Toán tuổi thơ - Trường THCS Nghĩa Thắng

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 1:
Tìm các số tự nhiên thỏa mãn phương trình sau : (1)
Bài làm
Nếu thì và ngược lại .Ta xét nguyên dương .Từ (1) suy ra.
Ta biến đổi (1) :
.
Mà nên ta được :
.
Do đó : là số chính phương .
Ta có : (2) .
Mặt khác từ (1) suy ra cùng tính chẵn lẻ .
Kết hợp với (2) và là số chính phương suy ra 
.
Khi đó ta có .Và ,mâu thuẫn với (1).Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 2:Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn 
Bài làm
Giả sử là một nghiệm của phương trình. Khi đó, theo bất đẳng thức AM-GM
Suy ra hay 
Với Khi đó trong bất đẳng thức trên phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là
Giải hệ, thu được 
Với phương trình đã cho trở thành 
 Khi đó
Với thay vào (1), thu được 
Với thay vào (1), thu được Phương trình này có biệt thức nên không có nghiệm, do đó không có nghiệm nguyên dương.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 3:
Một vòng tròn được chia thành k cung, được đánh số từ 1 đến k như trong hình vẽ. Ban đầu tại mỗi cung đặt một viên bi. Mỗi lần dịch chuyển, người ta dịch chuyển hai viên bi, một viên theo chiều cùng chiều kim đồng hồ, một viên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa nó (hai viên bi được dịch chuyển không nhất thiết phải từ cùng một cung). Hỏi sau hữu hạn bước như vậy, có đưa được tất cả các viên bi về cùng một cung hay không? 
Bài làm
Ta đánh số (gán nhãn) cho các viên bi như sau: viên bi ở cung thứ i được gán nhãn i.
Gọi S là tổng các nhãn theo . Khi đó, nếu sau một số bước dịch chuyển, tất cả các viên bi được chuyển về cùng một cung, chẳng hạn cung thứ n, thì 
Nhận xét. Sau mỗi lần dịch chuyển, S bất biến theo mod k bởi vì một nhãn tăng 1, một nhãn giảm 1, các nhãn còn lại giữ nguyên.
Suy ra . Điều này xảy ra khi và chỉ khi k lẻ.
Vậy, ssau một số bước chuyển, tất cả các vien bi được chuyển về cùng một cung khi và chỉ khi k lẻ.
Ta sẽ chỉ ra cách chuyển, với sau một số hữu hạn bước chuyển các viên bi được đưa về cùng một cung:
Chuyển viên bi ở cung 1 theo cùng chiều kim đồng hồ và viên bi ở cung theo ngược chiều kim đồng hồ; cho đến khi chúng cùng về đến cung thứ 
Lặp lại quá trình trên cho cung thứ i và cung thứ 
Cứ như vậy, tất cả các viên bi đều được chuyển về cung thứ 
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 4:Giải hệ phương trình 
Bài làm
Giả sử là một nghiệm của hệ. Xét đa thức nhận x, y, z làm nghiệm. Suy ra hay 
Do nên 
Do x, y, z là nghiệm của nên 
suy ra Do đó 
Ta có giải ra được ba nghiệm và 
Vậy, hệ đã cho có tất cả các nghiệm là và các hoán vị.
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 5:Giải hệ phương trình 
Bài làm
Điều kiện 
Đặt viết hệ đã cho về dạng
(1)+(2) thu được 
(2)-(1) thu được 
Từ (3) và (4) thu được và .
Từ đó, tìm được và . 
Và do đó, tìm được 
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 6:Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình có các nghiệm đều là các số nguyên dương.
Bài làm
Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương Khi đó, theo định lý Vietta, và và do đó (1) (2).
Nếu thì và , mâu thuẫn với (1). Vậy 
Với khi đó Từ đó 
Với Giải phương trình này với chú ý ta được . Với . Với 
Với Giải phương trình này với chú ý ta được . Với . Với 
Với vô lí
Vậy tất cả các cặp số .
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 7:Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương.
Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.
Hỏi có hay không số dễ thương có 2015 chữ số?
Bài làm
Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là . Theo giả thiết ta có là số chính phương. Nếu đều không chia hết cho 3 thì , vô lý vì là số chính phương suy ra .
+) Nếu không có nghiệm nguyên dương với 
+) Nếu , thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn. Vậy số dễ thương lớn nhất có 2 chữ số là 86.
Xét số . Khi đó không phải là số chính phương 
suy ra là không là số dễ thương.
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
Bài 8:Giả sử là các số nguyên sao cho là số nguyên lẻ và chia hết Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có chia hết 
Bài làm
+ Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho là ước của và là ước của thì ” 
 + Mặt khác, do nên suy ra 
.
 Từ đó, do giả thiết nên thu được (1) 
 + Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với thì kết luận hiển nhiên đúng.
Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là với 
Ta cần chứng minh 
 Thật vậy, do và nhận xét ở trên suy ra là ước của
 Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra 
 Vậy suy ra là ước của 
(2) được chứng minh.
Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra với mọi số nguyên dương n.