Toán học - Phần học: Tích phân

TÍCH PHÂN
TT
Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp
1
 với k là số thực.
2
3
4
5
6
7
8
9
Đạo hàm của hàm lũy thừa. 
Đạo hàm của hàm lượng giác.
Đạo hàm của hàm mũ. 
Tổng quát: 	
Đạo hàm của hàm lôgarít.
Tổng quát: 	
Tích phân
Định nghĩa. I.
Tính chất của tích phân. 
I .
I .
I . 
I= .
I .
Tính phân không phụ thuộc vào biến. 
Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [- a; a] thì I=
Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [- a; a] thì I=
Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức:
Vấn đề 1: Hàm đa thức. 
Cách giải: Biến đổi về đa thức. 
Công thức áp dụng: 
1
 với k là số thực.
2
 với 
 với 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	4. 
Vấn 2: Hàm phân thức. 
Cách giải: Chia đa thức. 
Áp dụng công thức: 
3
4
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 
3. 	4. 
Bài 5: Tính các tích phân sau: Tính nguyên hàm trực tiếp bằng bảng nguyên hàm. 
1. 	2. 	3. 
Bài 6: Tính các tích phân sau: 
1. 	 	2. 	 	3. 
Dạng 1: Hàm nhất biến: .
Cách giải: Chia ta thức biến đổi về dạng: . 
4
Bài 7: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 	
Dạng 2: Hàm hữu tỉ: .
Cách giải: Chia ta thức biến đổi về dạng: . 
4
Bài 8: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Bài 9: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 
Dạng 3: Tích phân dạng: .
Cách giải: Chia ta thức biến đổi về dạng: . 
4
Bài 10: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 	4. 	5. 	6. 	
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: 
6
7
Bài 11: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3.	4. .	5. 	6. 	
8
9
Bài 12: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. .	3.	4. .	5. 	6. .
Vấn 4: Tích phân hàm mũ.
5
10
1
2
. 	
Bài 13: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3..4. 4.	5. .	6. 	
Bài 14: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. .
4. 	5. 	6. 
Phần 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Công thức: 
Bước 1: Ta đặt: t=u(x)dt=u’(x).dx. 
Bước 2: Đổi cận: 
Bước 3: Khi đó: .
Vấn đề 1: Tích của hàm đa thức. Thông thường nếu: 
Trong tích phân có lũy thừa, ta đặt t=biểu thức bên trong lũy thừa. 
Trong tích phân có phân số, ta đặt t=mẫu số. 
Trong tích phân có căn thức, ta đặt t=căn thức.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	 4. 
5. .	 	6. 	7. 	 8. 9. 	10. 	11. 	 12. 
Bài 2: Tính tích phân:
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	 	6. 
Vấn đề 2: Tích phân hàm lượng giác.
Dạng 1: 
Dạng: sinx nhân với cosx.dx. Hoặc sinax nhân với cosax.dx.
Dạng: cosx nhân với sinx.dx. Hoặc cosax nhân với sinax.dx. 
Cách giải: Đổi biến số.
Nếu trong tích phân có: sinx.dx thì ta đặt t=cosx, hoặc biểu thức chứa cosx. 
Nếu trong tích phân có: cosx.dx thì ta đặt t=sinx, hoặc biểu thức chứa sinx. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 3. .	4. 
5. 	6. 	 7. .	8. 	
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	 	2. .	3. 	4. 
Dạng 2: 
Dạng: tanx nhân với 
Dạng: cotx nhân với . 
Cách giải: Đổi biến số.
Nếu trong tích phân có chứa tanx và dx, thì ta đặt t=tanx hoặc biểu thức chứa tanx. 
Nếu trong tích phân có chứa cotx và dx, thì ta đặt t=cotx hoặc biểu thức chứa cotx.
Cần nhớ: , .
Bài 1: Tính tích phân: 
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 
7. 	 	8. 	9. 	
Bài 2: Tính tích phân: 
1. 	2. 	 	3. 	
4. 	 	5. 	6. 
Dạng 3: 
Dạng: nhân với 
Dạng: nhân với 
Cách giải: Đổi biến số. 
Trong tích phân có sin2x và sin2x, ta đặt t= sin2x, hoặc biểu thức chứa sin2x. 
Trong tích phân có sin2x và cos2x, ta đặt t= cos2x, hoặc biểu thức chứa cos2x.
, , sin2x=2sinx.cosx.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	 3. 	 4. 
5. . 6. 	 	7. 	8. 
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác dạng lũy thừa.
Dạng 1: Tích phân có dạng: , .
Nếu n chẵn ta áp dụng công thức hạ bậc. 	Nếu n lẻ ta áp dung phương pháp đổi biến số. 
Trường hợp 1: , .
Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc.
Công thức hạ bậc: . 
Trong tích phân chỉ có sin2x ta áp dụng công thức ha bậc. 
Trong tích phân chỉ có cos2x ta áp dụng công thức ha bậc. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	 2. 	3. .	 	4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	 2. 	 	3. .	 	4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	 	2. 	 3. .	
Trường hợp 2: , .
Cách giải:	Đổi biến số. đặt t=cosx. 	 đặt t=sinx. 
 Áp dụng hằng đẳng thức 
Trong tích phân chỉ có sin3x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=cosx. 
Trong tích phân chỉ có cos3x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=sinx.
.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 	4. 
5. 	6. . 	7. 	8. 
9. 10. 	11. 	12. 
Dạng 2: Tích phân có dạng I=. 
Cách giải:
n chẵn, m lẻ thì dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx .
m chẵn, n lẻ thì dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx .
n lẻ, m lẻ thì đặt t = sinx hoặc t = cosx. 
Chú ý ưu tiên cho hàm số có số mũ âm (ở mẫu), nếu không có mẫu thì ưu tiên cho hàm số có số mũ lớn .
n chẵn, m chẵn thì dùng công thức hạ bậc hoặc dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 
4. 	5. 	6. . 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 	
4. 	5. 	6. . 	
Dạng 3: Biến đổi tích thành tổng.
Ta áp dụng công thức: 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 	
4. 	5. 	6. . 
Vấn đề 4: Tích phân chứa hàm mũ: 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=ex hoặc biểu thức chứa ex. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 	4. 	5. 	6. 
Bài 2: Tính các tích phân sau 
 	1. 	2. 	3. 	4. 	5. 	6. I=
Vấn đề 5: Tích chứa lnx hoặc ln(ax+b). 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=lnx hoặc biểu thức chứa lnx. 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=ln(ax+b) hoặc biểu thức chứa ln(ax+b). 
Đạo hàm: 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
 	1. 	2. 	3. 	4. 	5. 	 6. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
 	1. 	2. 3. 	
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách chia ra nhiều tích phân: 
Bài 1: Tính tích phân: 
1. 	 	 	2. 	3. 	4. 	5. 	6. 
Cần nhớ: Một số phép đặt cơ bản thường sử dụng trong phương pháp đổi biến số:
Nếu trong tích phân có các dấu hiệu sau. 
Nếu có mẫu số. Ta đặt t = mẫu số.
Nếu có căn thức. Ta đặt t = căn thức.
Nếu có hàm số mũ. Ta t = hàm số mũ đó hoặc đặt t bằng biểu thức chứa hàm số mũ đó hoặc đặt t bằng số mũ.
Nếu dx. Ta đặt t = lnx hoặc t = biểu thức chứa lnx. 
Nếu có . Ta đặt t = sinx hoặc t =biểu thức chứa sinx.
Nếu có . Ta đặt t = cosx hoặc t =biểu thức chứa cosx.
Nếu có . Ta đặt t = hoặc t =biểu thức chứa .
Nếu có . Ta đặt t = hoặc t =biểu thức chứa .
Nếu có . Ta đặt t = tanx hoặc t =biểu thức chứa tanx.
Nếu có . Ta đặt t = cotx hoặc t =biểu thức chứa cotx.
Phần 3: Tích phân từng phần. Công thức tích phân từng phần: 
1. Dạng 1: I=. Đặt 
 Cần nhớ: 
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 	7. 	8. 9. 	10. 11 	 12. 
2. Dạng 2: I=. Đặt . Cần nhớ: 
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 7. 	8. 
3. Dạng 3: I=. Đặt . Cần nhớ: 
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 7. 	 8. 
4. Dạng 4: I=. Đặt . Cần nhớ:
1. 	2. 	3. 	4. 	
5. 	6. 	7. 	8. 
9. 	10. 	11. 	12. 
Phần 4. Tích phân hàm hữu tỉ. 
Dạng 1: Tính tích phân 	1. 	2. .
Bài 1: Tính các tích phân sau. 
1. 	2. 
Dạng 2: Tính tích phân 	1. 	2. .
Bài 1: Tính các tích phân sau. 
	1. 	2. 
Dạng 3: Tính tích phân sau . 
	Ta xét ba trường hợp. 
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép. 
Trường hợp 2: Mẫu số có hai nghiệm phân biệt. 
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm. 
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có: 
	Ta biến đổi tích phân về dạng . 
Bài 1: Tính tích phân. 
1. 	2. 	3. 	4. 
Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt .Ta có: . 
	Ta biến đổi tích phân về dạng 
Bài 1: Tính tích phân. 
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 2: Tính tích phân. 
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 3: Tính tích phân:
1. 	2. 	3. 	4. 
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm. 
Dạng 1: . Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt . 
Dạng 2: 	
Ta phân tích . 
Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt: .
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. 
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. 
	1. 	2. 3. 	4. 
Dạng 4: Tính tích phân sau . 
Nếu mẫu số có nghiệm kép x0. Ta có: . Ta giải bằng cách đặt t= 
Nếu mẫu số có hai nghiệm phân biệt .Ta có: .	 
 I=
Bài 1: Tính tích phân.
1. 	2. 	3. 	4. 
Bài 2: Tính tích phân.
1. 	2. 	3. 	4. 
Phần 5: Tích phân chứa trị tuyệt đối. .
Bước 1: Giải phương trình f(x)=0, tìm các nghiệm .
Bước 2: Bỏ trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức f(x), để chia ra nhiều tích phân. 
Chú ý: Ta có thể giải bằng cách không xét dấu f(x). 
Nếu giải phương trình f(x)=0, không có nghiệm thì 
. 
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 1 nghiệm thì 
. 
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 2 nghiệm thì 
.
Bài 1: Tính các tích sau. 
	1. 	2. 	3. .
Bài 2: Tính các tích sau. 
1. 	2. 	3. . 
Phần 6: Diện tích hình phẳng.
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
1. .
2. , với c là nghiệm thuộc [a;b].
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng x=-1, x=1. 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x=e.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường 
thẳng x=1.
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
1. .
2. 
với c là nghiệm thuộc [a;b].
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=-1, x=1. 
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và đường thẳng x=2.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số .
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số .
Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x=-1, x=0. 
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ. 
Câu 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Câu 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Câu 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Câu 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Phần 8: Tính thể khối tròn xoay.
Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành, đt x=a, đt x=b quay quanh trục hoành. 
Chú ý: Đối với thể tích ta không cần chia làm nhiều tích phân:
Câu 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=0, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Câu 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=-1, đt x=0 quay quanh trục hoành.
Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Câu 4: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành quay quanh trục hoành.
Câu 5: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=0, đt x= quay quanh trục hoành.
Câu 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung, đt x= quay quanh trục hoành. 
Câu 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox. 
Câu 8. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
Câu 9. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox. 
Câu 10. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.