Trích dẫn đề thi IMSO 2014 - Phần 2: Các bài toán tự luận (90 phút)

TRÍCH DẪN ĐỀ THI IMSO 2014 
Phần 2: Các bài toán tự luận (90 phút) 
1. (Hội đồng Đề thi) 
Al sống ở Alton còn Ben sống ở Benburg, 2 thị trấn này cách nhau 12 km Họ muốn đến Centreville, 
nơi này cách 30 km từ Alton và 20 km từ Benburg. Ben nhờ Al đi taxi từ Alton đến Benburg để đón 
anh ấy, sau đó cả hai sẽ cùng đi đến Centreville. Giá tiền đi taxi là 1000 rupiahs/km. Ben sẽ trả phần 
tiền taxi đi thêm khi taxi phải qua đón anh, còn phần tiền còn lại sẽ được trả đều bởi cả Ben và Al. Hỏi 
phần trả tiền của Ben khi đi chung taxi với Al? 
2. (Hội đồng Đề thi) 
Mỗi người trong Alice và Brian có một ít bò. Alice nói với Brian, “Nếu tôi thêm 3 lần số bò anh có vào 
với số bò tôi đã có, thì tôi sẽ rất vui.” Brian trả lời, “Nếu tôi thêm 5 lần số bò anh có vào với số bò tôi 
đã có, thì tôi sẽ rất vui.” Biết số bò mà làm cả hai người cùng vui là bằng nhau, tìm giá trị nhỏ nhất của 
số bò này? 
3. (Hội đồng Đề thi) 
Ban đầu, một con robot đứng quay về hướng bắc. Cứ mỗi khi ngừng chuyển động thì nó sẽ tự động 
quay về hướng bắc. Robot được lập trình để di chuyển như sau: 
(1) Quay sang phải 30°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
(2) Quay sang phải 90°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
(3) Quay sang phải 150°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
(4) Quay sang phải 210°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
(5) Quay sang phải 270°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
(6) Quay sang phải 330°, đi về phía trước 1 km và dừng. 
Tìm khoảng cách giữa vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng của robot? 
4. (Hội đồng Đề thi) 
Lương của Holly và Molly lần lượt là 67510 rupiahs mỗi giờ và 32490 rupiahs mỗi giờ. Tổng cộng họ 
đã nhận được 267510 rupiahs. Nếu Holly làm việc bằng số giờ Molly đã làm, còn Molly làm việc bằng 
số giờ Holly đã làm, tổng cộng họ sẽ nhận được 232490 rupiahs. Hỏi Holly và Molly đã làm việc trong 
bao nhiêu giờ? 
5. (Singapore) 
ABCD là hình chữ nhật với AB = 25 cm và BC = 30 cm. M là điểm trên AD sao cho AM/AD 1/3 và 
N là điểm trên đường chéo AC sao cho AN/AC 3/5. Tính diện tích tam giác BMN? 
6. (Trung Quốc) 
Cho 4 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của mỗi 2 số chia hết cho 2 và tổng của mỗi 3 số chia 
hết cho 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 4 số này? 
7. (Trung Quốc) 
ABCD là một hình vuông cạnh 10 cm. E, F, G và H lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC,CD và 
DA, sao cho EG // AD và FH // AB. P là điểm trên AE sao cho PE = 2 cm, và Q là điểm trên DH sao 
cho HQ = 3 cm. Tính diện tích tứ giác PFGQ? 
 8. (Hội đồng Đề thi) 
Điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 vào các ô vuông khác nhau trong biểu thức: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên? 
9. (Việt Nam) 
Trong tam giác ABC, AD và BE là các đường cao còn AP và BQ lần lượt là các đường phân giác tại 
góc A và B (P thuộc CD và Q thuộc CE. Nếu PAD = 6° và QBE =18° , tính số đo BCA? 
10. (Hội đồng Đề thi) 
Một số có 2014 chữ số là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho khi nhân với 3 thì tất cả các chữ số của 
tích là số chẵn. Hỏi chữ số 3 xuất hiện bao nhiêu lần trong số ban đầu? 
11. (Trung Quốc) 
Tìm 3 cách khác nhau để chia hình sau thành 2 phần có diện tích bằng nhau với đúng một đường thẳng. 
12. (Việt Nam) 
Một nhóm 18 người có tính chất rất lạ là mỗi người bất kỳ trong số họ đều là bạn của tất cả những 
người bạn của những người mà họ chưa kết bạn, mặt khác, họ lại đều chưa kết bạn với tất cả những 
người bạn của những người bạn của mình. Hỏi trong nhóm này có ít nhất và nhiều nhất bao nhiêu cặp 
bạn bè biết rằng mỗi người có ít nhất một người bạn trong nhóm? 
13. (Sri Lanka) 
Một trang trại 112 m x 75 m được chia thanh 13 khu đất hình vuông, như hình vẽ. Khu đất ở góc phải 
dưới cùng có độ dài cạnh là 33 m. Có một con đường thẳng làm biên giữa các khu đất, và cắt 2 khu đất 
còn lại theo các đường kẻ đứt. Tìm độ dài cạnh của mỗi khu đất?