Toán - Một số dạng toán cơ bản về hàm số bậc nhất: Hàm số y = a.x + b (d)

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN về HÀM SỐ BẬC NHẤT
Hàm số y = a.x + b (d)
Công thức hàm số Đồ thị hàm số
y = ax + b Đường thẳng (d)
Gọi A(xA ; yA) là một điểm thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy.
PHẦN I : MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Kiểm tra điểm A có thuộc đường thẳng (d) hay không ?
Thay tọa độ của điểm A vào hàm số y = ax + b
yA = a. xA + b (1)
_ Nếu đẳng thức (1) đúng (giá trị hai vế bằng nhau) thì A ­ (d)
_ Nếu đẳng thức (1) sai (giá trị hai vế không bằng nhau) thì A ® (d)
Ví dụ : 
Cho hàm số y = 2x - 3 (d)
a) Điểm A(-1 ; 2) có thuộc (d) ?
Thay tọa độ của điểm A vào hàm số :
y = 2x - 3
2 = 2.(-1) - 3
2 = -5 : Đẳng thức sai !
Vậy điểm A ® (d)
b) Điểm B(1 ; -1) có thuộc (d) ?
Thay tọa độ của điểm B vào hàm số :
y = 2x - 3
-1 = 2.1 - 3
-1 = -1 : Đẳng thức đúng !
Vậy điểm B ­ (d)
Dạng 2 Tìm tọa độ điểm A, biết A ­ (d)
_ Thay tọa độ của điểm A vào hàm số y = ax + b
yA = a. xA + b (1)
_ Giải phương trình (1), tìm được xA (hoặc yA)
Ví dụ : 
Cho hàm số y = 2x + 3 (d)
a) Tìm các điểm A(m ; 0) và B(0 ; n) biết A, B 
­ (d) ?
Vì A ­ (d) nên :
(thay tọa độ A vào hàm số y = 2x + 3) 
0 = 2.m + 3
2.m = -3 ½ m = -3/2 ½ A(-3/2 ; 0)
Vì B ­ (d) nên :
(thay tọa độ B vào hàm số y = 2x + 3) 
n = 2.0 + 3
n = 0 + 3 ½ n = 3 ½ B(0 ; 3)
b) Tìm điểm M ­ (d) biết tung độ của M gấp 
ba lần hành độ của M ?
Gọi M(x ; 3x) ­ (d) 
(thay tọa độ M vào hàm số y = 2x + 3) 
½ 3x = 2x + 3
½ 3x - 2x = 3
½ x = 3
Vậy M(3 ; 9)GV. Đoàn Văn Tố -2-
Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b
Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b
4
2
2
y = ax + b
(d')
(d)
-2 O 1
1
A(xA ; yA)
Dạng 3.1
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(xA ; yA) và (d) 
song song với đường thẳng (d’) : y = a’x + b’ cho 
trước.
_ Từ đk (d) // (d’) ½ tìm được a = a’ ( b ˜ b’)
_ Từ đk (d) đi qua A(xA ; yA) 
½ tọa độ A thỏa : yA = a’.xA + b (1)
_ Giải phương trình (1), ta tìm được b.
_ Kiểm tra xem b có khác với b’ hay không, 
nếu khác thì chọn b là giá trị cần tìm.
Ví dụ : 
Viết phương trình đường thẳng y = ax + b (d) song song với đường thẳng y = 5x - 3 (d’) 
và (d) đi qua điểm C(-2 ; 4).
_ Vì (d) // (d’) nên a = 5 và b ˜ -3.
_ Mặt khác : (d) đi qua C(-2 ; 4) nên tọa độ C thỏa công thức hàm số :
y = ax + b
º 4 = 5.(-2) + b 
º 4 = -10 + b 
º b = 14 ( thỏa b ˜ -3)
_ Vậy phương trình đường thẳng (d) : y = 5x + 14
Dạng 3.2
Đường thẳng (d) : y = ax + b đi hai qua điểm phân biệt cho trước.
6
4
2
2
y = ax + b
(d)
n
-2 O 1
1
A(xA ; yA)
6
4
2
2
y = ax + b
(d)
m
-2 O 1
1
A(xA ; yA)
6
4
2
2
y = ax + b
(d)
-2 O 1
1
A(xA ; yA)
B(xB ; yB)
TH : (d) đi qua A(xA ; yA) và 
cắt trục tung tại điểm có tung 
độ là n.
TH : (d) đi qua A(xA ; yA) và 
cắt trục hoành tại điểm có 
hoành độ là m.
TH : (d) đi qua hai điểm A(xA
; yA) và B(xB ; yB) phân biệt 
(không điểm nào nằm trên trục 
hoành hay trục tung)GV. Đoàn Văn Tố -3-
_ Xác định ngay tung độ gốc 
b = n.
_ Thay tọa độ A vào hàm số :
y = ax + n
yA = a.xA + n
½ giải phương trình này, 
ta tìm được a.
_ Vì (d) cắt trục hoành tại 
điểm có hoành độ là m nên :
0 = a.m + b (1)
_ Vì (d) đi qua A(xA ; yA) nên :
yA = a.xA + b (2)
_ Giải phương trình (1) và 
(2), ta tìm được a và b.
_ Vì (d) đi qua A(xA ; yA) nên :
yA = a.xA + b (1)
_ Vì (d) đi qua B(xB ; yB) nên :
yB = a.xB + b (2)
_ Giải phương trình (1) và 
(2), ta tìm được a và b.
Ví dụ : 
Cho hàm số 
1
y x 2
2
= - có đồ thị là 
1
(d ) và hàm số 
1
y 2 x
2
= - có đồ thị là 
2
(d ) .
a) Vẽ 
1
(d ) và 
2
(d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Xác định các hệ số a, b biết đường thẳng 
3
(d ) : y ax b = + song song với 
1
(d ) và cắt 
2
(d ) tại một điểm có tung độ bằng 1.
a) Vẽ
1
(d ) và
2
(d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
* Xét 
1
y x 2
2
= - :
1
(d )
_TXĐ : x " Î ¡
_Bảng giá trị :
x 0 2
1
y x 2
2
= - -2 -1
* Xét 
1
y 2 x
2
= - :
2
(d )
_TXĐ : x " Î ¡
_Bảng giá trị :
x 0 2
1
y 2 x
2
= - 2 1
4
2
2
4
5
1
(d2)
y = 2 
1
2
∙x
-1
2
(d1
(
y = 
1
2
∙x 2
O
b) Xác định các hệ số a, b biết đường thẳng 
3
(d ) : y ax b = + song song với 
1
(d ) và cắt 
2
(d )
tại một điểm có tung độ bằng 1.GV. Đoàn Văn Tố -4-
_ Vì 
3
(d ) : y ax b = + song song với 
1
(d ) nên a = 
1
2
 và b ˜ -2.
_ Vì 
3
(d ) cắt 
2
(d ) tại một điểm có tung độ bằng 1 nên tọa độ điểm đó thỏa :
1
y 2 x
2
= - º
1
1 2 x
2
= - º x = 2
Vậy tọa độ giao điểm của 
3
(d ) và 
2
(d ) là (2; 1)
_ Vì điểm (2 ; 1) ­ 3
(d ) nên : 1 = 
1
1 .2 b
2
= + º b = 0 (thỏa b ˜ -2)
_ Vậy 
3
1
(d ) : y x
2
=
Dạng 4 Tìm tọa độ giao điểm giữa (d) : y = ax + b và (d’) : y = a’x + b’
4
2
2
y = ax + b
y = a'x + b'
(d')
(d)
xA
A yA
-2 O 1
1
_ Gọi A(xA ; yA) là giao điểm của (d) và (d’).
_ Khi đó : 
yA = a.xA + b (1)
yA = a’.xA + b’ (2)
_ Từ đây, ta có : 
a.xA + b = a’.xA + b’
(Ta gọi hệ thức trên là “Phương trình hoành độ giao điểm”)
_ Giải phương trình trên ta được xA.
_ Thay xA vào (1) hoặc (2), tìm được yA.
Lưu ý: Cách giải trên là hoàn chỉnh rồi, không cần phải bàn 
luận nữa. Tuy nhiên, ta thường trình bày gọn lại như sau :
_ Phương trình hoành độ giao điểm :
a.xA + b = a’.xA + b’
_ Giải phương trình trên, ta được xA. 
_ Từ đây dễ dàng tìm được yA. 
Ví dụ : 
Cho hàm số 
1
y x
2
= có đồ thị (d1) và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị (d2) 
a) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng phép tính.
a) Vẽ
1
(d ) và
2
(d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
* Xét 
1
y x
2
= :
1
(d )
_TXĐ : x " Î ¡
_Bảng giá trị :
x 0 2
1
y x
2
= 0 1
* Xét y = 2x – 3 :
2
(d )
_TXĐ : x " Ρ
_Bảng giá trị :
x 0 2
y = 2x – 3 -3 1GV. Đoàn Văn Tố -5-
4
2
2
4
5
1
(d2)
y = 2∙x 3
-1
2
(d1
(
y = 
1
2
∙x
-3
O
b) Tìm tọa độ giao điểm giữa
1
(d ) và
2
(d ) bằng phép toán.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa 
1
(d ) và
2
(d ) :
1
x 2x 3
2
= -
º x 4x 6 = -
º 3x = 6
º x = 2
Thay x = 2 vào 
1
y x
2
= , ta được y = 
1
2 1.
2
=
Vậy tọa độ giao điểm giữa 
1
(d ) và
2
(d ) là (2 ; 1)