Toán - Khảo sát hàm số: Tiếp tuyến

KSHS 04: TIẾP TUYẾN
A. Kiến thức cơ bản
	· Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm .
	Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là:
	· Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): và (C2): tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
	(*)
	Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
	· Nếu và (C2): thì 
	(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình có nghiệm kép.
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
	1. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): tại điểm :
	· Nếu cho thì tìm .
	 	Nếu cho thì tìm là nghiệm của phương trình .
	· Tính . Suy ra .
	· Phương trình tiếp tuyến D là: .
	2. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): , biết D có hệ số góc k cho trước.
	Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
	· Gọi là tiếp điểm. Tính .
	· D có hệ số góc k Þ 	(1)
	· Giải phương trình (1), tìm được và tính . Từ đó viết phương trình của D.
	Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
	· Phương trình đường thẳng D có dạng: .
	· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
	(*)
	· Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.
	Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:
	+ D tạo với trục hoành một góc a thì .
	+ D song song với đường thẳng d: thì 
	+ D vuông góc với đường thẳng thì 
	+ D tạo với đường thẳng một góc a thì 
	3. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): , biết D đi qua điểm .
	Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
	· Gọi là tiếp điểm. Khi đó: .
	· Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
	· D đi qua nên: 	(2)
	· Giải phương trình (2), tìm được . Từ đó viết phương trình của D.
	Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
	· Phương trình đường thẳng D đi qua và có hệ số góc k: 
	· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
	(*)
	· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.
	4. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): , biết D tạo với trục Ox một góc a.
	· Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc .
	· D tạo với trục Ox một góc a Û . Giải phương trình tìm được .
	· Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
	5. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): , biết D tạo với đường thẳng d: một góc a.
	· Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc .
	· D tạo với d một góc a Û . Giải phương trình tìm được .
	· Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
	6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): , biết D cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.
	· Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc .
	· DOAB vuông cân Û D tạo với Ox một góc và O Ï D.	(a)
	· . 	(b)
	· Giải (a) hoặc (b) tìm được . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.
	8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị .
	a) Gọi D: là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
	u là hoành độ tiếp điểm của D và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C2).
	· D tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
	· Từ (2) và (4) Þ 	(5)
	· Thế a từ (2) vào (1) Þ 	(6)
	· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b. Từ đó viết phương trình của D.
	b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ thì một tiếp tuyến chung 	của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
	9. Tìm những điểm trên đồ thị (C): sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
	· Gọi Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính .
	· Vì D // d nên	 	(1)
	 	hoặc D ^ d nên 	 	(2)
	· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được . Từ đó tìm được Î (C).
	10. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, ... tiếp tuyến với đồ thị (C): .
	Giả sử . .
	· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: 
	· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
	· Thế k từ (2) vào (1) ta được: 	(3)
	· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
	11. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
	Gọi . 
	· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: 
	· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
	· Thế k từ (2) vào (1) ta được:	(3)
	· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt .
	· Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Û 
	Từ đó tìm được M.
	Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì 
Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
	· Giả sử Þ . Ta có: .
	PTTT D tại M: . 
	D đi qua Û Û . Vậy .
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
	· Giả sử thuộc (C), với .
	Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: 
	 Û 
	Û . Vì nên 
	Ta có: 
	Mà nên 
	(*)
	Đặt . Khi đó (*) trở thành:
	 Þ
	Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: .
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với .	ĐS: .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho .
	· PTTT của (C) có dạng:. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
	 (1)
	Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
	Û (2)
	Þ Toạ độ các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến là nghiệm của hệ: 
	Û .
	Þ Phương trình đường thẳng d đi qua các tếp điểm là: 
	Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: nên có thể xảy ra:
	+ Nếu thì . Khi đó d đi qua O Þ .
	+ Nếu thì DOAB vuông tại O. Ta có: Þ 
	Þ (thoả (2)) hoặc (không thoả (2)).
	Vậy: .
Cho hàm số (1) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
	2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc , biết .
	· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT 
	Đường thẳng d có VTPT .
	Ta có 
	YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
	 Û Û Û 
	Û Û hoặc 
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với .	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): .
	· (d) có hệ số góc Þ tiếp tuyến có hệ số góc . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:
	(1)
	YCBT Û (1) có đúng một nghiệm âm.
	+ Nếu thì (1) (loại)
	+ Nếu thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là 
	Do đó để (1) có một nghiệm âm thì 
	Vậy .
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị m sao cho trên (Cm) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng .
	· Ta có: ; .
	YCBT Û phương trình có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
	Û có đúng 2 nghiệm dương phân biệt
	Û Û . 	Vậy .
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	2) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ cắt đường tròn (C) có phương trình theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
	· Ta có: Þ ; . (C) có tâm , R = 2.
	 PTTT d tại : Û 
	 Dấu "=" xảy ra Û . Dó đó đạt lớn nhất Û 
	Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất Û đạt lớn nhất Û 
	Khi đó: PTTT d: .
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên đường thẳng (d): các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
	· Gọi . PT đường thẳng D qua M có dạng: .
	D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm: 	(*)
	Thay (2) vào (1) ta được: Û 	(**)
	Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) Û (**) có 2 nghiệm phân biệt
	Xét hàm số . Tập xác định 
	; 
	Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt Û . Vậy: hoặc .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên đường thẳng các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C).
	· Gọi . PT đường thẳng D qua M có dạng: 
	D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm: (*)
	Thay (2) vào (1) ta được: 
	Û 
	YCBT Û (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
	+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 Û 
	+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 Û 
	Vậy các điểm cần tìm là: ; ; .
Cho hàm số 	(Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Tìm m để từ điểm kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm).
	· PT đường thẳng D qua M có dạng: . D là tiếp tuyến của (Cm) Û hệ PT sau có nghiệm: 
	Þ 	(*) 
	Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
	Ta có 
	Þ Các điểm cực trị của (Cm) là: .
	Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt Û . 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
	· Gọi . PT đường thẳng D đi qua điểm M có dạng : 
	D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm 	(*).
	Thay (2) và (1) ta được: 
	Û 
	Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt 
	(3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 .
	Vậy từ các điểm M(m; 2) Î (d) với có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: với 
Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trùng phương 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
	· Ta có: 
	Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là 
	Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
	Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
	(1)
	Vì A và B phân biệt nên , do đó (1) Û 	(2)
	Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:
	Giải hệ này ta được nghiệm là hoặc , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là và 
	Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:
Cho hàm số (1) , m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
	2) Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất .
	· nên . 
	Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A: Û 
	Khi đó , Dấu ‘=’ xảy ra Û khi m = 1. 
	Do đó lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.
Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho điểm . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
	· Ta có . PT đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k : 
	d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: 
	Ta có: 	hoặc 
	+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là .
	+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt với , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác Û Û 
Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số nhất biến 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng bằng 2.
	· Giả sử Þ . 
	Ta có: hoặc 
	· Với 
	· Với 
	Þ PTTT tại là ;	PTTT tại là ;
	PTTT tại là ; 	PTTT tại là .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng .
	· Tiếp tuyến của (C) tại điểm có phương trình: 
	 Û (*) 
	Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng Û 
	Các tiếp tuyến cần tìm : và 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
	· Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ thuộc (C) có phương trình: 
	Tâm đối xứng của (C) là. Ta có: 
	 lớn nhất khi .
	Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến và .
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với .	ĐS: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
	· Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (). 
	PTTT (d) là Û 
	Ta có: Û 
	Û 
	Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI.
	· Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b) Î (C) Þ (a ¹ 1)
	PTTT của (C) tại M: 
	PT đường thẳng MI: 
	Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: Û 
	Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
	2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng .
	· TXĐ: D = R \ {1}. 
	Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng thì: 
	Từ (**) ta có Û 
	· Với x = m, thay vào (*) ta được: (thoả với mọi m). Vì x ¹ 1 nên m ¹ 1.
	· Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: 
	Û Û Þ x = 1 (loại)
	Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng .
Cho hàm số: (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho điểm . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
	· Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k: 
	d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT có nghiệm
	 Û PT: (1) có nghiệm .
	Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
	Û 	(*)
	Khi đó ta có: và 
	Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì 
	Û Û Û Û 
	Kết hợp với điều kiện (*) ta được: .
Cho hàm số y = .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến . Tìm giá trị lớn nhất của d.
	· . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử 
	Phương trình tiếp tuyến với đồ thi hàm số tại M là:
	Khoảng cách từ I đến là d == 
	Vậy GTLN của d bằng khi hoặc . 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của d và (C): Û 
	Vì nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt .
	Theo định lí Viet ta có: . Giả sử: . 
	Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: 
	Þ . Dấu "=" xảy ra Û .
	Vậy: đạt GTLN bằng khi .
Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
	· Gọi là toạ độ của tiếp điểm Þ 
	DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). Nghĩa là: Þ 
	+ Với Þ D: (loại)
	+ Với Þ D: (nhận)
	Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .
Cho hàm số y = .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
	· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho .
	Do DOAB vuông tại O nên Þ Hệ số góc của d bằng hoặc .
	Hệ số góc của d là Û 
	Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho .
	· Gọi . PTTT tại M: 
	Tam giác vuông OAB có nên DOAB vuông cân tại O. Do đó d vuông góc với một trong hai đường phân giác và không đi qua O.
	+ Nếu thì Þ .
	+ Nếu thì Þ vô nghiệm.
	Vậy PTTT cần tìm là: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M Î (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng .
	· Gọi . PTTT tại M: 
	Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung Þ .
	Từ đó trọng tâm G của DOAB có: . 	Vì G Î d nên 
	Mặt khác: 
	Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả YCBT thì . 
	Vậy GTNN của m là .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc bằng , với I là giao 2 tiệm cận.
	· I(2; 2). Gọi , 
	Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
	Giao điểm của D với các tiệm cận:, .
	Do nên Û 
	Kết luận: Tại phương trình tiếp tuyến: 
	Tại phương trình tiếp tuyến: 
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: D: hoặc D: .
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. 
	· Lấy điểm . Ta có: 
	Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: 	
	Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: 
	Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: 
	Ta có: . Dấu “=” xảy ra Û 
	Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: hoặc 
Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi M là điểm bất kì trên (C), I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tiếp tuyến d của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng .
	· Ta có: I(2; 2). Gọi . PTTT d: 
	d cắt 2 tiệm cận tại . 
	 vuông tại và 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
	· Giả sử , 
	Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M: 
	Toạ độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: 
	Ta thấy , Þ M là trung điểm của AB.
	Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
	S = 
	Dấu “=” xảy ra khi 
	Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3).
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với .	ĐS: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
	2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm m để tiếp tuyến tại một diểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho DIAB có diện tích .
	· (C) có tiệm cận đứng , tiệm cận ngang . Giao điểm 2 tiệm cận là .
	Gọi . PTTT D của (C) tại M: . 
	D cắt TCĐ tại , cắt TCN tại .
	Ta có: ; Þ Û .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với 2 đường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi .
	· (C) có tiệm cận đứng , tiệm cận ngang . Giao điểm 2 tiệm cận là .
	Gọi . PTTT D của (C) tại M: .
	 D cắt TCĐ tại , cắt TCN tại .
	Ta có: ≥ 
	Dấu "=" xảy ra Û .
	+ Với Þ PTTT D: ;	+ Với Þ PTTT D: .
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
	· Giao điểm của 2 tiệm cận là . Gọi MÎ (C). 
	+ PTTT tại M có dạng: 
	+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A, B
	+ Ta có: (đvdt)
	+ DIAB vuông có diện tích không đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
	Û 
	Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện , 
	Khi đó chu vi DAIB = .
	Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
	Thật vậy: P = ³ .
	Dấu "=" xảy ra Û a = b.
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của