 
Hướng dẫn 
Gọi A là biến cố: “trong 8 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng với số bi màu đỏ” 
Trường hợp 1: Chọn được 2 bi vàng, 2 bi đỏ và 4 bi xanh.
 Trường hợp 2: Chọn được 3 bi vàng, 3 bi đỏ và 2 bi xanh. 
Trường hợp 3: Chọn được 4 bi vàng, 4 bi đỏ. 
( ) 2 2 4 3 3 2 4 46 5 4 6 5 4 6 5 1425n A C C C C C C C C⇒ = + + =
- Gọi không gian mẫu Ω là số trường hợp có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 8 bi trong hộp 
chứa 15 bi: ( ) 815 6435n C⇒ Ω = =
Vậy xác suất s