Tóm tắt lý thuyết – Dạng toán chương 3 Hình học lớp 12

Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 1 
TĨM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TỐN CHƢƠNG 3 HH LỚP 12 
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ 
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
1. ( ; ; )M M M M M MM x y z OM x i y j z k    
2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) 
 ( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z    
 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z      
3. M là trung điểm AB thì : 
 M ; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z   
 
 
4. G là trọng tâm của ABC thì: 
 G 




 
3
;
3
;
3
CBACBACBA zzzyyyxxx 
5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì: 
 G ; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C Dx x x x y y y y z z z z         
 
 
6. Ứng dụng của tích cĩ hƣớng: 
 a) Diện tích tam giác ABC: 
1
,
2
ABC
S AB AC 
 
 b) Diện tích h b hành ABCD:  
 
,
ABCD
S AB AD 
 c) Thể tích tứ diện ABCD: 
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD 
 
 d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ , ]. 'AB AD AA 
7. Tọa độ các điểm đặc biệt: 
( ;0;0) ( ) ( ; ;0)
(0; ;0) ( ) ( ;0; )
(0;0; ) ( ) (0; ; )
M Ox M x M Oxy M x y
M Oy M y M Oxz M x z
M Oz M z M Oyz M y z
   
   
   
1. 
1 2 3( ; ; )a a a a  1 2 3a a i a j a k   
2. Các tính chất: 
Cho hai vecto 
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b  ta cĩ: 
     
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b 
 
1 2 3( ; ; )ka ka ka ka 
 1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b   
 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


  
 
 2 2 21 2 3| |a a a a   
 1 1 2 2 3 3. 0 0a b a b a b a b a b       
 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
 

   
 (với 0 , 0a b  ) 
3. Tích cĩ hƣớng của 2 vectơ: 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
a b a b
b b b b b b
 
      
 
4. Điều kiện 2 vectơ cùng phƣơng: 
    1 2 3
1 2 3
1 2 3
( , , 0)
a a a
a cùng phươngb b b b
b b b
   
 
, 0a cùng phươngb a b 
5. Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng: 
 , ,a b c đồng phẳng   
 
, . 0a b c 
6. A, B, C thẳng hàng ,AB AC cùng phƣơng. 
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI KHOẢNG CÁCH 
1. Vị trí tƣơng đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp 
 ( 1 ): 1 1 1 1 0A x B y C z D    
 ( 2 ): 2 2 2 2 0A x B y C z D     2 2 2; ; 0A B C  
 ( 1 ) cắt ( 2 )  
1 1 1
2 2 2
; ;
A B C
A B C
 cĩ một cặp khác nhau 
 ( 1 ) // ( 2 )  
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
   
 ( 1 ) ≡ ( 2 )  
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
   
 ( 1 ) ( 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2. 0 . . . 0n n A A B B C C      
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
 Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng 
( ): Ax + By + Cz + D = 0: 
2 2 2
( , ( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng: 
 Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1 và 
cĩ VTCP a ): 
0
0
,
( , )
a M M
d M d
a
 
 
 
O
x
y
z
i (1;0;0)
j (0;1;0)
k (0;0;1)
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 2 
2. Vị trí tƣơng đối của 2 đƣờng thẳng: Cho 2 đt 
d1 qua M1 và cĩ VTCP 1a ; d2 qua M2 và cĩ VTCP 2a 
 d1//d2 
1 2
1 2
, 0a a
M d
   

 d1d2 
1 2
1 2
, 0a a
M d
   

 d1 cắt d2 

1 2
1 2 1 2
, 0
, . 0
a a
a a M M
   

   
 d1 chéo d2  1 2 1 2, . 0a a M M    
 1 2d d  1 2. 0a a  
3. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng: 
a) Cách 1: 
Cho d: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
 

 
  
 và ( ): 0Ax By Cz D    
+ Thay ptts của d vào pt ( ) ta cĩ: 
A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1) 
 Phương trình (1) cĩ 1 nghiệm  d cắt ( ) 
 Phương trình (1) vơ nghiệm  d // ( ) 
 Phương trình (1) vơ số nghiệm  d  ( ) 
* Tìm tọa độ giao điểm I của d và ( ): 
 Thay ptts của d vào pt ( ), giải tìm t 
 Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z 
  I(x;y;z) 
b) Cách 2: 
 Đt d đi qua M và cĩ VTCP a ; mp ( ) cĩ VTPT n 
 d cắt ( )  . 0a n  
 d // ( )  
. 0
( )
a n
M 
 


 d  ( )  
. 0
( )
a n
M 
 


 ( )d   ;a n cùng phương. 
3. Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau: 
d1 qua M1 và cĩ VTCP 1a ; d2 qua M2 và cĩ VTCP 2a 
  
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
a a M M
d d d
a a
 
 

 
 
4. Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng song song: 
    1 2 2, ,d d d d M d (lấy 1M d ) 
5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: 
    1 2 2( ),( ) , ( )d d M   (lấy 1( )M  ) 
6. Khoảng cách giữa đt và mp song song: 
    , ( ) , ( )d d d M  (lấy M d ) 
GĨC 
1. Gĩc giữa 2 mặt phẳng: 
 Cho 1( ) cĩ VTPT 1n , 2( ) cĩ VTPT 2n , ta cĩ : 
1 2
1 2
.
cos
.
n n
n n
  
2. Gĩc giữa 2 đƣờng thẳng: 
 Cho d1 cĩ VTCP 1a , d2 cĩ VTCP 2a , ta cĩ : 
1 2
1 2
.
cos
.
a a
a a
  
3. Gĩc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: 
 Cho d cĩ VTCP a , ( ) cĩ VTPT n , ta cĩ : 
.
sin
.
n a
n a
  
4. Gĩc trong tam giác ABC : 
AB.AC
cos A
AB.AC
 
II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
1. Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính 
Mặt cầu (S) cĩ: 
 + Tâm I(a;b;c) 
 + Bán kính r 
Vậy ptmc (S): 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      
r I
2. Mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d       cĩ tâm I (a;b;c) , bán kính 
2 2 2r a b c d    , (với 2 2 2 0a b c d    ). 
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 3 
1/ Bài tốn 1: Viết phƣơng trình mặt cầu dạng cơ bản 
Dạng 1: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a;b;c) và đi qua điểm ( ; ; )A A AA x y z : 
Mặt cầu (S) cĩ: 
 + Tâm I(a;b;c) 
 + Do (S) đi qua A nên cĩ bán kính:      
2 2 2
A I A I A Ir IA x x y y z z       
Vậy ptmc (S): 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      
r IA
r IA 
Dạng 2: Mặt cầu (S) cĩ đƣờng kính AB: 
Mặt cầu (S) cĩ: 
 + Gọi I là trung điểm của AB  Tâm ; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z zI
   
 
 
 + Do (S) cĩ đkính AB nên cĩ bkính:
     
2 2 2
2 2
    
 
B A B A B Ax x y y z zAB
r 
 (Ta cĩ thể tính bán kính r = IA hay r = IB) 
Vậy ptmc (S): 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      
r IA B
AB
r
2
(r IA IB)

 
Dạng 3: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0: 
Mặt cầu (S) cĩ: 
 + Tâm I(a;b;c) 
 + Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên cĩ bán kính:  
2 2 2
, ( )
Aa Bb Cc D
r d I P
A B C
  
 
 
Vậy ptmc (S): 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      
I
P) r d(I,(P)
r
Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D: 
 + Gọi ptmc (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d       (đk: 2 2 2 0a b c d    ) 
 + Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) cĩ hệ 4 pt, giải hệ tìm 
a,b,c,d) 
 + Vậy ptmc (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d       
III. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
1. Phƣơng trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng 
quát của mp(P) ta cần tìm 2 yếu tố: 
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTPT của mp(P) là: ( ; ; )n A B C ,  0n  
 (VTPT là vectơ vuơng gĩc với mp(P)) 
 Ptmp (P) cĩ dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 
P)
VTPT n (A;B;C)
 0 0 0 0M x ; y ;z
2. Chú ý 
* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì cĩ 
véctơ pháp tuyến là ( ; ; )n A B C . 
* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các 
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), 
B(0;b;0), C(0;0;c) thì: 
(P): 1 ( , , 0)
x y z
a b c
a b c
    . 
3. Các trƣờng hợp đặc biệt: 
  ( ) / / ( ) : 0 0 ( )Ox By Cz D D Ox         
  ( ) / / ( ) : 0 0 ( )Oy Ax Cz D D Oy         
  ( ) / / ( ) : 0 0 ( )Oz Ax By D D Oz         
 ( ) : 0; ( ) : 0; ( ) : 0Oxy z Oxz y Oyz x   . 
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 4 
1/ Bài tốn 1: (P) cĩ điểm thuộc và cĩ 1 VTPT 
* Phƣơng pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một 
điểm thuộc (P) và một VTPT vuơng gĩc với (P) 
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTPT của mp(P) là: ( ; ; )n A B C ,  0n  
 Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 
P)
VTPT n (A;B;C)
 0 0 0 0M x ; y ;z
* Một số cách xác định VTPT thƣờng gặp: 
1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = 0 
 + VTPT của (Q) là: (Q)n (A;B;C) 
 + Do (P) // (Q) nên (P) cĩ VTPT là: (P) (Q)n n (A;B;C)  
P)
Q)
   P Qn n
2/ (P) d: 
0 1
0 2
0 3
 

 
  
x x a t
y y a t
z z a t
 (hay d: 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  ) 
 + VTCP của d là: d 1 2 3a (a ;a ;a ) 
 + Do (P) // (Q) nên (P) cĩ VTPT là: (P) d 1 2 3n a (a ;a ;a )  
P)
d
 P dn a
3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB 
 + Gọi I là trung điểm của AB ; ; ( )
2 2 2
A B A B A Bx x y y z zI P
   
  
 
 + Do (P)AB nên (P) cĩ VTPT:      ; ;
B A B A B A
n AB x x y y z z 
P)
 Pn AB
A
B
I
4/ (P)AB thì (P) cĩ VTPT:      ; ;
B A B A B A
n AB x x y y z z 
P)
 Pn AB
A
B
2/ Bài tốn 2: (P) cĩ điểm thuộc và cĩ 2 VTCP 
* Phƣơng pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một 
điểm thuộc (P) và 2 VTCP u, v của (P) (VTCP là vectơ nằm trong 
(P) hay song song với (P)) 
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTPT của mp(P) là: , ( ; ; )   n u v A B C 
 Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 
P)
VTPT n u,v   
0M
u
v
* Một số cách xác định VTCP của mp(P): 
1/ (P) // d hay (P) chứa d thì VTCP da của d là 1 VTCP của (P) 
daP)
d
dad
2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì AB là 1 VTCP của (P) 
ABP)
A B
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 5 
3/ (P) (Q) thì VTPT  Qn của Q là 1 VTCP của (P) 
 Qn
P)
Q)
4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d: 
0 1
0 2
0 3
 

 
  
x x a t
y y a t
z z a t
 (hay d: 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  ) 
thì (P) chứa luơn điểm M thuộc d 
Lấy    0 0 0 0 0 0M x ; y ;z M x ;y ;zd (P)   
P)
d
M
3/ Bài tốn 3: (P) cĩ 1 VTPT (hoặc 2 VTCP) nhƣng chƣa cĩ điểm thuộc 
* Phƣơng pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định 1 VTPT hay 2 VTCP của (P) 
+ VTPT của mp(P) là: ( ; ; )n A B C 
 Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đĩ D là ẩn chưa biết, đặt đk cho D nếu cần) 
+ Sử dụng dữ kiện cịn lại để tìm D, các dữ kiện thường gặp là: 
 + 
2 2 2
( , ( ))
  
 
 
o o oAx By Cz D
d M P D
A B C
 + mp(P) tiếp xúc mặt cầu d(I,(P)) R D   (I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S)) 
IV. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 
1. Phƣơng trình tham số: Muốn viết phương trình 
tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố: 
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTCP của d là: 1 2 3a (a ;a ;a ) ,  0a 
 (VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d) 
 Ptts của d: 
0 1
0 2
0 3
(t )
x x a t
y y a t
z z a t
 

  
  
2. Phƣơng trình chính tắc: Muốn viết phương 
trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố: 
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTCP của d là: 1 2 3a (a ;a ;a ) ,  1 2 3; ; 0a a a 
 Ptct của d: 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  
0M
VTCP a
ad
3. Chú ý: 
 VTCP của trục Ox là : (1;0;0)i  
 VTCP của trục Oy là : (0;1;0)j  
 VTCP của trục Oz là : (0;0;1)k  
4. Cách tìm tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P): 
Cho d: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
 

 
  
 và (P): 0Ax By Cz D    
+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của hệ: 
0 1
0 2
0 3
0
 

 

 
    
x x a t
y y a t
z z a t
Ax By Cz D
* Chú ý: Nếu d: 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  
và (P): 0Ax By Cz D    
+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của 
hệ 
0 0 0
1 2 3
0
  
 

    
x x y y z z
a a a
Ax By Cz D
+ Chuyển hệ trên về hệ 3 pt 3 ẩn tìm x,z,y 
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 6 
+ Thay ptts của d vào pt (P) ta cĩ: 
A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1) 
+ Giải pt(1) tìm t 
+ Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z 
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z) 
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z) 
1/ Bài tốn 1: d cĩ điểm và cĩ VTCP 
* Phƣơng pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một điểm thuộc d và một VTCP nằm 
trên d hay song song với d 
 + Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0) 
 + VTCP của d là: 1 2 3a (a ;a ;a ) ,  0a (VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d) 
  Ptts của d: 
0 1
0 2
0 3
(t )
x x a t
y y a t
z z a t
 

  
  
* Một số cách xác định VTCP thƣờng gặp: 
1/ d (P): Ax + By + Cz + D = 0 
 + VTPT của (P) là: (P)n (A;B;C) 
 + Do d (P) nên d cĩ VTCP là: (P)da n (A;B;C)  P)
d
 Pda n
2/ d // : 
0 1
0 2
0 3
 

 
  
x x a t
y y a t
z z a t
 (hay  : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  ) 
 + VTCP của  là: 1 2 3a (a ;a ;a )  
 + Do d // nên d cĩ VTCP là: d 1 2 3a a (a ;a ;a )  
d

da a
3/ d qua 2 điểm A, B thì d cĩ VTCP:      ; ;d
B A B A B A
a AB x x y y z z 
d
da AB
A B 
2/ Bài tốn 2: d cĩ điểm và cĩ 2 VTPT 
* Phƣơng pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một 
điểm thuộc d và 2 VTPT u, v của d (VTPT là vectơ vuơng gĩc với d) 
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0) 
+ VTCP của d là: 1 2 3, ( ; ; )   da u v a a a 
 Ptts của d: 
0 1
0 2
0 3
(t )
x x a t
y y a t
z z a t
 

  
  
 0M
VTCP a u,v   
v
d
u
* Một số cách xác định VTPT của đt d: 
1/ d  thì VTCP a của  là 1 VTPT của d 
d
 a
2/ d // (P) hay d nằm trong (P) thì VTPT  Pn của (P) là 1 VTPT của d 
P)
d
 Pnd
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 7 
3/ dAB thì AB là 1 VTPT của d 
d
B AB
A
3/ Bài tốn 3: d cĩ điểm thuộc, chƣa cĩ 1 VTCP hoặc d cĩ 1 VTCP, chƣa cĩ điểm thuộc (bài tốn 
này thƣờng cho đt d “cắt” đƣờng thẳng  cho trƣớc) 
1/ PP chung: Giả sử d đi qua A và cắt 
0 1
0 2
0 3
:
 

  
  
x x a t
y y a t
z z a t
 tại M 
+ Gọi M d   0 1 0 2 0 3; ;   M x a t y a t z a t 
+ Tính  AM A;B;C (ẩn là t) 
+ Dựa vào dữ kiện cịn lại để tìm ẩn t, các dữ kiện hay gặp là: 
 + 1 2 3( ; ; ) AM a a a a  P 1 2 3n .a 0 A.a B.a C.a 0      
 + AM cùng phương với 1 2 3
1 2 3
A B C
b (b ;b ;b )
b b b
    
+ Khi cĩ t ta tìm tọa độ điểm M 
+ Viết phương trình đường thẳng d cần tìm đi qua A và M. 
*Lƣu ý: Nếu đt d cắt 2 đt 1 2,  cho trước thì ta gọi hai điểm 
1 2M d , N d    theo 2 ẩn t1, t2. Sử dụng dữ kiện đề bài tìm t1, t2 
A
d
M

a
b
2/ Chú ý: 
+ 0 0 0M d Ox M(x ;0;0) Ox; M d Oy M(0;y ;0) Oy; M d Oz M(0;0;z ) Oz            
+  AM A;B;C cùng phương với 
B 0
i (1;0;0)
C 0

  

3/ Đt d là đƣờng vuơng gĩc chung của 2 đt d1 và d2 
0 1
1 0 2
0 3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
 

 
  
 ; 
1 1
2 1 2
1 3
'
: '
'
x x b t
d y y b t
z z b t
 

 
  
 + VTCP của đt d1 là : 
1 1 2 3
( ; ; )da a a a 
 + VTCP của đt d1 là : 
2 1 2 3
( ; ; )da b b b 
 + Gọi A, B là chân đường vuơng gĩc chung của d1, d2 
 + Ta cĩ: 1 0 1 0 2 0 3( ; ; )A d A x a t y a t z a t     
 2 1 1 1 2 1 3( '; '; ')B d B x b t y b t z b t     
 + AB là đường vuơng gĩc chung 
1 1
2 2
. 0
. 0
d d
d d
AB a AB a
AB a AB a
   
  
   
  Giải hệ tìm t, t’ 
 + Suy ra tọa độ A, B 
 + Viết ptđt d đi qua 2 điểm A, B. 
1d
B
AB
A
2d
2da
1da
V. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƢỜNG THẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN 
1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc đt 
0 1
0 2
0 3
:
 

 
  
x x a t
d y y a t
z z a t
 (Cần đưa ptđt d về ptts) 
+ Gọi  0 1 0 2 0 3; ;   M x a t y a t z a t d 
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ẩn t M(...;...;...) 
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 8 
* Các dữ kiện hay gặp: 
1/ 2 2 2( ) ( ) ( )     B A B A B AAB x x y y z z 
2/ 
2 2 2
( , ( ))
  

 
o o oAx By Cz D
d M
A B C
 
3/  
0
0
,
( , )
 
 
 
a MM
d M d M d
a
4/ ABC vuơng tại A . 0AB AC AB AC    
5/ ABC cân tại A AB AC  
6/ ABC đều 
AB BC
AB AC

 

7/ 
1
,
2
ABC
S AB AC 
 
8/ A, B, C thẳng hàng 
1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )  AB a a a AC b b b 
 cùng phương 31 2
1 2 3
aa a
b b b
   
9/ 
1 2 3( ; ; )a a a a vuơng gĩc 1 2 3( ; ; )b b b b 
 1 1 2 2 3 3. 0 0     a b a b a b a b 
10/ a cùng phương với b 31 2
1 2 3
aa a
b b b
   
2/ Chú ý: + 0 0 0M(x ;0;0) Ox M(0;y ;0) Oy M(0;0;z ) Oz   
+ Nếu đề bài yêu cầu tìm 2 điểm 1 2M , N  thì ta gọi tọa độ điểm M, N lần lượt theo 2 ẩn t1, t2. Sử 
dụng dữ kiện đề bài tìm t1, t2 
VI. TÌM ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG 
1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 
+ Gọi  ; ; ( ) . . . 0     M a b c P Aa B b C c D (ta được một phương trình chứa ẩn a,b,c) 
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm thêm 2 phương trình chứa ẩn a,b,c. 
+ Giải hệ phương trình tìm a,b,c M(...;...;...) 
2/ Chú ý: M (Oxy) M(a;b;0) ; M (Oyz) M(0;b;c) ; M (Oxz) M(a;0;c)      
VII. HÌNH CHIẾU VUƠNG GĨC - ĐỐI XỨNG – KHOẢNG CÁCH 
1/ HÌNH CHIẾU VUƠNG GĨC 
Dạng 1: Tìm hình chiếu vuơng gĩc H của điểm A trên mp (P): 
 + Lập ptđt d qua A và vuơng gĩc với (P): 
 A(x0;y0;z0)  d 
 VTCP: Pa n (Do d  (P)) 
  ptts của d: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
 

 
  
 + Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta cĩ: ( )H d P  
 + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H. 
P)
d
H
A
Dạng 2: Tìm hình chiếu vuơng gĩc H của điểm A trên đt d: 
 + Lập ptmp (P) qua A và vuơng gĩc với d: 
 M0(x0;y0;z0)  (P) 
 VTPT: dn a (Do (P)  d) 
  ptmp (P): 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z      
 + Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta cĩ: ( )H d P  
 + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H. 
P)
d
HA
Dạng 3: Tìm hình chiếu vuơng gĩc d’ của đt d trên mp (P): (d cắt (P)) 
 + Gọi ( )A d P  ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A 
 + Lấy điểm Md, viết ptđt  qua M và  (P) 
 + Gọi ( )B P  ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B 
 + Viết ptđt d’ đi qua 2 điểm A, B là đt cần tìm. 
P)
d
BA

d '
M
Tài Liệu Ơn Thi THPT Quốc Gia Năm 2016 – 2017 GV: Nguyễn Văn Suơl – DĐ: 091.8822.604 
Chuyên Đề: Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian Oxyz Trang 9 
2/ ĐỐI XỨNG 
Dạng 1: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua mp (P): 
 + Lập ptđt d qua A và vuơng gĩc với (P): 
 A(x0;y0;z0)  d 
 VTCP: Pa n (Do d  (P)) 
  ptts của d: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
 

 
  
 + Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta cĩ: ( )H d P  
 + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H. 
 + Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P) 
  H là trung điểm của AA’   ' 2 ;2 ;2H A H A H AA x x y y z z   
P)
d
A
A'
H
Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đt d: 
 + Lập ptmp (P) qua A và vuơng gĩc với d: 
 M0(x0;y0;z0)  (P) 
 VTPT: dn a (Do (P)  d) 
  ptmp (P): 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z      
 + Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta cĩ: ( )H d P  
 + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H. 
 + Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d 
  H là trung điểm của AA’   ' 2 ;2 ;2H A H A H AA x x y y z z   
P)
d
HA A'
Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua 
điểm A 
 + Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên (P’) // (P) 
  (P) cĩ pt dạng: Ax+By+Cz+D’= 0 (D’  D) 
 + Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên: d(A,(P’)) = d(A,(P))  D’ 
 + Vậ