Câu khoảng cách trong đề thi THPTQG

Nguy
n Tun Anh 1110004 



Câu kho
ng cách trong  thi THPTQG 
Câu kho
ng cách ca hình hc không gian (thun túy) trong  thi THPTQG dù không là mt câu khó 
nhng 	 có th	 nhìn 
c chân ng cao hoc o
n vuông góc chung i vi hc sinh trung bình yu 
không ph
i d. Bài vit mong mun giúp các em t tin hn vi câu này, dù là i	m 8,9,10 là khó ly, nhng 
i	m 7 vi các em thì hoàn toàn có th	. (Bài vit có tham kh
o nhiu ngun khác nhau nên khó lòng trích 
dn các ngun  ây xin chân thành cám n các tác gi
, các ngun tài liu ã tham kh
o 	 vit bài này). 
I) Ý tng: Ta có mt hình chóp: .S ABC vic tính th	 tích ca khi chóp 
này 
c thc hin rt d dàng (ng cao h
 t S xung mt áy ( )ABC ), 
 ta cn tính kho
ng cách t C n ( )SAB tc tìm chiu cao CE . Vì th	 ca 
hình chóp là không thay i dù ta có xem i	m nào ó ( , , , )S A B C là nh 
vì vy nu ta bit din tích SAB∆ thì kho
ng cách cn tìm ó 3
SAB
VCE
S∆
= . Có th	 gi là dùng th tích 2 ln. 

 Chú ý: Khi áp dng phng pháp này ta cn nh công thc tính din tích ca tam giác: 
( )( )( )ABCS p p a p b p c∆ = − − − vi p là na chu vi và , ,a b c là kích thc ca 3 c
nh. 
II) Ví d minh ha: 
VD1: (A-2013) Cho hình chóp .S ABC có áy là tam giác vuông ti A ,
 30OABC = ; SBC là tam giác u 
cnh a và mt bên SBC vuông góc v	i mt áy. Tính theo a th tích kh
i chóp .S ABC và khong cách t 
C 
n ( )SAB . 
Li gii 
 Gi E là trung i	m ca BC khi ó ( )SE ABC⊥ và 3
2
aSE = . 
Ta có 3 ;
2 2
a aBC a AB AC= ⇒ = = vì vy th	 tích 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


ca khi chóp là: 
3
.
1 3 1 3
. . . .
3 2 2 2 2 16S ABC
a a a aV = = 
 	 tính kho
ng cách t C n ( )SAB ta cn tính din tích SAB∆ . 
Ta có 
2 2
2 23 3;
2 2 2
a a aAB SB a SA SE EA a
   
= = = + = + =   
  
, Áp dng công thc Heron ta 
c: 
2
3 392( )( - )( - );
2 16SAB
aa a
S p p SA p SB p AB p a∆
 + + 
= − = =
 
 
 
Vy .3 39( ;( ))
13
S ABC
SAB
V ad C SAB
S∆
= =  

 Nhn xét: V	i cách tính trên khâu tính din tích ta dùng máy tính h	u h
t u ra p. So v	i cách tính 
bng ta  hóa thì cách tình này n gin hn rt nhiu v tính toán và trình bày ch khó  khâu tính din 
tích (nhng máy tính ã m nhn), so v	i cách lùi v E  tính (ng nhiên phi k thêm ng ph ) v	i 
hc sinh trung bình y
u có th nói ây là la ch t
t nht. 
VD2: (B-2013) Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a , mt bên SAB là tam giác 
u và nm trong mt phng vuông góc v	i mt áy. Tính theo a th tích kh
i chóp .S ABCD và khong 
cách t A 
n ( )SCD . 
Li gii 
 Gi E là trung i	m ca AB khi ó ( )SE ABC⊥ , và 3
2
aSE = . 
Vì vy th	 tích khi chóp cn tính là 
3
2
.
1 3 3
3 2 6S ABCD
a aV a= = 
 Ta cn tính kho
ng cách t A n ( )SCD , ta quan sát khi chóp .S ACD có th	 tích là 
3
2
.
1 3 1 3
3 2 2 12S ACD
a aV a= = vì vy 	 tính 
c kho
ng cách ta cn có din tích ca SCD∆ . 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


Ta có 2 2 2 2 2; 2CD a SD SC SE DE SE DA AE a= = = + = + + = , Áp dng công thc Heron ta 
c: 
22 2 7( )( - )( - );
2 4SCD
a a aS p p CD p SD p SC p a∆
 + +
= − = = 
 
Vì vy ( ) .3 21;( )
7
S ACD
SCD
Vd a SCD a
S∆
= =  
VD3: (A-2014) Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a 3
2
aSD = , hình chi
u vuông 
góc ca S lên mt phng ( )ABCD trùng v	i trung im ca cnh AB . Tính theo a th tích kh
i chóp 
.S ABCD và khong cách t A t	i mt phng ( )SBD . 
Li gii 
 Gi E là trung i	m ca AB khi ó ( )SE ABC⊥ , dùng !nh lý Pitago ta tính 
c: SE a= . 
T ó 3
.
1
3S ABCD
V a= 
 Ta cn tính kho
ng cách t A n ( )SBD ta quan sát hình chóp .S ADB có th	 tích là 2 31 1 1. .
3 2 6
a a a= vy 
nên nu ta tìm 
c din tích tam giác SBD∆ bài toán s" 
c 
gi
i quyt. 
Ta có 3 52; ;
2 2
aBD a SD SB a= = = Áp dng công thc Heron 
ta 
c: 2
3 52 32 2( )( )( );
2 4SBD
a
a a
S p p SB p SD p BD p a∆
 
+ + 
 = − − − = =
 
 
 
Vy 
2
.
2
3.3 26( ;( ))
3 3
4
S ABD
SDB
aV ad A SBD
aS∆
= = =  
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


VD4: (B-2014) Cho kh
i lng tr . ' ' 'ABC A B C có áy là tam giác u cnh a . Hình chi
u vuông góc ca 
'A lên ( )ABC là trung im ca cnh AB , góc gia ng thng 'A C và mt áy bng 60o . Tính theo a 
th tích ca kh
i lng tr . ' ' 'ABC A B C và khong cách t B
n ( ' ')ACC A 
Li gii 
 Gi E là trung i	m AB , khi ó ' ( )A E ABC⊥ , ( ) 
60 ' ;( ) 'o A C ABC A CE= = . 
Ta có 3
2
aCE = (ng cao trong tam giác u) 
vì vy 0 3' tan 60
2
aA E CE= = 
2 3
. ' ' '
3 3 3 3
.
2 4 8ABC A B C
a a aV⇒ = = . 
 Ta cn tính kho
ng cách t B n ( ' ')ACC A tc t B n ( 'C)AA , ta quan sát khi chóp '.A ABC có th	 
tích là 
2 3
'.
1 3 3 3
. .
3 2 4 8A ABC
a a aV = = vì vy ta cn tìm din tích 'A AC∆ (	 dùng th tích 2 ln). 
Ta có 
2 23 10
; ' ; ' 3
2 2 2 cos60o
a a CEAC a AA a A C a   = = + = = =   
   
 . Áp dng công thc Heron ta 
c: 
2
'
10 3 392( ' )( - ' )( - );
2 8A AC
a
a a
S p p A A p A C p AC p a∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy ( ) ( ) '.
'
3 3 13
;( ' ') ;( ' )
13
A ABC
A AC
Vd B ACC A d B A AC a
S∆
= = =  
Qua bn VD ta thy 
c vic áp dng cách Th tích 2 ln t# ra rt hiu qu
 vì nó không cn suy ngh$ quá 
nhiu (vì vy ngi vit không khuyn khích các b
n khá gi#i làm theo cách này tr khi bí). Trc khi ta xét 
mc  áp dng ca phng pháp vi các  thi th n%m nay (2015) c&ng nh các  thi c&, ta s" m rng 
cách làm phc v cho yêu cu tính kho
ng cách gi'a hai ng chéo nhau khi mà o
n vuông góc chung rt 
khó tìm. 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


III) Các ví d khác áp dng cách tính Th tích 2 ln : 
VD1: (A-2012) Cho hình chóp .S ABC có áy là tam giác u cnh a hình chi
u vuông góc ca S lên mt 
phng ( )ABC là im H thuc AB sao cho 2HA HB= . Góc gia ng SC và mt phng ( )ABC bng 
60o . Tính theo a th tích ca kh
i chóp .S ABC và khong cách gi hai ng thng SA và BC . 
Li gii 
 Ta có ( )
 
60 ;( )O SC ABC SCH= = mà 
22 3 7
6 2 3
a a aCH
  
= + =  
   
nên ta 
c 21tan 60 .
3
o aSH CH= = . 
Do ó th	 tích khi chóp là: 
2 3
.
1 3 21 7
. .
3 4 3 12S ABC
a a aV = = . 
 Dng hình bình hành ABCD (iu này c&ng rt t nhiên vì ây là cách tìm kho
ng cách gi'a hai ng 
chéo nhau), khi ó ( ; ) ( ;( ))d SA BC d B SAD= . Ta quan sát khi chóp .S ABD khi chóp này có th	 tích b(ng 
vi th	 tích ca khi chóp .S ABC tc 
3
.
7
12S ABD
aV = vì vy 	 tính ( ;( ))d B SAD ta cn tính din tích SAD∆ 
Ta có 2 2 5;
3
aAD a SA SH AH= = + = , 
2
2 2 2 192 cos120
9
o aDH AD AH ADAH= + − = do ó 2 10
3
aSD = 
Áp dng công thc Heron ta 
c: 2
2 10 5
63 3( )( - )( - );
2 3SAD
a a
a
S p p SA p SD p AD p a∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy .3 42( ;( ))
8
S ABD
SAD
V ad B SAD
S∆
= =  
VD2: (D-2008) Cho lng tr  ng . ' ' 'ABC A B C có áy là tam giác vuông, AB BC a= = , cnh bên 
' 2AA a= . Gi M là trung im ca BC . Tính theo a th tích kh
i lng tr . ' ' 'ABC A B C và khong 
cách gia AM và 'B C 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


Li gii 
 Theo gi
i thit ABC∆ vuông cân t
i B 
vì vy th	 tích khi l%ng tr là: 2 3
. ' ' '
1 22
2 2ABC A B C
V a a a= = . 
 Gi D là trung i	m 'BB khi ó 
( ; ' ) ( ' ;( )) ( ;( )) ( ;( ))d AM B C d B C ADM d C ADM d B ADM= = = . 
Ta quan sát khi chóp .D ABM khi chóp này có th	 tích là 
3
.
1 2 1 2
. . .
3 2 2 2 24D ABM
a a aV a= = vy nên 	 tính 
kho
ng cách t B n ( )ADM ta ch cn tính din tích ADM∆ . 
Ta có: 
2 2 2 2
2 22 6 2 3 5; ;AM
2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a aAD a DM a
       
= + = = + = = + =       
      
Do ó din tích 2
6 3 5
142 2 2( )( - )( - );
2 8AMD
a a a
S p p AM p MD p AD p a∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy .3 7( ; ' ) ( ;( ))
7
D ABM
ADM
V ad AM B C d B ADM
S∆
= = =  

 Nhn xét: N
u bi
t cách linh hot  các phng pháp thì bài toán khong cách này tr nên khá d
 và có 
th có nhiu li gii hay! 
VD3: (THTT- 452) Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh a . Hình chi
u vuông góc 
ca S lên mt phng áy là I thuc AB sao cho 2BI AI= . Góc gia mt bên ( )SCD và mt áy bng 
60o . Tính theo a th tích kh
i chóp .S ABCD và khong cách gia AD và SC . 
Li gii 
 Gi : 2E CD CE ED∈ = , d dàng chng minh 
c ( )

60 (SCD);(ABCD)O SEI= = t ó ta tính 
c 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 


 tan 60 . 3oSI EI a= = . Vì vy th	 tích 
3
2
.
1 33.
3 3S ABCD
aV a a= = 
 Ta thy / /AD BC vì vy ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))d AD SC d AD SBC d D SBC= = , 
 ta quan sát khi chóp .S BCD có th	 tích là 
2 3
.
1 3
. 3.
3 2 6S BCD
a aV a= = 
vì vy 	 tìm kho
ng cách ( ;( ))d D SBC ta cn tìm din tích SBC∆ . 
Ta có: ( )2 2 2 2 22 31 2 10; 3 ;3 3 3a a aBC a SB a SC SI CB BI = = + = = + + =   
Do ó din tích 2
31 2 10
313 3( )( - )( - );
2 6SBC
a a
a
S p p SB p SC p BC p a∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy .3 3 93( ; ) ( ;( ))
31
S BCD
SBC
Vd AD SC d D SBC a
S∆
= = =  
IV) Vn dng phng pháp vào các  thi  thi th 2015: 
Chúng ta cn hoán trit mt t tng sau: Khi tính din tích ca mt tam giác (phc v cho cách tính 
th
 tích 2 l	n) bài vi
t c
 g!ng dùng úng mt công th c là Heron v	i mc tiêu gim nh các ki
n th c cn 
nh	 nht có th (iu này là cn thi
t v	i các em trung bình y
u). Vì vy s" có nhng các tính nhanh hn khi 
tam giác ó c bit (vuông, cân, u). Bn c có th tính theo nhiu h	ng khác nhau nhng ích 
n 
cu
i cùng là tròn im câu hình này! 
Bài tp 1: (Chuyên Nguyn Quang Chiêu- ng Tháp) Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác 
vuông ti A , 3AB a= , 5BC a= ; mt phng ( )SAC vuông góc v	i mt phng ( )ABC . Bi
t 2 3SA a= và 

 30OSAC = . Tính theo a th tích ca kh
i chóp .S ABC và khong cách t im A 
n mt phng ( )SBC . 
Li gii 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 
	

 Gi E là chân ng vuông góc k) t S xung BC , d thy ( )SE ABC⊥ . Do ó .sin 30 3OSE SA a= = 
hn n'a 2 2 4AC BC AB a= − = . Vy th	 tích 3
.
1 13. 3 .4 2 3
3 2S ABC
V a a a a= = . 
 	 tính kho
ng cách t A n ( )SBC ta cn tính din tích SBC∆ 
Ta có: 2 2 2 2 25 ; 21BC a SB SE BE SE BA AE a= = + = + + = 
2 2 2SC SE EC a= + = , do ó din tích SBC∆ là: 
25 21 2( )( - )( - ); 21
2SBC
a a aS p p SB p SC p BC p a∆
 + +
= − = = 
 
Vy .3 6 7( ;( ))
7
S ABC
SBC
Vd A SBC a
S∆
= =  
Bài tp 2: (Chuyên Nguyn Bnh Khiêm – Qu
ng Nam) Cho hình lng tr . ' ' 'ABC A B C có 

3; 3 ; 30OAC a BC a ACB= = = . Cnh bên h#p v	i mt áy mt góc 60o . Mt phng ( ' ) ( )A BC ABC⊥ . 
$im : 3H BC BC BH∈ = và mt phng ( ' ) ( )A AH ABC⊥ . Tính theo a th tích kh
i lng tr 
. ' ' 'ABC A B C và khong cách t B 
n ( ' )A AC . 
Li gii 
 Ta có 
( ' ) ( )
( ' ) ( ) ' ( )
( ' ) ( ' ) '
A AH ABC
A BC ABC A H ABC
A AH A BC A H
⊥
 ⊥ ⇒ ⊥
 ∩ =
 khí ó góc gi'a c
nh bên 'A A và mt áy ( )ABC là 


'A AH tc 
' 60oA AH = . 
Ta l
i có: 2 2 2 . .cos30oAH CH CA CH CA a= + − = 
do ó 0' . tan 60 3A H AH a= = . Th	 tích khi l%ng tr là: 
3
0
. ' ' '
1 93. 3 . 3 .sin 30
2 4ABC A B C
aV a a a = = 
 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 



 Ta quan sát khi chóp 'A ABC khi chóp này có th	 tích là: 
3
' . ' ' '
1 3
3 4A ABC ABC A B C
aV V= = vy nên 	 tính 
kho
ng cách t B n ( ' )A AC ta cn tìm din tích ca 'A AC∆ . 
Ta có: ( )2203; ' 2 ;A'C (2 ) 3 7cos60AHAC a A A a a a a= = = = + = , din tích 'A AC∆ là: 
2
'
3 2 7( ' )( - ' )( - ); 3
2A AC
a a aS p p A A p A C p AC p a∆
 + +
= − = = 
 
Vy '
'
3 3 3( ;( ' ))
4
A ABC
A AC
Vd B A AC a
S∆
= =  
Bài tp 3: (Chuyên H Vinh l	n 3) Cho hình hp . ' ' ' 'ABCD A B C D có áy ABCD là hình thoi cnh a , 

 120oBCD = ; 7'
2
aA A = . Hình chi
u vuông góc ca 'A lên mt phng ( )ABCD trùng v	i giao im ca 
AC và BD . Tính theo a th tích ca kh
i hp . ' ' ' 'ABCD A B C D và khong cách t 'D 
n mt phng 
( ' ')ABB A . 
Li gii 
 Gi E AC BD= ∩ ; ta có ' ( )A E ABCD⊥ và 2 2' ' 2 3A E A A AE a= − = . Do ó th	 tích ca khi hp 
là: 3
. ' ' ' '
1 1
' . . . 2 3 . . . 3 3
2 2ABCD A B C D
V A E AC BD a a a a= = = . 
 Ta có ( ';( ' ')) ( ;( ' '))d D ABB A d C ABB A= , 
ta quan sát khi chóp '.A ABC , khi chóp này có th	 tích là: 
3
'. . ' ' ' '
1
6 2A ABC ABCD A B C D
aV V= = ta cn tính din tích 'A AB∆ 
Ta có: 2 27 51; ' ; ' '
2 2
a aAB a A A A B A E BE= = = + = , din tích 'A AB∆ là: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 



2
'
7 51
1952 2( ' )( - ' )( - );
2 8A AB
a a
a
aS p p A A p A B p AB p∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy '.
'
3 4 195( ';( ' ')) ( ;( ' '))
65
A ABC
A AB
V ad D ABB A d C ABB A
S∆
= = =  
Bài tp 4 : (Chuyên Lam Sn) Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình ch nht tâm I , có 
; 3AB a BC a= = . Gi H là trung im ca AI . Bi
t ( )SH ABCD⊥ , tam giác SAC∆ vuông ti S . Tính 
theo a th tích ca kh
i chóp .S ABCD và khong cách t C 
n ( )SBD . 
Li gii 
  Ta có 1
2
SE AC a= = vì vy 
2
2 3
2 2
a aSH a  = − = 
 
 , th	 tích .S ABCD là 
3
.
1 3
. 3
3 2 2S ABCD
a aV a a= = 
 Ta quan sát khi chóp .S BCD khi chóp này có th	 tích là 
3
. .
1
2 4S BCD S ABCD
aV V= = vy nên ta ch cn tính 
din tích SBD∆ . 
Ta có:
2 2
2 2 3 3 62 ; ;
2 2 2
a a aBD a SB HB SH
   
= = + = + =   
   
2 2
2 2 7 3 10
2 2 2
a a aSD HD SH
   
= + = + =   
   
do ó din tích SBD∆ là: 
2
6 102 152 2( )( - )( - );
2 4SBD
a a
a
aS p p SB p SD p BD p∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy ( ) .3 15;( )
15
S BCD
SBD
V ad C SBD
S∆
= =  
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 




Bài toán 5: (THTT-455) Cho hình lng tr . ' ' 'ABC A B C có áy là tam giác u cnh a , hình chi
u vuông 
góc ca 'A lên mt áy ( )ABC trùng v	i tâm O ca ABC∆ , góc gia ( ' ')ABB A và mt áy bng 60o . 
Tính theo a th tích kh
i lng tr . ' ' 'ABC A B C và khong cách gia hai ng thng AB và 'CC . 
Li gii 
 Gi ;D E ln l
t là trung i	m ca ;AB BC . D thy ( )

60 ( ' ');( ) 'O ABB A ABC A DO= = do ó 
' tan 60 .
2
o aA O DO= = vy nên th	 tích ca l%ng tr . ' ' 'ABC A B C là: 
2 3
. ' ' '
3 3
2 4 8ABC A B C
a a aV = = . 
 Ta có: ( ) ( ) ( ); ' ';( ' ) ;( ' )d AB CC d CC A AB d C A AB= = , 
ta quan sát khi chóp '.A ABC khi chóp này có th	 tích là: 
3
'. . ' ' '
1 3
3 24A ABC ABC A B C
aV V= = vy nên nhim v 
cui cùng ca ta là tính 
c din tích 'A AB∆ . 
Ta có: 2 2 21; ' ' '
6
aAB a A A A B A O AO= = = + = nên din tích 'A AB∆ là: 
2
'
21 21
36 6( ' )( - ' )( - );
2 6A AB
a a
a
aS p p A A p A B p AB p∆
 
+ + 
 = − = =
 
 
 
Vy ( ) ( ) '.
'
3 3
; ' ;( ' )
4
A ABC
A AB
V ad AB CC d C A AB
S∆
= = =  
Bài toán 6: (Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình thang cân ( / / )BC AD . 
Bi
t ng cao SH a= v	i H là trung im AD , ; 2AB BC CD a AD a= = = = . Tính theo a th tích ca 
kh
i chóp .S ABCD và khong cách gia hai ng thng SB và AD . 
Li gii 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 



 Th	 tích khi chóp .S ABCD là: 2 3
.
1 1 3 3 3
. .
3 3 2 2S ABCD ABCD
V SH S a a a= = = 
 Ta có ( ) ( ) ( ); ;( ) ;( )d SB AD d AD SBC d A SBC= = , 
ta quan sát khi chóp .S ABC khi chóp này có th	 tích là: 
3
.
1 1 1 3 3
. . . .
3 3 2 2 12S ABC ABC
a aV SH S a a∆= = = 
(ng cao h
 t A xung BC là 3
2
a ) , vy nên ta ch cn tính din tích ca tam giác SBC∆ . 
Ta có: 2 2; 2BC a SC SB BH SH a= = = + = , do ó din tích SBC∆ là: 
22 2 7( )( - )( - );
2 4SBC
a a a aS p p SB p SC p BC p∆
 + +
= − = = 
 
Vy ( ) ( ) .3 21; ;( )
7
S ABC
SBC
V ad SB AD d A SBC
S∆
= = =  
K
t lun: Còn rt rt nhiu na các  thi th% và chính th c có th gii bng phng pháp này, thi
t ngh& 
có gii 1000 bài toán (cùng loi) c'ng không bng gii 10 bài nhng mà n!m vng #c phng pháp. 
Ngi vi
t mong rng bn c có th s% dng phng pháp 
n m c iêu luyn  khi bí quá (không nhìn 
ra #c chân ng cao hay ng ph cn v") có th s% dng. Phng pháp có mt nh#c im là tính 
toán rt nhiu (nhng ó là nhim v ca máy tính ☺) d
 xy ra sai s
 nh hng k
t qu, vì vy mt li 
khuyên cho phng pháp này là: Luyn tp phng pháp v	i khong 10 bài, khi tính toán tht tp trung và 
kim tra li các phép toán 1 ln tr	c khi chm bút h
t. 
V) Bài tp  ngh : 
1) (Chuyên Vnh Phúc) Cho hình chóp .S ABC có AB AC= ; 3BC a= 
 120OBAC = . Gi I là trung 
im cnh AB , hình chi
u ca S lên mt áy là trung im H ca CI , góc gia SA và mt phng áy là 
60o . Tính theo a th tích kh
i chóp .S ABC và khong cách t A 
n ( )SBC 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 



$S : 
3
.
3 3 37
;
16 37S ABC
a aV d= = . 
2) ( minh ha ca BGD &T) Cho hình chóp .S ABC có áy ABC là tam giác vuôn ti B , 

2 ; 30OAC a ACB= = . Hình chi
u vuông góc H ca nh S xu
ng mt ( )ABC trùng v	i trung im ca 
AC ; 2SH a= . Tính theo a th tích ca kh
i chóp .S ABC và khong cách t im C 
n ( )SAB . 
$S : 
3
.
6 2 66
;
6 11S ABC
aV d a= = . 
3) (Chuyên Hà Tnh) Cho hình chóp .S ABCD có áy ABCD là hình vuông cnh 2a ; tam giác SAC∆ 
vuông ti S và nm trong mt phng vuông góc v	i áy, 3SC a= . Tính theo a th tích ca kh
i chóp 
.S ABCD và khong cách t B 
n ( )SAD . 
$S : 
3
.
3 2 21
;
3 7S ABCD
aV d a= = . 
4) (Chuyên Nguyn Quang Chiêu- ng Tháp l	n 1) Cho hình chóp .S ABCD có áy là hình thoi cnh 
3a ; 
 120oBAD = và cnh bên ( )SA ABCD⊥ . Bi
t rng s
 o ca góc gia hai mt phng ( )SBC và 
( )ABCD là 60o . Tính theo a th tích ca kh
i chóp .S ABCD và khong cách gia BD và SC . 
$S : 3
.
3 3 3 7
;
4 14S ABCD
V a d a= = . 
5) (Chuyên Hng Yên) Cho lng tr  ng . ' ' 'ABC A B C có áy là tam giác cân, AB AC a= = , 

 120oBAC = . Mt phng ( ' ')AB C to v	i áy mt góc 60o . Tính theo a th tích ca lng tr . ' ' 'ABC A B C
và khong cách t ng thng BC 
n mt phng ( ' ')AB C . 
$S : 
3
. ' ' '
3 3
;
8 4ABC A B C
a aV d= = 
6) (Chuyên Lê Hng Phong) Cho lng tr  ng . ' ' 'ABC A B C có áy ABC là tam giác cân ti C , cnh 
6AB a= và góc 
 30oABC = . Góc gia mt phng ( ' )C AB và mt áy là 60o . Tính theo a th tích ca 
lng tr . ' ' 'ABC A B C và khong cách gia hai ng thng 'B C và AB . 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
Nguy
n Tun Anh 1110004 



$S : 3
. ' ' '
39 3 ;
2ABC A B C
aV a d= = . 
7) ( k2pi.net.vn l	n 11) Cho lng tr  ng . ' ' 'ABC A B C có áy ABC là tam giác vuông cân ti B , 
' 6; 2A C a AC a= = . Gi M là trung im ca ' 'A C và I là tâm ca mt bên ' 'ABB A . Tính theo a th 
tích ca lng tr . ' ' 'ABC A B C và khong cách gia hai ng thng IM và 'A C . 
8) (B-2011) Cho hình lng tr . ' ' ' 'ABCD A