Tứ giác nội tiếp, tiếp tuyến, đường thẳng song song, góc bằng nhau, đẳng thức hình học, ba điểm thẳng hàng

CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH : 
TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 
( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )
I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.
1. Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn :
Cách 1 . Sử dụng định nghĩa đường tròn. 
Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H là trực tâm tam giác . Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự là trung điểm AH, BH, CH .
Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn.
Cách 2 . Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nội tiếp một đường tròn. 
Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
Ví dụ : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B). Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Cách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.
	Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận AB làm dây.
Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốn điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.
Ví dụ : Cho (O) . MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( MC < MD ). Gọi I là trung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD. Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI
2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ( đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung ).
Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn ( chỉ ra khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn ).
Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây .
Nếu thì Bx là tiếp tuyến của (O) .
Ví dụ . Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. 
Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
+ OI.OD = OC2 = OM2 (1)
+ PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2)
+ Từ (1) và (2) => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến (O)
3. Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau .
a. Chứng minh đường thẳng song song.
- Quan hệ từ vuông góc đến song song.
- Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau.
- Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV.
- Định lí thứ nhất về đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Định lí Ta let đảo.
b. Chứng minh góc bằng nhau.
- Cộng góc.
- Góc SLT, SLN, ĐV .
- Góc có cạnh tương ứng song song.
- Sử dụng tam giác bằng nhau, đồng dạng.
- Quan hệ các góc trong đường tròn : Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây. 
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M . AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P. CMR : NP // MS
+ .
+ 
=> 
+ 
Từ (1) và (2) suy ra NP//MS ( định lí Ta let đảo ).
4. Chứng minh đẳng thức hình học.
- Các phép biến đổi tương đương.
- Định lí Pitago.
- Định lí Ta let và hệ quả.
- Cạnh , đường chéo trong tứ giác đặc biệt .
- Tam giác bằng nhau, đồng dạng.
- Định lí thứ nhất , thứ hai về đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Tính chất trọng tâm tam giác.
- Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; hai dây song song chắn hai cung bằng nhau.
- Quan hệ giữa các góc trong đường tròn.
- Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Ví dụ 1 . Tõ mét ®iÓm D n»m ngoµi ®­êng trßn t©m O kÎ hai tiÕp tuyÕn DA vµ DB ®Õn ®­êng trßn (A vµ B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Tia n»m gi÷a hai tia DA vµ DO; c¾t ®­êng trßn t¹i hai ®iÓm C vµ E (E n»m gi÷a C vµ D), ®o¹n th¼ng OD c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i M. 
Chøng minh r»ng: 
+ 
=> 
+ 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Ví dụ 2 . Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung không chứa D lấy F(F B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P A). 
a) Chứng minh AN.AF = AP.AM 
b) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Chứng minh : 
a) (2 góc nội tiếp chắn cung AE)
 (Cùng bù với góc EDC)
Suy ra: nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM
Nên (1)
 Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM 
b) Xét I nằm giữa B, D ( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)
 Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên ( cùng bằng ), suy ra tứ giác CKFH nội tiếp nên .
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
Suy ra: 
Mà suy ra: 
5. Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ).
Một mệnh đề toán học khẳng định 3 điểm thẳng hàng luôn có một mệnh đề tương đương khẳng định 3 đường thẳng đồng quy.
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng ( 3 đường thẳng đồng quy ):
- 3 điểm tạo thành góc bẹt.
- Tiên đề Euclid .
- Bổ đề hình thang.
- Ba đường cao, đường phân giác trong ( trong - ngoài ), ba đường trung tuyến, ba đường trung trực trong tam giác.
- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt.
- 
- Góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau .
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì đường nối tâm đi qua tiếp điểm.
Ví dụ 1. ( Đường thẳng Simson ).
Cho ba điểm A, B, C trên đường tròn. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đường thẳng . ( Đường thẳng Simson của điểm M ).
+ => D, E, F thẳng hàng.
Ví dụ 2 . Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
Có => B, O, I, C, M thuộc đường tròn đường kính OM.
=> PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1)
Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2)
=> FI.FM = FQ.FT => 4 điểm M, T, I, Q thuộc một đường tròn => => M, T, P thẳng hàng.
II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E.
1) Chứng minh .
2) Chứng minh tam giác MNE cân.
3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME.
Bài 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM.
c) BE.DN = EN.BD.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD.
1) Chứng minh OM // DC.
2) Chứng minh tam giác ICM cân.
3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B, C ( AB < AC ). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) .Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). 
Chứng minh DM .
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 
Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C ( CA > CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D. Kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh : 2
BD cắt CH tại M. Chứng minh EM // AB.
Bài 6. Cho tam giác ABC có . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai tại D, đường thẳng AC cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai là E. 
Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) ( F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.
Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng BH.AD = AH. BD
Bài 7. Cho đường tròn ( O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O và A). Tia CM cắt đường tròn ( O; R) tại điểm thứ hai là N. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại N. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại M ở P.
Chứng minh OMNP là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh CN// OP.
Khi AM = . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R.
Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao BE, CF của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của (O).
a) Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N. 
Chứng minh AM = AN.
Bài 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) .Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B. Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F.
 	1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn.
 	 2) Gọi I là trung điểm của BF.Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho.
 	3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của cắt AE và AF lần lượt tại M và N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C và H). Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F.
Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh BE.CF = ME.MF.
 Giả sử . Chứng minh .
Bài 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC. Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.
Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R). Chứng minh rằng 
Tính tích MC.BF theo R.
Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 13.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC. Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE.
1) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R). Chứng minh rằng 
3) Tính tích MC.BF theo R.
Bài 14.
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 15.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn (). Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của góc cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F. Tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. Chứng minh rằng:
	a/ Tam giác là tam giác cân.
	b/ 
	c/ Tứ giác là hình thoi.
Bài 16.
  Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O) lấy 2 điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D. Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.
Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp.
Chứng minh: BF = BG
	c) Chứng minh: 
Bài 17.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra 
2) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
3) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
Chứng minh 
4) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
Bài 18.
 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.
1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).
2)Trên cung nhỏ của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF và 
	b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.
Bài 19.
 Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C).
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh 
 c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh: 
Bài 20.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M
Chứng minh AB. MB = AE.BS
Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng
 c) Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P. CMR NP vuông góc với BC
Bài 21. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng với A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K. 
a) Chứng minh rằng: và rABI cân
b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đường thẳng NI là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NIMO.
d) Đường tròn ngoại tiếp rBIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Bài 22 . Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.
Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
Bài 23.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C. Qua I dựng một đường thẳng vuông góc với IC cắt tia By tại D. Gọi E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID và MB.
1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp
2/ Chứng minh EF // AB
3/ Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng
	4/ Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúc nhau tại M
Bài 24.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC 
	1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn
	2. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
	3. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. 
	Chứng minh rằng 
Bài 25.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn (K) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BF và CE.
	a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
	b) Chứng minh OA vuông góc với EF. 
	c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. 
CHUYÊN ĐỀ 2 
DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ .
I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.
1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:
a. Kiến thức liên quan.
- Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng B.
- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.
b. Các bài tập minh họa.
Bài 1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 ) .
Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với M).
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).
3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.
Giải :
1) 
2) Chỉ ra nên 
3) Chỉ ra tứ giác ABEC là hình vuông.
3 điểm A, D, E cùng nhìn BC dưới một
góc bằng nhau và bằng 900 nên 5 điểm 
A, B, D, E, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
4) Dễ dàng chứng minh được MO1EO2 là hình chữ nhật 
nên O1O2 = EM .
Gọi O là hình chiếu của E trên BC thì EO = không đổi.
Có ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm BC.
Suy ra khi M là trung điểm BC.
Bài 2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 )
Cho nửa đường tròn đường kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K.
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ.
3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất.
Giải :
1) MP//NQ mà ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên . Hai điểm I và N cùng 
nhìn PQ dưới một góc bằng nhau và 
bằng 900 nên 4 điểm P, Q, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính PQ.
2) Chứng minh được 
3) Gọi H là hình chiếu của P trên MN, O là trung điểm MN. Áp dụng hệ thức lượng của tam giác vuông cho tam giác vuông MPN có đường cao PH :
MP.NP = PH.MN (1)
Theo phần 2) (2)
Từ (1) và (2) suy ra NK.MQ = PH.MN .
NK.MQ đạt Max thì PH.MN đạt Max mà MN không đổi nên PH đạt Max.
Có ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )
Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng O , khi đó P là điểm chính giữa nửa đường tròn. 
Vậy Max(NK.MQ) = Max(PH.MN) = đạt được khi P là điểm chính giữa nửa đường tròn.
Bài 3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 )
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng v