Toán học - Phương trình bậc hai

§ 1. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI .
1 . Ñònh nghóa :
 Phöông trình baäc hai moät aån laø phöông trình daïng : 
 ax2 + bx + c = 0 ( a¹ 0)
2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax2 + bx + c = 0 
Tính : D = b2 – 4ac .
Neáu : D < 0 , phöông trình voâ nghieäm .
Neáu : D = 0 , phöông trình coù nghieäm keùp : .
Neáu : D > 0 , phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät :
 ; 
Chuù yù: 
Khi b laø soá chaün ta coù theå giaûi: D/ = b/2 – ac vaø 
* Neáu : D/ < 0 , phöông trình voâ nghieäm .
* Neáu : D/ = 0 , phöông trình coù nghieäm keùp : .
* Neáu : D/ > 0 , phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät :
 ; 
Neáu a + b + c = 0 thì phöông trình coù nghieäm x1 = 1 vaø x2 = .
Neáu a – b + c = 0 thì phöông trình coù nghieäm x1 = –1vaø x2 = –.
Neáu ax2 + bx + c = 0 (1) coù nghieäm x1, x2 . 
 thì (1) a(x – x1)(x – x2) = 0 
Löu yù : Neáu a coù chöùa tham soá thì xeùt a = 0.
Ví duï 1. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : (m –1)x2 – 2mx + m – 1 = 0
Höôùng daãn giaûi
Xeùt m – 1 = 0 m = 1, phöông trình trôû thaønh –2x = 0 x = 0.
Khi m ¹ 1, ta coù D/ = 2m – 1.
Neáu 2m – 1 = 0 , phöông trình coù nghieäm keùp 
Neáu 2m – 1 > 0 , phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät , 
Neáu 2m – 1 < 0 , phöông trình voâ nghieäm
Vaäy : Neáu m = 1 phöông trình coù moät nghieäm x = 0.
 Neáu , phöông trình coù nghieäm keùp 
 Neáu , phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät 
 , 
 Neáu , phöông trình voâ nghieäm.
Ví duï 2 . Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : 
 mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (1) .
Höôùng daãn giaûi 
Neáu m = 0 
 Û 4x – 3 = 0 Û x = . 
Neáu m ¹ 0 .
Ta coù : D/ = (m – 2)2 – (m – 3)m = – m + 4 .
Neáu – m + 4 4 thì D/ < 0 : phöông trình voâ nghieäm .
Neáu – m + 4 = 0 Û m = 4 thì D/ = 0 :
 phöông trình coù nghieäm keùp : .
Neáu – m + 4 > 0 Û m 0 : phöông trình phöông trình coù hai nghieäm phaân bieât: ; (*)
Keát luaän : 
Neáu m = 0 , phöông trình coù moät nghieäm duy nhaát : x = .
Neáu m > 4 , phöông trình voâ nghieäm .
Neáu 0 ¹ m < 4 , phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät ( *)
Baøi taäp töông töï.
Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau:
x2 – 2(m – 1)x + m2 + 2 = 0 c) mx2 + 2(m +1)x + m – 2 = 0
(m – 1)x2 + 4mx + 4m + 1 = 0 d) (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m – 3 = 0 
MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI
Tìm ñieàu kieän ñeå phöông trình : ax2 + bx + c = 0 (1)
Coù hai nghieäm phaân bieät Û 
Coù nghieäm keùp Û 
Coù nghieäm Û hoaëc 
Voâ nghieäm Û hoaëc 
Ví duï 1. 
 Tìm m ñeå phöông trình : mx2 –2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
Coù nghieäm .
Coù hai nghieäm phaân bieät .
Coù nghieäm keùp .
Voâ nghieäm .
Höôùng daãn giaûi 
a) Neáu m = 0 ta coù : (1) Û –4x + 1 = 0 Û x = . ( m = 0 thoaû)
Khi m ¹ 0 thì ñeå phöông trình coù nghieäm khi : 
D/ ³ 0 Û (m + 2)2 – m(m + 1) ³ 0 Û 3m + 4 ³ 0 Û m ³ –.
Vaäy ñieàu kieän ñeå phöông trình coù nghieäm laø : m ³ –.
b) Ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät khi 
c) Phöông trình coù nghieäm keùp khi : 
d) Neáu m = 0 ta coù : (1) Û –4x + 1 = 0 Û x = . ( m = 0 loaïi)
Khi m ¹ 0 thì ñeå phöông trình voâ nghieäm khi : 
D/ < 0 Û (m + 2)2 – m(m + 1) < 0 Û 3m + 4 < 0 Û m < .
Vaäy ñieàu kieän ñeå phöông trình voâ nghieäm laø : m < .
Ví duï 2. 
 Tìm m ñeå phöông trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x +m +2 = 0 
 Coù nghieäm keùp . Tìm nghieäm keùp ñoù.
Höôùng daãn giaûi 
Ñeå phöông trình coù nghieäm keùp thì :
Khi m = 0 ta coù : x1 = x2 = 1 .
Khi m = 2 ta coù : x1 = x2 = –1 .
Ví duï 3.
 Cho phöông trình : (m2 – 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0. (1)
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm .
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát .
Höôùng daãn giaûi 
Xeùt a = 0 Û m2 – 4 = 0 Û m = ± 2 .
Khi m = 2 ta coù : (1) Û 8x + 1 = 0 Û x = –. ( m = 2 thoaû)
Khi m = –2 ta coù : (1) Û 0x + 1 = 0 ( PTVN).
Khi a ¹ 0 Û m ¹ ± 2 phöông trình coù nghieäm khi :
Toùm laïi phöông trình coù nghieäm khi m > –2 .
Khi a= 0 theo caâu a) phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi m = 2 
Khi a ¹ 0 phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi :
 heä voâ nghieäm.
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát khi m = 2 .
Baøi taäp töông töï.
1. Tìm m ñeå phöông trình : mx2 –2(m + 1)x + m + 1 = 0 
Coù hai nghieâïm phaân bieät.
Coù ít nhaát moät nghieäm .
Coù nghieäm keùp .
Voâ nghieäm .
2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät .
(2m – 1)x2 + 2(2 – m)x – 1 = 0 
(m – 1)x2 –2(m + 1)x + m – 5 = 0 
(m – 1)x2 – (2 – m)x – 1 = 0 
(4m + 1)x2 – 4mx + m – 3 = 0 
3. Cho hai phöông trình : x2 + mx + 1 = 0 vaø x2 + x + m = 0 .
Tìm m ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm .
4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm keùp vaø tính caùc nghieäm 
 keùp ñoù .
x2 – 2mx + m + 4 = 0 
x2 – (m + )x + 3m + 4 = 0 
x2 – (2m + 3)x + m2 = 0
(m + 1)x2 + 3(m – 2)x + m = 0 
(m + 3)x2 + 2(3m + 2)x + m + 3 = 0
(m – 1)x2 – 3(m – 1)x + 2 = 0
Tìm ñieàu kieän ñeå phöông trình baäc hai coù nghieäm cho tröôùc.
Ví duï 1 :
 a) Tìm m ñeå phöông trình : x2 + 5mx – 6m = 0 
 coù nghieäm x = 1 , tìm nghieäm coøn laïi .
 b) Tìm m ñeå phöông trình: x2 + 7mx + m2 + 11= 0 
 coù nghieäm x1 = 3 , x2 = 4 . 
Höôùng daãn giaûi 
a) Ñeå phöông trình coù nghieäm x = 1 thì ta coù :12 + 5m – 6m = 0 Û 1 - m = 0 Û m = 1 .
Thay m vaøo phöông trình treân ta coù : x2 + 5x + 6 = 0
Phöông trình naøy coù nghieäm x = 1 , x = – 6 .
Vaäy nghieäm coøn laïi laø x = – 6 . 
b) Ñeå phöông trình coù nghieäm x1 = 3 ta coù : 
32 + 7m .3 + m2 + 11 = 0 Û m2 + 21m + 20 = 0 (1) 
Ñeå phöông trình coù nghieäm x2 = 4 ta coù :
42 + 7m .4 + m2 + 11 = 0 Û m2 + 28m + 27 = 0 (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù : 
Vaäy m = –1 laø ñieàu kieän caàn tìm .
Ví duï 2 :
 Tìm m ñeå phöông trình : x2 + 5mx – 6m = 0 (1) coù hai nghieäm 
 x1 , x2 thoaû ñieàu kieän : x12 – 7x1 + 10 = 0 . Tìm nghieäm x2 .
Höôùng daãn giaûi 
Ta coù: x12 – 7x1 + 10 = 0 Û x1 = 2 Ú x1 = 5 .
Khi x1 = 2 thay vaøo (1) ta coù : 4m + 4 = 0 Û m = –1 .Thay m = –1 vaøo (1) x2 = 3 .
Khi x1 = 5 thay vaøo phöông trình (1) ta coù : 19m + 25 = 0 Û m = –.
Thay vaøo (1) ta coù nghieäm x2 .
Vaäy ñieàu kieän caàn tìm laø: m = –1 , m = –.
Ví duï 3 :
 Cho hai phöông trình : x2 – x + m = 0 (1) 
 x2 – 3x + m = 0 (2) 
 Tìm m ñeå phöông trình (1) coù moät nghieäm gaáp hai laàn moâït 
 nghieäm cuûa phöông trình (2) .
Höôùng daãn giaûi 
Ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm thì : 
Giaû söû phöông trình (1) coù nghieäm x0 thì 2x0 laø nghieäm cuûa (2) vaø ta coù:
 x02 – x0 + m = 0 
(2) (2x0)2 – 3.2x0 + m = 0 4x02 – 6x0 + m = 0 
Vaäy ta coù heä : 
Vaäy ta coù: – x02 + x0 = – 4x02 + 6x0 3x02 – 5x0 = 0 
Khi x0 = 0 thì ta coù m = 0 
Khi x0 = thì ta coù m =.
Vaäy ñeå phöông trình (1) coù moät nghieäm gaáp hai laàn nghieäm cuûa phöông trình (2) thì m = 0 hoaëc m = .
Baøi taäp töông töï.
Tìm m ñeå phöông trình : (m+ 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 
 coù nghieäm x = 3 . Tìm nghieäm coøn laïi . 
Tìm m ñeå phöông trình : 2x2 – (m + 3)x + m – 1 = 0 
 coù nghieäm x = . Tìm nghieäm coøn laïi . 
3. Cho hai phöông trình : x2 – (4m + 1)x + 6m = 0 (1)
 x2 + (m – 3)x + m = 0 (2)
 Tìm m ñeå phöông trình moät coù moät nghieäm gaáp hai laàn nghieäm cuûa 
 phöông trình (2) .
Tìm ñieàu kieän ñeå hai phöông trình baäc hai coù nghieäm.
Ví duï 1. 
 Tìm taát caû caùc giaù trò m ñeå hai phöông trình :
 x2 – 2(m – 1)x + m2 – 1 = 0
 x2 + 2x – m = 0 cuøng coù nghieäm .
GIAÛI
Ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm thì: 
Ví duï 2. 
 Tìm taát caû caùc giaù trò m ñeå hai phöông trình :
 x2 + mx + 1 = 0 (1) 
 x2 + x + m = 0 (2) ñeàu coù nghieäm .
Höôùng daãn giaûi 
Ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm khi: 
Baøi taäp töông töï.
Tìm taát caû caùc giaù trò m ñeå hai phöông trình sau coù nghieäm .
x2 + 2(m – 1)x + 3 + m2 = 0 vaø x2 + 4mx + 4m2 +1 = 0
x2 – 2(m + 2)x + 2 + m2 = 0 vaø x2 + 2mx + m2 +1 = 0
Tìm ñieàu kieän ñeå hai phöông trình coù nghieäm chung .
Ví duï 1. Cho hai phöông trình :
 x2 + mx + 1 = 0 (1) vaø x2 + x + m = 0 (2)
Tìm m ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm chung .
Höôùng daãn giaûi 
Giaû söû hai phöông trình coù nghieäm chung laø x .
Laáy (1) – (2) ta coù : x(m – 1) + 1 – m = 0 
 (x – 1)(m – 1) = 0 x = 1 hoaëc m = 1 .
Khi m = 1 ta coù : (1) vaø (2) ñeàu trôû thaønh phöông trình : x2 + x + 1 = 0 
Phöông trình voâ nghieäm .
Khi x = 1 ta coù : luùc ñoù ta coù :
Phöông trình coù nghieäm chung x = 1 .
Vaäy hai phöông trình treân coù nghieäm chung khi m = – 2 .
Ví duï 2. 
 Cho hai phöông trình : x2 – x + m = 0 (1)
 x2 – x + 3m = 0 (2)
 Tìm m ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm chung .
Höôùng daãn giaûi 
Giaû söû hai phöông trình coù nghieäm chung laø x .
Laáy (1) – (2) ta coù : m = 0 
Khi m = 0 ta coù :
Hai phöông trình (1) vaø(2) trôû thaønh : x2 – x = 0 x = 0 hoaëc x = 1 .
Vaäy ñeå hai phöông trình coù nghieäm chung thì m = 0 .
Ví duï 3.
 Cho hai phöông trình : (m – 1)x2 – x + m = 0 (1)
 (m – 1)x2 – mx + 1 = 0 (2)
 Tìm m ñeå hai phöông trình treân coù nghieäm chung .
Höôùng daãn giaûi 
Neáu m – 1 = 0 m = 1 thì phöông trình (1) vaø (2) trôû thaønh :
–x + 1 = 0 x = 1 . Vaäy m = 1 thoaû ñieàu kieän .
Neáu .
Tröø veá theo veá cuûa (1) vôùi (2) ta coù : 
(m – 1)x + m – 1 = 0 (x + 1)(m – 1) = 0 
 x = –1 hoaëc m = 1 (loaïi) .
Khi x = –1 thay vaøo (1) vaø (2) ta coù : (1) m = 1 (loaïi).
Vaäy m = 1 laø giaù trò caàn tìm .
Baøi taäp töông töï.
Tìm m ñeå hai phöông trình sau coù nghieäm chung.
x2 – 6mx + 5m = 0 vaø x2 – 7mx + 6m = 0
x2 + mx + m + 1 = 0 vaø x2 + (2m + 1)x – m – 1= 0 .
(m + 1)x2 – 6mx + 6m = 0 vaø (m + 1)x2 – 7mx + 7m= 0 .
4. ÑÒNH LÍ VIEÙT
* Ñònh lí Vieùt .
Neáu phöông trình baäc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
Coù hai nghieäm x1 vaø x2 thì toång vaø tích cuûa hai nghieäm ñoù laø:
 , .
* Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng.
Neáu hai soá u vaø v coù toång u + v = S vaø tích uv = P thì u vaø v laø nghòeâm cuûa phöông trình: x2 – Sx + P = 0
Chuù yù : Ñieàu kieän ñeå phöông trình: x2 – Sx + P = 0 coù nghieäm laø:
 S2 – 4P ³ 0 .
VÍ DUÏ AÙP DUÏNG.
Ví duï 1: 
 Tìm hai soá bieát toång cuûa chuùng baèng 4 vaø tích cuûa chuùng baèng 1 .
GIAÛI
Goïi hai soá caàn tìm laø u vaø v . 
Theo baøi toaùn ta coù : S = u + v = 4 , P = uv = 1 .
Nhö vaäy u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 – 4x + 1 = 0.
Coù D/ = 4 – 1 = 3 > 0 Þ , .
Vaäy hai soá caàn tìm laø: vaø .
Ví duï 2: 
 Tìm hai caïnh cuûa hình chöõ nhaät bieát chu vi baèng 22m vaø dieän tích 
 baèng 28m2 .
Höôùng daãn giaûi 
Goïi u vaø v laø ñoä daøi hai caïnh cuûa hình chöõ nhaät ( u > 0 , v > 0 ), ta coù:
 S = u + v = 11 , P = uv = 28
 Vaäy u vaø v laø nghieäm cuûa phöông trình : x2 – 11x + 28 = 0 .
 D = 121 – 4.28 = 9 = 32 .
 Vaäy ta coù : , .
Vaäy hai caïnh cuûa hình chöõ nhaät laø 4m vaø 7m .
Baøi taäp töông töï.
Tìm hai soá bieát :
Toång cuûa chuùng baèng 19 , tích cuûa chuùng baèng 84 .
Toång cuûa chuùng baèng 10 , tích cuûa chuùng baèng 1 .
Toång cuûa chuùng baèng 12 , tích cuûa chuùng baèng 1 .
Toång cuûa chuùng baèng 16 , tích cuûa chuùng baèng 39 .
3. Xeùt daáu caùc nghieäm cuûa phöông trình baäc hai.
Phöông phaùp .
 Cho phöông trình : ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) .
 Giaû söû x1 vaø x2 laø nghieäm cuûa phöông trình . Theo ñònh lyù Viet ta coù: 
 S = x1 + x2 = , P = x1x2 = 
 Ñieàu kieän ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät :
x1 < 0 < x2 Û P < 0 
0 < x1 < x2 Û ; x1 < x2 < 0 Û 
Chuù yù : 
Ñieàu kieän ñeå phöông trình coù nghieäm :
0 < x1 £ x2 Û ; x1 £ x2 < 0 Û 
Ví duï aùp duïng .
Ví duï 1. 
 Tìm m ñeå phöông trình :x2 – 3x + m – 1 = 0 
Coù hai nghieäm traùi daáu.
Coù hai nghieäm döông phaân bieät . 
Coù hai nghieäm aâm phaân bieät . 
Höôùng daãn giaûi 
Goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình , theo baøi toaùn ta coù:
Ta coù x1 < 0 < x2 Û P < 0 Û m – 1 < 0 Û m < 1 .
Ta coù 0 < x1 < x2 Û Û .
Giaûi heä treân ta coù 
x1 < x2 < 0 Û Û Û 
Baøi taäp töông töï.
Tìm m ñeå phöông trình : mx2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0 
Coù ñuùng moät nghieäm döông . 
Tìm m ñeå phöông trình : (m – 2)x2 – 6mx + 2(m – 5) = 0 
 Coù hai nghieäm traùi daáu .
Tìm m ñeå phöông trình : (m – 2)x2 – 2(m + 3)x + 2(m – 5) = 0 
 Coù hai nghieäm traùi daáu .
Tìm m ñeå phöông trình : x2 – 6x + m – 2 = 0 
 Coù hai nghieäm döông phaân bieät .
5. Tìm m ñeå phöông trình : (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0 
Coù hai nghieäm döông phaân bieät . 
ÑS : 1. . 2. 2 < m < 5 . 3. – 3 < m < 2 .
 4. 2 < m < 11 5. 
BIEÅU THÖÙC ÑOÁI XÖÙNG CUÛA CAÙC NGHIEÄM 
Bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm x1 vaø x2 cuûa phöông trình:
 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) .
 Laø bieåu thöùc khoâng thay ñoåi khi ta thay x1 bôûi x2 vaø x2 bôûi x1.
Chuù yù : Ñaët , 
 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P .
 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1x2(x1 + x2) = S3 – 3PS .
Ví duï aùp duïng .
Ví duï 1:
 Tìm m ñeå phöông trình : x2 – 4x + m – 1 = 0 .
Coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn heä thöùc x12 + x22 = 3 .
Coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn heä thöùc x13 + x23 = 40 .
Höôùng daãn giaûi 
Ñieàu kieän ñeå phöông trình coù nghieäm laø: 
 D/ = 4 – m + 1 = 5 – m ³ 0 Û m £ 5 .
Vaø S = 4 , P = m – 1 .
x12 + x22 = 3 Û (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 3 Û S2 – 2P = 3
 Û 16 – 2(m – 1) = 3 Û m = ( khoâng thoaû ñieàu kieän m £ 5) 
Vaäy khoâng coù giaù trò m thoaû ñieàu kieän baøi toaùn .
b) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1x2(x1 + x2) = S3 – 3PS = 64 – 12(m – 1) 
 = 76 – 12m .
Theo baøi ra ta coù: 76 – 12m = 40 Û m = 3 thoaû maõn vôùi ñieàu kieän m £ 5 
Vaäy m = 3 laø giaù trò caàn tìm .
Baøi taäp töông töï .
Tìm m ñeå phöông trình : x2 – mx + 7 = 0 
Coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 sao cho x12 + x22 = 10
Tìm m ñeå phöông trình : x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 
Coù hai nghieäm x1 , x2 sao cho 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0
Tìm m ñeå phöông trình : x2 + mx + 1 = 0 
Coù hai nghieäm thoaû x12 + x22 = 7
Tìm m ñeå phöông trình : 3x2 + mx – 2 = 0 
Coù hai nghieäm thoaû x12 + x22 = 
Tìm m ñeå phöông trình : x2 – 2(m – 2)x + m(m – 3) = 0 
Coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 sao cho x13 + x23 = 0
HD : x13 + x23 = 0 x13 = x13 x1 = – x2 x1 + x2 = 0 
Giaûi töông töï nhö treân ta coù m = 2 .
$ 2 . HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI .
I . Heä goàm moät phöông trình baäc hai vaø moät phöông trình baäc nhaát cuûa hai aån .
Phöông phaùp giaûi . Töø phöông trình baäc nhaát ta ruùt moät aån theo aån coøn laïi roài theá vaøo phöông trình kia .
Ví duï 1. Giaûi heä phöông trình: 
Höôùng daãn giaûi 
Töø phöông trình (2) ta coù x = 7 – 2y .
Theá vaøo phöông trình (1) ta coù : 
 (7 – 2y)2 + 2y2 – 2(7 – 2y)y = 5 Û 5y2 – 21y + 22 = 0
Vaäy nghieäm cuûa heä laø : , 
II . Heä phöông trình ñoái xöùng ñoái vôùi hai aån x vaø y .
Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I .
Laø heä phöông trình khi thay x bôûi y vaø thay y bôûi x thì caùc phöông trình trong heä khoâng thay ñoåi.
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta ñaët S = x + y , P = xy , bieán ñoåi heä theo S vaø P roài giaûi tìm S vaø P.
Ví duï 1.
 Giaûi heä phöông trình : 
GIAÛI
Ñaët S = x + y , P = xy ta coù heä (1) Û 
Coäng veá cho veá cuûa heä treân ta coù: S2 + S – 6 = 0 , phöông trình naøy coù hai nghieäm S1 = – 3 , S2 = 2.
Khi S = –3 thì P = 2 + 3 = 5 do ñoù ta coù : 
Vaäy x , y laø nghieäm cuûa phöông trình : X2 + 3X + 5 = 0 ( phöông trình voâ nghieäm neân heä voâ nghieäm)
Khi S = 2 P = 0 neân ta coù : 
Heä naøy coù hai nghieäm vaø 
Vaäy heä ñaõ cho coù hai nghieäm (0 ; 2) vaø (2 ; 0) .
Baøi taäp töông töï .
Giaûi caùc heä phöông trình sau :
 c) 
 d) 
Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II .
 Laø heä phöông trình khi thay x bôûi y vaø thay y bôûi x thì phöông trình naøy seõ trôû thaønh phöông trình kia nhöng heä khoâng ñoåi. 
Phöông phaùp giaûi: 
 Tröø veá cho veá cuûa hai phöông trình roài phaân tích ñeå coù thöøa soá (x – y) 
Ví duï 1.
 Giaûi heä phöông trình: 
GIAÛI
Tröø veá cho veá ta coù : x2 – y2 – (x – y) = 0 Û (x – y)(x + y – 1) = 0 
 Û x = y hoaëc x = 1 – y .
Khi x = y thay vaøo phöông trình trong heä ta coù: 4x2 = 4 Û x = ±1
Vaø ta coù nghieäm cuûa heä laø : (1 ; 1) vaø ( –1 ; –1)
Khi x = 1 – y thay vaøo phöông trình (1) trong heä ta coù: 
 –2y2 + 2y – 3 = 0, phöông trình voâ nghieäm . ( Vì D < 0)
Vaäy nghieäm cuûa heä laø : (1 ; 1) vaø ( –1 ; –1) .
Ví duï 2.
 Giaûi heä phöông trình: 
Höôùng daãn giaûi 
Tröø veá cho veá ta coù : x2 – y2 – x + y = 0 Û (x – y)(x + y) – (x – y) = 0 
 (x– y)(x + y – 1) = 0 Û x = y hoaëc x = 1 – y .
Khi x = y thay vaøo phöông trình trong heä ta coù: 
 3x2 + x – 14 = 0 Û x = 2 Ú x = –.
Vaø ta coù nghieäm cuûa heä laø : (2 ; 2) vaø (– ; –)
Khi x = 1 – y thay vaøo phöông trình trong heä ta coù: 
 y2 – y – 4 = 0 Û 
Vaäy nghieäm cuûa heä laø : (1 ; 1) vaø ( –1 ; –1) , .
Baøi taäp töông töï.
Giaûi caùc heä phöông trình sau:
a) b) c) 
3. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai ñoái vôùi x vaø y .
 Heä coù daïng : 
Phöông phaùp giaûi: 
Xeùt x = 0 thay vaøo heä tìm y.
Khi x , y ¹ 0 ta ñaët x = ky hoaëc y = kx , theá vaøo heä ñeå giaûi tìm k , roài theá k vaøo tìm x , y .
Ví duï 1.
 Giaûi heä phöông trình : 
Höôùng daãn giaûi 
Vôùi x = 0 , y = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa heä .
x ¹ 0 , ñaët x = ky .
Ta coù : 
Töø (1) vaø (2) Þ 
 k = –v k = 
Vôùi k = – ta coù x = – y theá vaøo heä ta coù y = ± 3 Þ x =1
Vôùi k = ta coù x = y theá vaøo heä ta coù y = ± 4 Þ x = ± 1
Vaäy heä coù boán nghieäm : (± 3 ; 1) , ( ± 4 ; ± 1) 
Caùch 2. Coäng veá theo veá 4x2 = 4 x = 1 y = 
Baøi taäp töông töï
Giaûi caùc heä phöông trình sau :
a) c) 
b) d) 
ÑS: a) (1 ; 2) , (–1 ; –2) b) (5 ; 3) . d) ( 7 ; 3) , (–7 ; –3) .
(8 ; 2) , (– 8 ;–2) , (–5 ; 17/3) , (5 ; –) 
§ 3 . BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI .
I. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai .
 Ñònh lí. Cho tam thöùc baäc hai: f(x) = x2 + bx + c (a ¹ 0) 
 D = b2 – 4ac .
Neáu D < 0 thì f(x) luoân luoân cuøng daáu vôùi heä soá a .
 ( hay af(x) > 0 " x )
Neáu D = 0 thì f(x) luoân luoân cuøng daáu vôùi heä soá a, " x ¹ 
vaø f() = 0
Neáu D > 0 thì tam thöùc coù hai nghieäm x1 < x2 vaø 
* f(x) cuøng daáu vôùi heä soá a vôùi moïi x x2 .
* f(x) traùi daáu vôùi heä soá a vôùi moïi x1 < x < x2 .
 ( Quy taéc “ Ngoaøi ñoàng , trong traùi “ )
Ta coù baûng toùm taét:
Daáu cuûa bieät thöùc D
Daáu cuûa f(x)
D < 0
af(x) > 0 , "x Î R .
D = 0
af(x) > 0 , "x ¹ –b/2a, f(–b/2a) = 0
D > 0
Phöông trình f(x) = 0 
Coù hai nghieäm x1 < x2 
af(x) < 0, " x Î (x1 ; x2)
af(x) > 0, " x Î (–¥ ; x1)Ç(x2 ; +¥) 
Ví duï aùp duïng.
Ví duï 1.
 Giaûi caùc baát phöông trình sau :
3x2 +2x + 5 > 0 d) –3x2 + 7x – 4 < 0
–5 + 2x –x2 > 0 e) x2 – 5x + 6 £ 0
x2 + 6x + 9 > 0 
GIAÛI
Ta coù : D/ = 12 – 3.5 = –14 0 neân 3x2 + 2x + 5 > 0 " x . Vaäy baát phöông trình coù nghieäm "x Î R .
Ta coù D/ = 12 – 5 = –4 0 , " x. Vaäy baát phöông trình voâ nghieâïm.
C1: Ta coù : D/ = 0 neân baát phöông trình coù nghieäm "x¹ –3 .
 C2 : x2 + 6x + 9 > 0 Û (x + 3) 2 > 0 Û x¹ –3
Ta coù : a + b + c = 0 neân tam thöùc coù nghieäm x1 = 1 , x2 = 4/3
Heä soá a = –3 > 0 neân –3x2 + 7x – 4 4/3 .
Tam thöùc coù hai nghieäm x1 = 2 , x2 = 3 
Heä soá a = 1 > 0 neân x2 – 5x + 6 £ 0 Û 2 £ x £ 3 .
Baøi taäp töông töï.
Giaûi caùc baát phöông trình sau:
2x2 –5x + 2 < 0 4. –5x2 + 4x + 12 < 0
16x2 +40x + 25 > 0 5. –2x2 + 3x -7 > 0
3x2 – 4x + 4 ³ 0 6. x2 –x – 6 £ 0 
Ví duï 2 .
 Tìm m ñeå phöông trình : x2 + 2(m + 2) x – 2m – 1 = 0 coù nghieäm 
Höôùng daãn giaûi 
Ñeå phöông trình coù nghieäm thì :
 D/ ³ 0 Û (m + 2) 2 + 2m + 1 ³ 0 Û m2 + 6m + 5 ³ 0 
 Û m £ –5 Ú m ³ –1 .
Ví duï 3 : 
 Tìm m ñeå phöông trình : (m – 5)x2 + 4mx + m – 2 = 0 (1) coù nghieäm 
Höôùng daãn giaûi 
Khi m = 5 
 (1) Û –20x + 3 = 0 Û x = ( thoaû ñieàu kieän coù nghieäm )
Khi m ¹ 5 , ta coù : D/ = 3m2 + 7m + 10
Phöông trình coù nghieäm khi D/ ³ 0 Û 3m2 + 7m –10 ³ 0 
Û m £ –Ú m ³ 1 .
Keát luaän : m £ – Ú m ³ 1 .
Ví duï 4 : 
 Chöùng toû phöông trình : x2 – 2 (m – 1)x + m – 3 = 0 
 luoân luoân coù nghieäm vôùi moïi m.
GIAÛI
Ta coù: D/ = (m – 1)2 – m + 3 = m2 –3m + 4 > 0 " m 
( Vì Dm = 9 – 16 = -7 < 0 )
Vaäy phöông trình luoân luoân coù nghieäm vôùi moïi m .
Baøi taäp töông töï.
Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm