Chuyên đề Toán - Nguyên hàm tích phân

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. NGUYÊN HÀM
Khái niệm. 
Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , với mọi .
Định lý. Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Khi đó
Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của .
Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C.
Họ tất cả các nguyên hàm của là , trong đó là một nguyên hàm của , C là hằng số bất kỳ.
Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp 
 ()
 ()
; .
; 
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 
Định lý. Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì 
a. 
b. ;
c. .
3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
	a. Phương pháp đổi biến số
	Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì .
	b. Phương pháp tích phân từng phần 
Một số dạng thường gặp:
	Dạng 1. 
	Cách giải: Đặt 
	Dạng 2. 
	Cách giải: Đặt 
TÍCH PHÂN. 
Định nghĩa. Cho hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân của từ a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp thì là tích phân của f trên .
Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K.
Một số phương pháp tính tích phân 
Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong đó là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp xác định trên J; .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ ( là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ ( là một hàm số của t).
Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và là hai số thuộc K thì 
Ứng dụng của tích phân 
Tính diện tích hình phẳng
Nếu hàm số liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là 
Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm là . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một hàm liên tục.
Tính thể tích khối tròn xoay.
Hàm số liên tục và không âm trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1. Tìm nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 
k. 	l. 	m. 
n. 	o. 	p. 	
 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Tính tích phân 
Phương pháp 1. Đổi biến , rút x theo t.
+) Xác định vi phân: 
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử . Khi đó 
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: 
Dấu hiệu
Có thể chọn
Hàm số có mẫu
Đặt t là mẫu
Hàm 
Đặt 
Hàm 
Đặt 
Hàm 
Đặt 
Hàm lẻ với sinx
Đặt 
Hàm lẻ với cosx
Đặt 
Hàm chẵn với sinx và cosx
t =tanx
Phương pháp 2. Đổi biến 
+) Lấy vi phân 
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó 
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu
Có thể chọn
 hoặc 
Đặt 
Đặt 
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. 	 b. 	 c. 	
d. 	e. 	f. 	g. 	h. 	k. 
l. 	m. 	n. 
o. 	p. 	q. 	
r. 	s. 	t. 	u. 	v. 
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 
Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 4. Tìm nguyên hàm 
a. 	b. 	c. 	 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	h. 
i. 	k. 	l. 	
Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.
Các bài toán cơ bản:
a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:
Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản.
Bài 5. Tìm các nguyên hàm:
a.	b. 	c. 
b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: 
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù hợp.
Bài 6. Tìm nguyên hàm 
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	g. 	h. 
Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
Bài 7. Tìm nguyên hàm
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	g. 	h. 	k. 
l. với ()	 m. 	n.
Bài 8. Tìm nguyên hàm
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 
Dạng 7. Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit
Bài 9. Tìm nguyên hàm
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 
Phần 2. Tính tích phân
Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	k. 	l. 	m. 
n. 	o. 	p. 	
Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11. Tính tích phân 
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 
Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Bài 12. Tính các tích phân sau
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 
k. 	l. 	m. 
Bài 13. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	g. 	h. 
Bài 14. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	g. 	h. 	i. 	k. 	l. 	m. .
Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 15. Tính các tích phân 
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	g. 	h. 
Dạng 5. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần 
Bài 16. Tính tích phân 
a. 	b. 	c. 
Dạng 6. Lập công thức tích phân truy hồi
Bài 17. Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau.
a. 	b. với n là số nguyên dương.
• Dạng 7. Ứng dụng của tích phân 
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
a. và trục hoành	
b. và đường thẳng 
c. ; và 	
d. 
e. 	
f. 
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.
a. ; trục hoành và hai đường thẳng .
b. , trục hoành và đường thẳng 
c. 
d. .
Phần 3. Bài tập tổng hợp
Bài 20. Tính các tích phân.
a. 	b. 	c. 	
d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	k. 	l.	m. 
Bài 21. Tính các tích phân.
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	k. 	l. 	m. 
n. 	o. 	p. 
Bài 22. Tính tích phân.
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 	
g. 	 	h. 	i. 	
k. 	l. 	m.	
n. 	o. (B-08)	p. 	
q. (A-05)	 r. 	s. 	
t. 	u. 	v. 	 	
Bài 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau. 
a. 	 	b. .	c. .
d. 	e. 	f. 
g. 	h. 	i. 
Bài 24. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox
a. 	
b. 	
c. 
Bài 25. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: 
Bài 26. Tính các tích phân.
a. 	 	b. 	c. 	 
 	d. 	e. 	f. 	
g. 	h. 	i. 	k. 	l. .
Bài 27. Tính các tích phân.
	a. 	 	b. 	c. 
Bài 28. Tính các tích phân
a. 	b. 	c. 
TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013
Bài 1: Tính I = - ĐHKA-2009	KQ: 	
Bài 2: Tính I = - ĐHKB-2009	KQ: 
Bài 3: Tính I = - ĐHKD-2009	KQ: ln(e2+e+1) – 2
Bài 4: Tính I = - ĐHKA-2010	KQ: 
Bài 5: Tính I = - ĐHKB-2010	KQ: 
Bài 6: Tính I = - ĐHKD-2010 	KQ: 
Bài 7: Tính I = - ĐHKA-2011	KQ: 
Bài 8: Tính I =	- ĐHKB-2011	KQ: 
Bài 9: Tính I = 	- ĐHKD-2011 	KQ: 
Bài 10: Tính tích phân - KA-2012 	KQ: 
Bài 11: Tính tích phân - ĐHKB-2012	KQ: 
Bài 12: Tính tích phân - ĐHKD-2012 	KQ: 
Bài 13: Tính tích phân - ĐHKA-2013	KQ: 
Bài 14: Tính tích phân - ĐHKB-2013	KQ: 
Bài 15: Tính tích phân - ĐHKD-2013 	KQ: