Toán - Phương trình mũ – Logarit

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 
Phương trình mũ cơ bản cĩ dạng: xa m= , trong đĩ a 0, a 1> ≠ và m là số đã cho. 
● Nếu m 0≤ , thì phương trình xa m= vơ nghiệm. 
● Nếu m 0> , thì phương trình xa m= cĩ nghiệm duy nhất ax log m.= 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1) x 1 x x 15 6.5 3.5 52+ −+ − = 
 2) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 23 3 3 9.5 5 5+ + + + ++ + = + + 
 3) x x 13 .2 72+ = 
 4) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 
 5) 2x 1 x 1 x x 15.3 7.3 1 6.3 9− − +− + − + 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) ( )3log x x 2 1+ = 
2) ( ) ( )22 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = 
3) ( ) ( )log x 15 log 2x 5 2+ + − = 
4) ( )x 12log 2 5 x+ − = 
Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 
1) x 1 x 23 2.3 25+ −− = 2) ( ) ( )2 2x 1log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
3) x 1 x 2 x x 23.2 2.5 5 2+ − −+ = + 4) 2 xxlog 16 log 7 2− = 
5) 
x 3x 14 7 16 0
7 4 49
−
   
− =   
   
 6) ( ) ( )28 8 42log 2x log x 2x 1 3+ − + = 
7) 2log x 1 log x log x 24 6 2.3+ +− = 8) x 1 x 2 x 2 x 11 12.5 .4 .5 4
5 4
+ + + +
− − = 
9) ( ) ( )5 33log x 2 log x 2log x 2− = − 10) x 5 x 73 2 5 2 32− −− = 
11) ( ) ( )x x 2 x 1 x 1 x 13 10 6 4.10 5 10 6+ + − −− + = − 
CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH 
 MŨ – LOGARIT 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
Phương pháp đưa về cùng cơ số 
Sử dụng cơng thức: 
● a aα β α β= ⇔ = . 
● 
( )
a a
b 0 c
log b log c
b c
>
= ⇔ 
=
hoỈc > 0
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 2x 1 x 1 x5 7 175 35 0+ ++ − − = 3) x 3 2 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 .2 2x− + − ++ −+ = + 
2) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + ++ = − 4) ( )22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) x x x
16 64
log 2.log 2 log 2= 
2) 25x 5
5log log x 1
x
+ = 
3) 2 3 4 20log x log x log x log x+ + = 
4) ( )
( )
( )2 2
x 3
1log 3x 1 2 log x 1
log 2+
− + = + + 
5) ( )229 331 x 1log x 5x 6 log log x 32 2
−
− + = + − 
6) ( ) ( )2 22 2 2log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = + 
Bài 3. Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = 
Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 
1) 
2 3x
3x x x 319 27 . 81
3
−
+ 
= 
 
 6) ( ) ( )25 5log 6 4x x 2log x 4− − = + 
2) x x 1 x 2 x 13.13 13 2 5.2+ + ++ − = 7) ( ) 512log x 1 log x log x
2
− = − 
3) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 8) ( )29 3 32log x log x.log 2x 1 1= + − 
4) ( )25 5 x 1log x 2x 3 log x 3
−
+ − =
+
 9) ( ) ( )224 4 4log x 1 log x 1 log x 2− − − = − 
 5) ( ) ( )2 34 82log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
DẠNG 3. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = 
HD: ( ) ( )2 2 2x x x x 2x x x 2x2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0+ − −− − + = ⇔ − − = 
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đĩ ta phải phân 
tích thành ( ) ( )2 22 1 . 2 4x x x− − − . ðây là phương trình tích đã biết cách giải. 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) x x x8.3 3.2 24 6+ = + 
2) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = 
3) x x x 112.3 3.15 5 20++ − = 
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( )29 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − . 
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích 
( )3 3 3log 2log 2 1 1 .log 0x x x − + − =  . ðây là phương trình tích đã biết cách giải. 
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ 
được thì ta biến đổi thành tích. 
Bài 2. Giải phương trình: 2 7 2 7log x 2.log x 2 log x.log x+ = + . 
DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đĩ đặt ẩn số 
phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc 
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các 
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản 
A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1. 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
● Phương trình kx (k 1)x (k 2)x xk k 1 k 2 1 0a a a ... a 0α α α α α
− −
− −
+ + + + + = , khi đĩ ta đặt x ,a 0t t= > . 
● Phương trình x x1 2 3a b 0α α α+ + = , với a.b 1= . Khi đĩ đặt 
x x 1t a , t 0 b
t
= > ⇒ = , ta được 
phương trình: 21 3 2t t 0α α α+ + = . 
● Phương trình 2x x 2x1 2 3a (ab) b 0α α α+ + = . Chia hai vế cho 2xa hoặc 2xb ta được 
2x x
1 2 3
a a 0
b b
α α α
   
+ + =   
   
, đặt 
x
a
t , t 0
b
 
= > 
 
. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = 
2) 3 2cos x 1 cos x4 7.4 2 0+ +− − = 
3) ( ) ( ) ( )x x x26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − = 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) ( ) ( )x x2 3 2 3 14− + + = 3) 3x x3x x 18 12 6 2 12 2 −   − − − =       
2) 3 x 1 5 3x5.2 3.2 7 0− −− + = 4) x x x27 12 2.8+ = 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
● Nếu đặt ( )at log x, x 0= > thì k ka x 1log x t ; log a , 0 x 1.t= = < ≠ . 
● Nếu đặt blog xt a= thì blog at x= . Vì b blog c log aa c= . 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) ( ) ( )x 1 x2 2log 4 4 .log 4 1 3+ + + = 4) x 3 3x 1log 3 log x log 3 log x 2+ = + + 
2) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 5) ( )2 x 1log x 1 log 16++ = 
3) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= 6) ( )3 9x
3
42 log x log 3 1
1 log x
− − =
−
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) ( )x xlog 6.5 25.20 x log 25+ = + 3) 82
4 16
log 4xlog x
log 2x log 8x
= 
2) 2 22 xlog x.log (4x ) 12= 4) ( )2 3log x log x 2= + 
B - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2. 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một 
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ sĩ vẫn cịn chứa ẩn x. Khi đĩ thường ta được 
một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ cĩ biệt số ∆ là một số chính phương. 
Ví dụ : Giải phương trình: ( )x x9 2 x 2 3 2x 5 0+ − + − = . 
HD: ðặt ( )xt 3 *= , khi đĩ ta cĩ: ( )2t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x+ − + − = ⇒ = − = − . 
Thay vào (*) ta tìm được x. 
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 1. Giải phương trình: ( )2 2x 2 x 29 x 3 3 2x 2 0+ − − + = 
Bài 2. Giải phương trình: 2x 3x 1 x 34 2 2 16 0+ ++ + − = 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )23 3log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0+ + − + − + = 
HD: ðặt ( )3t log x 1= + , ta cĩ: ( )2t x 5 t 2x 6 0 t 2, t 3 x+ − − + = ⇒ = = − . Suy ra 
x 8, x 2.= = 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0+ + − + − = 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) ( )2 2 2lg x lgxlog 4x 2log x 0− + = 
2) 4 3 2lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0+ − − − = 
C - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 3. 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ đơn giản. 
Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2x 1 1 x (x 1)4 2 2 1+ − ++ = + 
Bài 2. Giải phương trình: 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến đổi phương 
trình thành phương trình tích. 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log xlog x x 2 0− + − − = 
Bài 2. Giải phương trình: 22 2 3 2 3log x log x log x log xlog x 0− + − = 
Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 2log x log x 22 2 x 2 2 1 x+ + − = + 
D - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Ví dụ : Giải phương trình: 
x
x 1 x x 1 1 x
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2− − −
+ =
+ + + +
HD: Viết phương trình dưới dạng 
x 1 1 x x 1 1 x
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2− − − −
+ =
+ + + +
, đặt 
x 1 1 xu 2 1, v 2 1; u, v 0− −= + = + > . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Nhận xét: . .u v u v= + Từ đĩ ta cĩ hệ: 
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =
+
 = +
Bài 1. Giải phương trình: 2x x2 2 6 6− + = 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2log x x 1 3log x x 1 2− − + + − = 
Bài 2. Giải phương trình: 3 2 lgx 1 lgx 1− = − − 
Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 23 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6+ − + + − − + = 
E - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 5. 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và 
một ẩn x. Ta thực hiện các bước: 
 + ðặt điều kiện cĩ nghĩa cho phương trình. 
 + Biến đổi phương trình về dạng: f(x; φ (x)) = 0. 
 + ðặt y = φ (x) đưa về hệ: ( )( ; ) 0
y x
f x y
φ=

=
. 
Chú ý: ðối với phương trình logarít cĩ một dạng rất đặc biệt, đĩ là phương trình 
dạng . ( )ax b ss c log dx e xα β+ = + + + . Với ;d ac e bcα β= + = + . 
Cách giải: 
- ðiều kiện cĩ nghĩa của phương trình: 
0 1
0
s
dx e
< ≠

+ ≠
- ðặt ( )say b log dx e+ = + khi đĩ phương trình đã cho trở thành: 
( ) ( ) (1)
( ) (2)
ax b ax b ax b
ay b ay b
s
s c ay b x s acy x bc s acy d ac x e
ay b log dx e s dx e s dx e
α β α β+ + +
+ +
  = + + + = + + + = + − +
⇔ ⇔  
+ = + = + = + 
- Lấy (1) trừ cho (2) ta được: ax b ay bs acx s acy+ ++ = + (3). 
- Xét hàm số ( ) at bf x s act+= + là hàm số dơn điệu trên R. Từ (3) ta cĩ f(x) = f(y) ⇔ x = y, 
khi đĩ (2) ax bs dx e+⇔ = + (4) dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm phương trình (4). 
Ví dụ: Giải phương trình: ( )x 1 77 6log 6x 5 1− = − + 
 HD: ðặt ( )7y 1 log 6x 5− = − . Khi đĩ chuyển thành hệ 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
( )
( )
x 1 x 1
x 1 y 1
y 1
7
7 6 y 1 1 7 6y 5
 7 6x 7 6y
y 1 log 6x 5 7 6x 5
−
−
− −
−
 = − +  = − 
⇔ ⇒ + = + 
− = − = − 
. 
Xét hàm số ( ) t 1f t 7 6t−= + suy ra x y= , Khi đĩ x 17 6x 5 0− − + = . 
Xét hàm số ( ) x 1g x 7 6x 5−= − + . Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm: x 1, x 2.= = 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) 22 2log x log x 1 1+ + = 3) 22 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = + − 
2) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 4) 22 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = − + − 
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
1) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 3) ( )x 66 3log 5x 1 2x 1= − + + 
2) 3 32 3log x 2 3 3log x 2+ = − 4) 3 3x 1 3 2x 1+ = − 
Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 
1) x x9 10.3 9 0− + = 16) ( ) ( )cosx cosx 57 4 3 7 4 3 2+ + − = 
2) 2 2x x4 6.2 8 0− + = 17) ( ) ( )x x x2 3 2 3 2+ + − = 
3) 2 2 2x x x15.25 34.15 15.9 0− + = 18) ( ) ( )x x4 15 4 15 8− + + = 
4) ( ) ( )x x2 3 2 3 4+ + − = 19) ( ) ( )x x x7 3 5 7 3 5 14.2+ + − = 
5) x 1 x 25 5.0,2 26− −+ = 20) x 3log 3x .log x 1 0+ = 
6) x x x25 12.2 6,25.0,16 0− − = 21) 82
4 16
log 4xlog x
log 2x log 8x
= 
7) 
1 33
x x64 2 12 0
+
− + = 22) ( )x 2 51 2log 5 log x 2++ = + 
8) x x 1 x x4 4 3.2+ +− = 23) ( ) ( )3log log x log log x 2 0+ − = 
9) x x9 8.3 7 0− + = 24) ( ) ( )x x 13log 3 1 .log 3 3 6+− − = 
10) 2x 1 x 11 .4 21 13.4
2
− −+ = 25) ( )x2log 9 2 3 x− = − 
11) 
1 1 1
x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 26) 3 x
5log x log 3
2
+ = 
12) 3 3 3x x x25 9 15 0− + = 27) 82 3log xlog x2x 2x 5 0−+ − = 
13) 2 2sin x cos x9 9 10+ = 28) 2 2log x log 55 2.x 15+ = 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
14) 2 2sin x cos x2 5.2 7+ = 29) ( )225 5log 5x 1 log 77 x 0− − = 
15) 2cos2x cos x4 4 3+ = 30) log x log525 5 4.x= + 
F - Một số bài tốn (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ 
phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 
●Dạng 1. Khác cơ số 
Ví dụ: Giải phương trình: 7 3log x log ( x 2)= + . 
ðặt t7t log x x 7= ⇒ = . 
Phương trình trở thành ( ) t tt t t3 7 1t log 7 2 3 7 2 1 2.3 3   = + ⇔ = + ⇔ = +        
●Dạng 2. Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp 
Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )4 2 26 5log x 2x 2 2log x 2x 3− − = − − . 
 ðặt 2t x 2x 3= − − , ta cĩ ( )6 5log t 1 log t+ = . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )6log x2 6log x 3 log x+ = . 
 ðặt 6t log x= , phương trình tương đương 
t
t t t t 36 3 2 3 1
2
 
+ = ⇔ + = 
 
. 
●Dạng 3. ( )blog x ca x+ = . (ðiều kiện: b a c= + ) 
Ví dụ 1. Giải phương trình: ( )7log x 34 x+ = . 
 ðặt ( ) t7t log x 3 7 x 3= + ⇒ = + 
 Phương trình trở thành: 
t t
t t 4 14 7 3 3. 1
7 7
   
= − ⇔ + =   
   
. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: ( )3log x 52 x 4.+ = + 
 ðặt t x 4= + . Phương trình trở thành: ( )3log t 12 t+ = . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA 
Sử dụng cơng thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp. 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
● Dạng 1: f (x)
a
0 a 1, b 0
a b 
f (x) log b.

= ⇔ 
=
● Dạng 2: f (x) g(x) f (x) g(x )a a aa b log a log b f (x) g(x).log b. = ⇔ = ⇔ = 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1) ( )44 3 log x 1log x 2x 2 −− = 2) 2 3lg x lg x 3 2x 1 1
1 1 1 1x x
+ +
=
−
+ − + +
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) 
4x 1 3x 22 1
5 7
+ +
   
=   
   
 2) lg x 2x 1000x= 
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
● Dạng 1: a b
0 a 1
log f (x) b 
f (x) a
< ≠
= ⇔ 
=
. 
● Dạng 2: a a
0 a 1
log f (x) log g(x) 
f (x) g(x) 0
< ≠
= ⇔ 
= >
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) ( )2xlog x 4x 4 3+ − = 3) ( )xlog x 6 3+ = 
 2) ( ){ }4 3 2 2 1log 2log 1 log 1 3log x 2  + + = 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) 3
2x 3log
x2 1
− 
 
 
= 3) 2 32 2log (x 1) 2log (x x 1)− = + + 
2) ( ) ( )22 1
2
log x 1 log x 1− = − 4) xx lg(1 2 ) xlg5 lg6+ + = + 
Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 
1) x 1 2x 14.9 3 2− += 2) x x3 22 3= 
3) 2x 2x x2 .3 1,5− = 4) 2x x5 .3 1= 
5) 
2x 1
x x 15 .2 50
−
+
= 6) 
x
x x 23 .8 6+ = 
7) 
3x
x x 23 .2 6+ = . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH 
BIẾN CỦA HÀM SỐ 
● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất 
(thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm) 
● Ta thường sử dụng các tính chất sau: 
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình 
f(x) = C cĩ khơng quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao 
cho f(x0) = C thì đĩ là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong 
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b). 
( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương 
trình f(x) = g(x)) 
Tính chất 3 : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số ( )y f x= lồi hoặc lõm trên khoảng ( )a;b thì 
phương trình ( )f x 0= cĩ khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a;b . 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log xx 2.3 3+ = 
HD: 2 2log x log xx 2.3 3 2.3 3 x+ = ⇔ = − , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm 
nghịch biến nên phương trình cĩ nghiệm duy nhất x 1= . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x6 2 5 3+ = + . 
HD: Phương trình tương đương x x x x6 5 3 2− = − , giả sử phương trình cĩ nghiệm α. 
Khi đĩ: 6 5 3 2α α α α− = − . Xét hàm số ( ) ( )f t t 1 tα α= + − , với t 0> . Ta nhận thấy 
( ) ( )f 5 f 2= nên theo định lý lagrange tồn tại ( )c 2;5∈ sao cho: 
( ) ( ) 1 1f ' c 0 c 1 c 0 0, 1α αα α α− − = ⇔ + − = ⇔ = =  , thử lại ta thấy x 0, x 1= = là 
nghiệm của phương trình. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2x x x 12 2 x 1− −− + = − . 
HD: Viết lại phương trình dưới dạng 
2x 1 x x 22 x 1 2 x x− −+ − = + − , xét hàm số 
( ) tf t 2 t= + là hàm đồng biến trên R (???). Vậy phương trình được viết dưới dạng: 
( ) ( )2 2f x 1 f x x x 1 x x x 1− = − ⇔ − = − ⇔ = . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: x x3 2 3x 2+ = + . 
HD: Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x 0= và x 1= . Ta cần chứng minh khơng cịn 
nghiệm nào khác. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Xét hàm số ( ) ( )x x x 2 x 2f x 3 2 3x 2 f '' x 3 ln 3 2 ln 2 0 = + − − ⇒ = + > ⇒ ðồ thị của 
hàm số này lõm, suy ra phương trình khơng cĩ quá hai nghiệm. (ðịnh lí Rơn) 
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 
x
2
y
2
y2007
y 1
x2007
x 1
e
e

= −
−


= −

−
 cĩ đúng hai nghiệm thỏa mãn 
x 0, y 0.> > 
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x y= khi đĩ xét hàm số ( ) x
2
xf x 2007
x 1
e= + −
−
. 
● Nếu x 1< − thì ( ) 1f x 2007 0e−< − < suy ra hệ phương trình vơ nghiệm. 
● Nếu x 1> dùng định lý Rơn và chỉ ra với 0x 2= thì ( )f 2 0< để suy ra điều phải 
chứng minh. 
Ví dụ 6: Cho a b 0≥ > . Chứng minh rằng: 
b a
a b
a b
1 12 2
2 2
   
+ ≤ +   
   
HD: Bất đẳng thức 
a b
a b
a b
a b
1 1ln 2 ln 2
1 1 2 2b ln 2 a ln 2
2 2 a b
   
+ +   
       ⇔ + ≤ + ⇔ ≤   
   
. 
Xét hàm số ( )
x
x
1ln 2
2f x
x
 
+ 
 
= với x 0> , 
Suy ra ( )f’ x 0 nên hàm số nghịch biến vậy với a b 0≥ > ta cĩ 
( )f(a) f b≤ . 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) x x x3 4 5+ = 7) x x4 3 1− = 
2) ( )2 3log 1 x log x+ = 8) ( )6log x2 6log x 3 log x+ = 
3) 2 2 2log 9 log x log 32x x .3 x= − 9) ( )x 2 x 23.25 3x 10 5 3 x 0− −+ − + − = 
4) ( )2 x x 3 2x .3 3 12 7x x 8x 19x 12+ − = − + − + 
5) ( ) ( ) ( ) ( )2 34 x 2 log x 3 log x 2 15 x 1− − + − = +   
6) x x x x 3 2
x x x
1 1 15 4 3 2 2x 5x 7x 17
2 3 6
+ + + = + + − + − + 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
1) 
x
x 22 1 3= + 4) ( )x x25 2 3 x 5 2x 7 0− − + − = 
2) 3 x 22 x 8x 14− = − + − 5) x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − = 
3) 2log x 3 x= − 6) ( )22 2log x x 1 log x 6 2x+ − = − 
Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 
1) x x x4 9 25+ = 
2) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − = 
3) ( )x x9 2 x 2 .3 2x 5 0+ − + − = 
4) ( ) ( )2x log x x 6 4 log x 2+ − − = + + 
5) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16+ + + + + = 
DẠNG 7. MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + = 
HD: phương trình ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
x x x 2 x 2 x
2
x x 2 x
x x
x
2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0
2 1 sin 2 y 1 0
cos 2 y 1 0
⇔ − + − + − + + − + + − =
 ⇔ − + + − + + − = 

− + + − =
⇔ 
+ − =
Bài 2. Giải phương trình: ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + = . 
HD: phương trình ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + = 
( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  ⇔ − + − =    
Ta cĩ ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥  và ( ) ( )
y
y 2
2
2 1
 2 cos xy 0
cos xy 1
 ≥  ⇒ − ≥  ≤
Do đĩ ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  − + − ≥    
Vậy phương trình 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
sinx sinx
y y2 2
2 cos xy 0 2 cos xy 1
2 cos xy 0 2 cos xy 0 2
 − = = 
⇔ ⇔ 
− = − =  
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
( ) ( ) ( )
y
22
y 02 1
2 y 0.
cos x.0 1cos xy 1
 == 
⇔ ⇔ ⇔ = 
==  
Thay vào (1) ta được x kπ= . 
Bài 3. Giải phương trình: ( )
2x 1 3 2x
2
3
82 2
log 4x 4x 4
+ −+ =
− +
. 
 HD: Ta cĩ ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥ 
 Suy ra ( )23
8 8
log 4x 4x 4
≤
− +
 (1) 
 Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2) 
Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − . 
 HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − 
 ( )23 1 log x 1 1 x 1
x
 
⇔ + + = − − + 
 
 Ta cĩ 
 ● 3
1 1 1
x 2 x 1 3 log x 1 1
x x x
 
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥ 
 
 ● ( )21 x 1 1− − + ≤ 
 Vậy phương trình 
( )
3
2
1log x 1 1
x
 x 1
1 x 1 1
  
+ + = 
 ⇔ ⇔ =

− − + =
. 
Nhận xét: Bài tốn tương đương là giải phương trình 2
2
21 3 x xx x
x
−
+ +
= . 
Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8
x 1
 
− + = + 
− 
. 
 HD: ðiều kiện x 2> . 
 ● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥ 
 ● Với x 2> ta cĩ 1 1x 1 1 1 8 9 
x 1 x 1
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤
− −
 3
1
 log 8 2
x 1
 
⇒ + ≤ 
− 
Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ . 
 Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − = 
 Ta cĩ 
3
x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do đĩ ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = . 
Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − . 
 HD: ðiều kiện 2
x 0
 0 x 3
6 x x 0
>
⇔ <