Từ công thức tính thể tích vật thể đến công thức tính thể tích khối cầu, chỏm cầu

TỪ CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ 
ĐẾN CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU, CHỎM CẦU 
--------------------------------------------------
I/ Công thức tính thể tích vật thể.
Trong không gian Oxyz , gọi B là phần của vật thể T giới hạn bởi 2 mp vuông góc với Ox tại các điểm a,b ( a <b) . Tại điểm x Î [a,b] ta dựng mặt phẳng a vuông góc Ox cắt vật thể T theo thiết diện có diện tích S(x) . Khi đó thể tích V của B là V= ( Sách GK GT 12- Nâng cao) 
II/ Áp dụng: Xét vật thể T là vật thể tròn xoay – khi đó thiết diện tạo bởi mp a qua x và vuông góc Ox là hình tròn có bán kính rx và diện tích S(x) = p - Trong bài viết ta xét vật thể là khối cầu và 1 phần khối cầu.
1/Thể tích khối cầu:
Trong mp Oxy, cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tại điểm có hoành độ x Î [-R;R] dựng mặt phẳng a vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx .
Gọi S(x) là diện tích hình tròn này.
Thể tích khối cầu bán kính R là :
 2/ Thể tích chỏm cầu:
Tại điểm có hoành độ x Î [R-h;R] dựng mặt phẳng a vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx .
Gọi S(x) là diện tích hình tròn này.
Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu bán kính R là :
 3/ Thể tích đới cầu
Tại các điểm có hoành độ a, bÎ [-R;R] ( a <b) dựng các mặt phẳng a , b vuông góc Ox . Tính thể tích phần khối cầu giới hạn bởi 2 mp a, b.Tại điểm có hoành độ x Î [a,b] dựng mặt phẳng g vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx .
Thể tích khối phần khối cầu giới hạn bởi 2 mp a, b của khối cầu bán kính R là :
 III/ Phần bài tập trác nghiệm liên quan.
 Chúng tôi chỉ nêu câu dẫn , học sinh tự đề xuất các phương án trả lời để có các bài trắc nghiệm hoàn chỉnh.
001.Một chỏm cầu của hình cầu có chiều cao h = 1, và bán kính đáy r = 3. Tính bán kính R của hình cầu.
Hướng dẫn:
Gọi d là khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu . Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2
Þ 9= 2d+1 ( h=1, r=3) Þ d =4 Þ R =5
002. Một chỏm cầu của hình cầu bán kính R = 5; có chiều cao h = 1. Tính bán kính mặt đáy r của chỏm cầu .
Hướng dẫn: 
Gọi d là khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu . Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2
Þ 25 = (d+1)2 Þ d =4 Þ r=3
( bài tính ngược của bài 001)
003. M là một điểm trên mặt cầu (O, R) . a là mp qua M và tạo với OM một góc 300. a cắt khối cầu thành 2 chỏm cầu. Tính thể tích chỏm cầu chứa điểm O.
Hướng dẫn:
Gọi d là khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu .
Từ giả thiết Þ d= R/2 Þ h= R/2
Thể tích chỏm cầu là V= p h2(R- 
H
004. Hình quạt OAB của hình tròn tâm O; bán kính R = 4 có góc ở tâm bằng 1200. M là trung điểm cung AB. Quay hình quạt này quanh đường thẳng OM ta được vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể T.
Hướng dẫn:
Gọi d là khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu .
Từ giả thiết Þ d= OH = R/2 Þ h= HM = R/2
Thể tích chỏm cầu là p h2(R- 
Thể tích khối nón là p r2h*= 
Thể tích vật thể T là +
.005. Hình quạt OAB của hình tròn tâm O; bán kính R = 4 có góc ở tâm bằng 600. Quay hình quạt này quanh đường thẳng OA ta được vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể T.
Hướng dẫn: 
Dựng đường cao BH của tam giác đều ABC. (xem hình bên) 
H là trung điểm OA. Vật thể T gồm khối chỏm cầu của hình cầu bán kính bằng 4 có chiều cao AH = 2 và khối nón có chiều cao OH=2 và bán kính đáy BH= a 
Thể tích vật thể T bằng
 006. Hình lập phương nội tiếp trong một hình cầu bán kính R . Một mặt phẳng chứa một mặt của hình lập phương cắt khối cầu thành 2 chỏm cầu. Tính thể tích chỏm cầu nhỏ hơn.
Hướng dẫn:
Đường chéo hình lập phương bằng 2R Þ cạnh hình lập phương là a= 
Gọi d là khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu Þ d= 
Þ chiều cao khối chỏm cầu là h = R-.
007. Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm , đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h =4cm . Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân) 
( Hsg- MTCT lớp 11- năm học 2009-2010- Thừa Thiên Huế)
Hướng dẫn:
Kí hiệu V1 là thể tích khối nước hình chỏm cầu- chiều cao h = 4
Vc là thể tích viên bi sắt bán kính r
V2 thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h* = 2r 
V2 = V1+ Vc Þ 
Þ 
Þ 
008. Gọi (C) là mặt cầu tiếp xúc tất cả các cạnh của tứ diện đều cạnh a . Một mặt phẳng chứa một mặt của tứ diện đều, cắt khối cầu (C) thành 2 chỏm cầu. Tính thể tích khối chỏm cầu nhỏ hơn.
Hướng dẫn:
Khối cầu (C) có tâm I là trọng tâm tứ diện tiếp xúc các cạnh tại các trung điểm .
M là trung điểm cạnh AB Þ R = IM = 
Khoảng các từ I đế mặt cầu là d = ¼ chiều cao , bằng 
Þ chiều cao chỏm cầu là h = R- d= 
Þ Thể tích chỏm cầu nhỏ hơn là: V= 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------