Tóm tắt giải tích 12

Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 1 
TĨM TẮT GIẢI TÍCH 12 
1. phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì 
ax
2
+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b
2
-4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) 
Thì 







 



a
b
x
a
b
x
2
''
2
2,12,1
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a; 
S=x1+x2= - b/a ; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) 
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c 
+ <0 thì f(x) cùng dấu a + 0)(21   afxx 
+ 






0
0
0)(
a
xf +






0
0
0)(
a
xf 
+ 











0
2
0)(
0
21


S
afxx +











0
2
0)(
0
21


S
afxx 
3. phƣơng trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; 
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner 
ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-1)(ax
2
 + x + ) = 0 
với =a+b ; =+c 
4. các cơng thức về lƣợng giác, cấp số và lơgarit: 
);2cos1(
2
1
cos
 );
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2 xx
xxxx



)2cos1(
2
1
sin 2 xx  ; 1+tg2x=
x2cos
1
x
x
2
2
sin
1
cotg1  
cấp số cộng:  a,b,c, d = c – b = b – a 
cấp số nhân: a,b,c, 
a
b
b
c
q  
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 2 
I. ĐẠO HÀM 
1. Qui Tắc: 
 (u  v)’ = u’  v’ ; (u.v)’ = u’v + v’u 
2
'
v
u'vv'u
v
u 






 (ku)’ = ku’ (k:const) 
2. Cơng thức: 
(x
n)’ = nxn-1 
 (u
n)’ = nun-1u’ 
2
'
x
1
x
1






 2
'
u
'u
u
1






 
x2
1
x
'
  
u2
'u
u
'
 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu 
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu 
(tgx)’ = 
xcos
1
2
(tgu)’ = 
ucos
'u
2 
(cotgx)’ = 
xsin
1
2
 (cotgu)’ = 
usin
'u
2
 
 (e
x)’ = ex (eu)’ = u’eu 
 (a
x)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna 
(lnx)’ = 
x
1
 (lnu)’ = 
u
'u
 (logax)’ = 
alnx
1
 (logau)’ = 
alnu
'u
 3 
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 
1. Hàm bậc ba : y = ax
3
+bx
2
+cx+d: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’= 3ax2+2bx+c 
 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc khơng (nếu cĩ). 
 Tìm giới hạn 
 tính y’’ tìm 1 điểm uốn 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị (đt)\ 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 
- để hs tăng trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs giảm trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs cĩ cực trị trên D y’=0 cĩ 2 n0 pb 
- để hs khơng cĩ cực trị y’=0 VN hoặc cĩ nghiệm kép 
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị 
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực 
trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 cĩ 3 nghiệm lập thành 
csc  y’=0 cĩ 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 
2. Hàm trùng phƣơng : y = ax4+bx2+c: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’ 
 y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị 
 Tìm giới hạn 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phƣơng: 
- đt nhận oy làm trục đối xứng. 
- để hs cĩ 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’=0 cĩ 3 n0 pb (hoặc 1 n0) 
- để hs cĩ điểm uốn  y’’=0 cĩ 2 n0 pb 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0 ; P>0 ; S>0. 
 4 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử 
dụng đlý Vieet. 
3. Hàm nhất biến : 
dcx
bax
y


 
 Miền xác định D=R\ cd 
 Tính 
 2
'
dcx
bcad
y


 (>0, <0) 
 TCĐ 
c
dx  vì 0lim 

y
c
dx
 TCN c
ay  vì c
ay
x


lim 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
4. Hàm hữu tỷ 
edx
x
edx
cbxax
y







2
 chia bằng 
Hoocner 
 Miền xác định D=R\ de 
 Tính y’=
   2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d






 
 y' = 0 tìm 2cực trị hoặc khơng cĩ. 
 TCĐ 
d
e
x  vì 0lim 

y
d
ex
 TCX   xy vì 0lim 
 edxx

 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
* Một số kết quả quan trọng: 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
- cĩ 2 cực trị hoặc khơng  y’= 0 cĩ 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN 
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là 
d
bax
y ii


2
 và đĩ cũng là đt qua 2 điểm 
cực trị. 
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 cĩ 2 nghiệm pb 
 5 
* CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KSHS: 
1/ Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) 
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x) 
 tính: y’= 
 y’(x0)= 
 pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 
@ Loại 2: pttt cĩ hệ số gĩc k cho trước 
 ta cĩ: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đĩ ta cĩ pttt là: y = 
k(x-x0)+y0 
 pttt // y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = a 
 pttt y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = -1/a. 
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) 
ptđt d qua M cĩ hệ số gĩc k là: y = k(x-x0)+y0 
để d là tt thì hệ sau cĩ nghiệm: 





(2) 
(1) 
kxf
yxxkxf
)('
)()( 00
 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay 
vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 
2/ Giao điểm của 2 đƣờng: Cho y=f(x) và y = g(x) 
+ ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là cĩ mấy 
giao điểm. 
 + bài tốn ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng 
f(x)=g(m) 
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đĩ biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ 
thị. 
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta cĩ: 





(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đĩ tìm điểm tiếp xúc x 
3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’ 
a/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a>0 ; 
a
b
2
 ; g()0. 
b/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a<0 ; 
a
b
2
; g()0. 
c/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,)  ag()0 ; ag()0{áp dụng cho dạng cĩ m2} 
d/ trong g(x) cĩ chứa m biến đổi về dạng ,m > h(x) (hoặc m giá 
trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) 
e/ đối với hàm cĩ mxđ D=R\{x0} thì 
 tăng trên (,+) y’0 ; x0 
 giảm trên (,+) y’0 ; x0 
 6 
4. Cực trị: 
 * y = f(x) cĩ cực trị  y’= 0 cĩ nghiệm và đổi dấu qua điểm đĩ.(y’=0;y”0) 
* y=f(x) cĩ cực đại tại x0 
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) cĩ cực tiểu tại x0
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
 Tập xác định D = R 
 Tính y/ 
Để hàm số cĩ cực trị thì y/ = 0 cĩ hai n 0 pb 






0
0a
2. T.Hợp 2: Hàm số 
//
2
bxa
cbxax
y


 
 Tập xác định 







/
/
\
a
b
RD 
 Tính 
 2//
/
)(
bxa
xg
y

 
Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 cĩ hai nghiệm pb thuộc D 








0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
================================================================
5. GTLN, GTNN: 
 a. Trên (a,b) Tính y’ 
 Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) 
 KL: 
 ;
max CD
a b
y y , 
 ;
min CT
a b
y y 
b. Trên [a;b] Tính y’ 
 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm  0 ;x a b 
 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) 
 Chọn số lớn nhất M KL:  ;
max
a b
y M 
 Chọn số nhỏ nhất m , KL:
 ;
min
a b
y m 
 7 
III. Hàm số m và logarit: 
1. Cơng thức l y thừa: 
 Với a>0, b>0; m, nR ta cĩ: 
 a
n
a
m 
=a
n+m
 ; 
mn
m
n
a
a
a  ; (
na
1
=a
m
 ; a
0
=1 ; a
1
=
a
1
) ; (a
n
)
m 
=a
nm 
 (ab)
n
=a
n
b
n 
; m
nn
b
a
b
a






 ; 
n mn
m
aa  . 
2. Cơng thức logarit: logab = ca
c
=b ( 00) 
 Với 00 ; R ta cĩ: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; 
 loga
2
1
x
x = logax1logax2; 
 xa
xa log ; logax

= logax ; xx aa log
1
log

  ; (logaa
x
=x); 
 logax=
a
x
b
b
log
log
; (logab= ablog
1
) ; logba.logax=logbx ; a
log
b
x
=x
log
b
a
. 
3. Phƣơng trình m - lơgarít : 
 * Dạng ax= b ( a> 0 , 0a  ) 
 b 0 : pt vơ nghiệm 
 b>0 : log
x
aa b x b   
* Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x)  f(x) = g(x) 
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa 
* Dạng loga x b ( a> 0 , 0a  ) 
Điều kiện : x > 0 ; log
b
a x b x a   
 logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x) 
 Đặt ẩn phụ; mũ hĩa 
 4. Bất PT m – logarit: 
 * Dạng ax > b ( a> 0 , 0a  ) ; b 0 : Bpt cĩ tập nghiệm R 
 b>0 : log
x
aa b x b   , khi a>1; log
x
aa b x b   , 
 khi 0 < a < 1 
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa 
 8 
* Dạng loga x b ( a> 0 , 0a  , x>0 ) 
log ba x b x a   , khi a >1 ; log
b
a x b x a   , khi 0 < x < 1 
 Đặt ẩn phụ; mũ hĩa 
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: 
 Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) 
  F    xfx / ,  bax ; 
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 
  cxdx.1   ctgxdx
xCos
.
1
2 
 1
1
.
1





c
x
dxx   cCotgxdx
xSin
2
1
. 
  cxdx
x
ln.
1
   cedxe
xx
. 
  cSinxdxCosx. 
  c
a
a
dxa
x
x
ln
. 
  cCosxdxSinx. 
Nguyên hàm các hàm số thƣờng gặp: 
 
 
 



c
bax
a
dxbax
1
1
.
1

  
  
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2
 
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1
  
  
cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2
     cbaxSin
a
dxbaxCos .
1
.  

ce
a
dxe
baxbax
.
1
. 
     cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.
 


c
a
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
.
1
. 
 9 
Các phƣơng pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của 
một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. 
Phƣơng pháp đổi biến số :        
b
a
xdxxfA ..
/
 P.Pháp: Đặt : t =  x     xdxdt ./ 
 Đổi cận: 
 
 




atax
btbx
Do đĩ:       
 
 
 





b
a
b
a
tFdttfA . 
Các dạng đặc biệt cơ bản: 
1.  

a
xa
dx
I
0
22
 P.Pháp: Đặt: tgtax . 




 



22
t  dtttgadt
tCos
a
dx .1.
2
2
 
 Đổi cận: 
 2. Tính dxxaJ
a
.
0
22
  
P.Pháp: Đặt 




 



22
int. tSax dtCostadx .. 
 Đổi cận 
Phƣơng pháp tính tích phân từng phần 
Loại 1: Cĩ dạng: A= dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(










 Trong đĩ P(x)là hàm đa thức 
 Phƣơng pháp: Đặt u = P(x)  du = P(x).dx 
 dv = 















Cosx
Sinx
e x
.dx  v = ... 
 Áp dụng cơng thức tích phân từng phần A =   
b
a
b
a
duvvu .. 
 10 
 Loại 2: B =  
b
a
dxbaxLnxP ).().( 
 Phƣơng pháp: 
Đặt u = Ln(ax+b)  dx
bax
a
du .

 
 dv = P(x).dx  v = ... 
 Áp dụng: B =   
b
a
b
a
duvvu .. 
Dạng : 
 dxxSinA
n
. Hay  dxxCosB
n
. 
1. Nếu n chẵn: 
 Áp dụng cơng thức 
2
21
2
aCos
aSin

 ; 
2
21
2
aCos
aCos

 
2. Nếu n lẻ: 
 
 dxSinxxSinA n ..1 
 Đặt Cosxt  (Đổi x
n 1
sin

 thành Cosx ) 
Dạng :  dxxtgA
m
. Hay  dxxCotgB
m
. 
 PP:Đặt 
2
tg làm thừa số 
 Thay 1
1
2
2 
xCos
tg 
IV. Diện tích hình phẳng: 
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(c): y = f(x) và hai đƣờng x = a; x = b: 
 DTHP cần tìm là: dxxfS
b
a
.)( (a < b) 
 Hồnh độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 
Nếu p.trình f(x) = 0 vơ nghiệm Hoặc cĩ nghiệm khơng thuộc đoạn  ba; thì: 

b
a
dxxfS ).( 
Nếu p.trình f(x) = 0 cĩ nghiệm thuộc đoạn  ba; . Giả sử x =  , x = thì 
 dxxfdxxfdxxfS
b
a
.)(.)(.)( 




 
 11 



a
dxxfS ).( + 


dxxf ).( + 

b
dxxf ).( 
 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hồnh: 
 P.Pháp: 
 HĐGĐ của (c) và trục hồnh là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 






bx
ax 
  
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)( 
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đƣờng (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) 
và hai đƣờng x = a; x = b: 
P.Pháp 
 DTHP cần tìm là: dxxgxfS
b
a
.)()(  
 HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 
Lập luận giống phần số 1 
V. Thể tích vật thể: 
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn 
 ba; . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể cĩ thể tích:   dxxfV
b
a
.)(.
2
 
2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn 
 ba; . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể cĩ thể tích: 
  dyygV
b
a
.)(.
2
 . 
................................................................................................................................................
....................... 
IV. SỐ PHỨC: 
 Số i : i2 = -1 
 Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR 
 Modun của số phức : 
2 2z a b  
 Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi  '.'.;''; zzzzzzzzzz  
; z z
z z
  
 
  ; 
0z  với mọi z , 0 0z z   . 
 12 
z z ; zz z z  ; zz
z z

 ; z z z z    
 z là số thực zz  ; z là số ảo zz  
 a+ bi = c + di 
a c
b d

 

 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i 
 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i 
 (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i 
 
  
2 2
a bi c dia bi
c di c d
 

 
 Ta cĩ: 
1 2 3 4, 1, , 1i i i i i i      . 
4 4 1 4 2 4 31, , 1,n n n ni i i i i i        .;  
2
1 2i i  ;  
2
1 2i i   . 
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a 
Xét phƣơng trình bậc hai : 
ax
2
 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; , ,a b c R ) Đặt 2 4b ac   
o Nếu  = 0 thì phương trình cĩ một nghiệm kép(thực) : x = 
2
b
a

o Nếu  > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực : 
1,2
2
b
x
a
  
 
o Nếu  < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức : 
1,2
2
b i
x
a
  
 
 Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai 
2 0az bz c   ( , , , 0a b c a  ) 
cĩ hai nghiệm 1 2,z z thì : 1 2
b
z z
a
   và 1 2
c
z z
a
 . 
 Định lý đảo của định lý Viet : 
 Nếu hai số 1 2,z z cĩ tổng 1 2z z S  và 1 2z z P thì 1 2,z z là nghiệm 
của phương trình : 2 0z Sz P   . 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
HÌNH HỌC 12 
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 
I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUƠNG 
. sin = 
AB
BC
 (ĐỐI chia HUYỀN) . tan = 
AB
AC
 (ĐỐI chia KỀ) 

H
CB
A
 13 
 cos = 
AC
BC
 (KỀ chia HUYỀN) 
 . cot = 
AC
AB
 (KỀ chia ĐỐI) 
II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG 
 1. BC
2
 = AB
2
 + AC
2 (Định lí Pitago) 
=>AB
2
 = BC
2
 - AC
2
2. AB
2
 = BH.BC 
3. AC
2
 = CH.BC 4. AH
2
 = BH.CH 
 5. AB.AC = BC.AH 
6. 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  
III. ĐỊNH LÍ CƠSIN 
1. a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC 
IV. ĐỊNH LÍ SIN 
a b c
2R
sin A sin B sinC
   
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC 
a) 
AM AN MN
AB AC BC
  ; b) 
AM AN
MB NC
 
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 
1. Tam giác thường: 
a) S = 
1
ah
2
 b) S = p(p a)(p b)(p c)   (Cơng thức Hê-rơng) 
c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp tam giác) 
2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = 
a 3
2
; b) S = 
2a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 
3. Tam giác vuơng: a) S = 
1
2
ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng) 
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 
4. Tam giác vuơng cân (nửa hình vuơng): 
a) S = 
1
2
a
2
 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) 
NM
CB
A
60o 30o
CB
A
G
P
NM
CB
A
 14 
b) Cạnh huyền bằng a 2 
5. Nửa tam giác đều: 
a) Là tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 30o hoặc 60o 
b) BC = 2AB c) AC = 
a 3
2
 d) S = 
2a 3
8
6. Tam giác cân: 
a) S = 
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy) 
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung 
trực 
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 
8. Hình thoi: S = 
1
2
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 
 9. Hình vuơng: a) S = a
2
 b) Đường chéo bằng a 2 
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 
11. Đường trịn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn) 
 b) S = R2 (R: bán kính đường trịn) 
 VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC 
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác 
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm 
b) * BG = 
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN = 
1
3
BN 
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường trịn 
ngoại tiếp tam giác 
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường trịn nội 
tiếp tam giác 
VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 
 15 
1. Hình tứ diện đều: Cĩ 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. 
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). 
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau 
2. Hình chĩp đều: Cĩ đáy là đa giác đều .Cĩ các mặt bên là những tam giác cân bằng 
nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các 
gĩc bằng nhau 
3. Đường thẳng d vuơng gĩc với mp( ): a) Đt d vuơng gĩc với 2 đt cắt nhau cùng 
nằm trên mp( ) Tức là: 
d a; d b
a b
a,b
 


  
d  ( ) 
b) 
( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )
  

   
   
 d  ( ) 
c) Đt d vuơng gĩc với mp( ) thì d vuơng gĩc với mọi đt nằm trong mp( ) 
4. Gĩc  giữa đt d và mp( ): d cắt ( ) tại O và Ad 
 Nếu 
AH ( )
H ( )
 

 
 thì gĩc giữa d và ( ) là  hay ˆAOH =  
5. Gĩc giữa 2 mp( ) và mp( ): 
Nếu 
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
   

 
    
thì gĩc giữa ( ) và ( ) là  hay ˆEMF =  
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): 
 Nếu AH  ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( )) 
IX. KHỐI ĐA DIỆN: 
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 
2. Thể tích khối chĩp: V = 
1
Bh
3
 (diện tích đáy là đa giác) 
 O
H
A
d'
d

 16 
3. Tỉ số thể tích của khối chĩp: S.A B C
S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
  
  
 
4. Diện tích xq của hình nĩn trịn xoay: Sxq = Rl (R: bk đƣờng trịn; l: 
đƣờng sinh 
5. Thể tích của khối nĩn trịn xoay: V = 
1
Bh
3
 (diện tích đáy là đƣờng trịn) 
6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk đƣờng trịn; l: đƣờng 
sinh) 
7. Thể tích của khối trụ trịn xoay: V = Bh = 
2R h ( h: chiều cao khối trụ) 
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2R (R: bk mặt cầu ) 
9. Thể tích của khối nĩn trịn xoay: V = 
34 R
3
 (R: bán kính mặt cầu) 
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN 
I. CƠNG THỨC VECTƠ: 
. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho 
  321 ;; aaaa 

  
321
;; bbbb 

 và Rk 
 Ta cĩ: 
1)  332211 ;; babababa 

2)  
321
;; kakakaak 

3) 332211. babababa 

4) 
2
3
2
2
2
1
aaaa 

5) Tích cĩ hướng của hai vectơ a

 và b

 là 
   







21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba

6)    baSinbaba

,..,  
 17 
7) 









33
22
11
ba
ba
ba
ba

8) a

 cùng phương b

   0,

 ba 
9)  baa

, hay  bab

, 
10) a

, b

, c

 đồng phẳng   0.,  cba 

11) 0332211  babababa

 Ứng dụng của vectơ: 
  ACABS
ABC
,.
2
1
 
   /
.
.,
////
AAADABV
DCBAHộpABCD
 
  ADACABV
CDTứdiệnAB
.,.
6
1
 
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: 
Trog khơng gian Oxyz cho  
AAA
zyxA ;; ;  BBB zyxB ;; 
1)  
ABABAB
zzyyxxAB  ;; 
2)      222
ABABAB
zzyyxxAB  
3) G là trọng tâm ABC , ta cĩ: 















3
3
3
CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
4) G là trọng tâm tứ diện ABCD 0

 GDGCGBGA 
  















4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy
y
Xxxx
x
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta cĩ: 














