Toán - Khảo sát hàm số: Tính đơn điệu của hàm số

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
	Giả sử hàm số có tập xác định D.
	· Hàm số f đồng biến trên D Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
	· Hàm số f nghịch biến trên D Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
	· Nếu thì:
	+ 	+ 
	· Định lí về dấu của tam thức bậc hai :
	+ Nếu D < 0 thì luôn cùng dấu với a.
	+ Nếu D = 0 thì luôn cùng dấu với a (trừ )
	+ Nếu D > 0 thì có hai nghiệm và trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.
	· So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0:
	+ 	+ 	+ 
	· ;	
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
	1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).
	· Hàm số f đồng biến trên D Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
	· Hàm số f nghịch biến trên D Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
	· Nếu thì:
	+ 	+ 
	2. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng .
	Ta có: .
	a) Hàm số f đồng biến trên Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc .
	Trường hợp 1: 
	· Nếu bất phương trình 	(*)
	 thì f đồng biến trên Û 
	· Nếu bất phương trình 	(**)
	 thì f đồng biến trên Û 
	Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . Khi đó ta có: .
	– Hàm số f đồng biến trên khoảng Û Û 
	– Hàm số f đồng biến trên khoảng Û Û 
	b) Hàm số f nghịch biến trên Û và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc .
	Trường hợp 1: 
	· Nếu bất phương trình 	(*)
	 thì f nghịch biến trên Û 
	· Nếu bất phương trình 	(**)
	 thì f nghịch biến trên Û 
	Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . Khi đó ta có: .
	– Hàm số f nghịch biến trên khoảng Û Û 
	– Hàm số f nghịch biến trên khoảng Û Û 
	3. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước.
	· f đơn điệu trên khoảng Û có 2 nghiệm phân biệt Û (1)
	· Biến đổi thành 	(2)
	· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
	· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
	4. Tìm điều kiện để hàm số 
	a) Đồng biến trên .	
	b) Đồng biến trên .
	c) Đồng biến trên .
	Tập xác định: , 
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Nếu: 
Nếu bpt: không đưa được về dạng (i) 
thì ta đặt: .
Khi đó bpt: trở thành: , với:
a) (2) đồng biến trên khoảng 
a) (2) đồng biến trên khoảng 
b) (2) đồng biến trên khoảng 
b) (2) đồng biến trên khoảng 
c) (2) đồng biến trên khoảng 
	5. Tìm điều kiện để hàm số 
	a) Nghịch biến trên .	
	b) Nghịch biến trên .
	c) Nghịch biến trên .
	Tập xác định: , 
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Nếu 
Nếu bpt: không đưa được về dạng (i) 
thì ta đặt: .
Khi đó bpt: trở thành: , với:
a) (2) nghịch biến trên khoảng 
a) (2) đồng biến trên khoảng 
b) (2) nghịch biến trên khoảng 
b) (2) đồng biến trên khoảng 
c) (2) đồng biến trong khoảng 
Cho hàm số (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
	· Tập xác định: D = R. . 
	(1) đồng biến trên R Û Û 
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng .
	· Tập xác định: D = R. . y¢ có .
	+ Nếu thì Þ Þ hàm số đồng biến trên R Þ thoả YCBT.
	+ Nếu thì Þ PT có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng .
	Do đó hàm số đồng biến trên khoảng Û Û Û (VN)
	Vậy: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
	· Tập xác định: D = R. có 
	. Hàm số đồng biến trên các khoảng 
	Do đó: hàm số đồng biến trên 
Cho hàm số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng .
	· Hàm đồng biến trên với 
	 với 
	Ta có: 
	Lập BBT của hàm trên , từ đó ta đi đến kết luận: .
	Câu hỏi tương tự:
	a) , . 	ĐS: 
	b) , . 	ĐS: 
	c) , .	ĐS: 
Cho hàm số (1) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng .
	· Tập xác định: D = R; . 
	Đặt ta được: 
	Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
	TH1: Û 	TH2: Û 
	Vậy: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng .
Cho hàm số (1) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng .
	· Tập xác định: D = R; . 
	Đặt ta được: 
	Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
	TH1: Û 	TH2: Û 
	Vậy: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Cho hàm số (1), (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
	2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
	· Ta có có . 
	+ Nếu m ≥ 3 thì Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 không thoả mãn.
	+ Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt . Hàm số nghịch biến trên đoạn với độ dài . Ta có: .
	YCBT Û Û Û Û .
Cho hàm số (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng với .
	· , .
	+ Nếu m = 0 Þ hàm số nghịch biến trên Þ m = 0 không thoả YCBT.
	+ Nếu , hoặc .
	Vậy hàm số đồng biến trong khoảng với 
	Û và Û .
Cho hàm số (1), (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
	· Ta có 
	+ , Þ thoả mãn.
	+ , có 3 nghiệm phân biệt: . 
	Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û . 	Vậy .
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với ; y đồng biến trên khoảng .	ĐS: .
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng .
	· Tập xác định: D = R \ {–m}.	.
	Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û 	(1)
	Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảngthì ta phải có 	(2)
	Kết hợp (1) và (2) ta được: .
Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng . 
	· Tập xác định: . 
	Ta có: . Đặt 
	Hàm số (2) đồng biến trên 
	Dựa vào BBT của hàm số ta suy ra .
	Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng . 
	· Tập xác định: . 
	Ta có: . Đặt 
	Hàm số (2) đồng biến trên 
	Dựa vào BBT của hàm số ta suy ra .
	Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên .
Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng . 
	· Tập xác định: . 
	Ta có: . Đặt 
	Hàm số (2) đồng biến trên 
	Dựa vào BBT của hàm số ta suy ra .
	Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên .
Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng . 
	· Tập xác định: . Đặt . 
	Khi đó bpt: trở thành: 
 	Hàm số (2) nghịch biến trên 
	Vậy: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên .
Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng . 
	· Tập xác định: . Đặt . 
	Khi đó bpt: trở thành: 
	Hàm số (2) nghịch biến trên 
	Vậy: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên