Toán học lớp 12 - Phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 A-LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1.Vectơ pháp tuyến của :
Vectơ là vectơ pháp tuyến của 
2. Cặp vectơ là cặp vtcp của giá của cùng // hoặc nằm trong 
3.Quan hệ giửa vtpt và cặp vectơ 
4.Pt qua có vtpt với 
 ta có vtpt gọi là phương trình tổng quát của 
Đặc biệt :
- đi qua gốc tọa độ 0(0,0,0) thì D= 0 ta có 
 5.Phương trình đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0) ; C(0,0, c): 
Chú ý : Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: 
 6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: 
mp(0xy) là z =0 
mp(0yz) là x =0 
mp(0xz) là y =0 
7. Các vecto đơn vị:
 - Trục Ox có VTCP là .
 - Trục Oy có VTCP là .
 - Trục Oz có VTCP là .
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
M
P)
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm 
	Giải:
 (P):
Loại 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp: 
+Cách 1: (P)//(Q)
+Cách 2: Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: 
 Ax+By+Cz+m=0, với .
 Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và 
 pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
P)
Q)
M
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và song song với mặt phẳng (Q): 
	Giải:
+ Cách 1: 
Vậy :
+ Cách 2: //
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.
Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
P)
A
I
B
Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.
Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp: 
Gọi I là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB biết 
	Giải:
	 Trung điểm M0 của đoạn AB: 
Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Pt(P): 
C
B
A
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
	Giải:
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 2: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 3: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
M
P)
Bài 4: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1),
Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng (d):
	Giải:
	(P)
Loại 6: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
	Giải:
B
P)
Q)
A
Lọại 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
 và vuông góc với mặt phẳng (Q):
	Giải:
	Cặp VTCP mặt phẳng (P)
Loại 8: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
	+ Tìm điểm M0(d)
	+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P) 
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d):; Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với 
	Giải: 
	Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
	 Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT
Loại 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp: 
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: d
Nên mp(P) có VTPT: . .A
Ptmp(P): 
Ví dụ: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d): và đi qua điểm 
	Giải:
	; 
	Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
Loại 10 : Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
	+ Tìm điểm M0(d)
	+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 	
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): và mặt phẳng . Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vuông góc với mp (Q)
	Giải: 
	Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
Loại 11: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
	+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 
	+ Lấy điểm M0(d) hoặc M0(d’) 
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Loại 12: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
	+, VTCP d; ,VTCP d’. 
	+ Cặp VTCP mặt phẳng 
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Vấn đề 1: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp: 
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Ptmp(P): 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S).
r = d(I,(P))
I
P)
Phương pháp: 
Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
 Vì mp(P) có VTPT .
Do mp(P) tiếp xúc mc(S) 
Chú ý: .
Dạng 2.1: Viết phương trình mặt phẳng(P ) tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phăng (Q ):Ax+By+Cz+D= 0
Vì (P)//(Q)=>(P) và (Q) có cùng véc tơ pháp tuyến
Áp dụng dạng 2 =>pt(P) 
Dạng 2.2: Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với 2 đường thẳng d và d’.
Vì (P)// d1,d2 => Mp(P) có VTPT: .
Áp dụng dạng 2 =>pt(P) 
Dạng 2.3:Viết phương trình (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d
Vì (P) vuông góc với d=>Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Áp dụng dạng 2 =>pt (P)
B.BÀI TẬP ;
Viết phương trình mặt phẳng thỏa điều kiện sau:
1. Đi qua điểm M(3,4,-5) chứa 2 vectơ (3,1,-1), (1,-2,1).
2. Đi qua 2 điểm M(2,-3,4), N(-1,5,6) và song song với phương vectơ (3,-2,4).
3. Đi qua 3 điểm A(1,2,-5), B(-3,4,6), C( 2,1,5).
4. Qua M(3,4,-5), chứa (3,1,-1) song song với phương (1,-2,1).
5. Qua P(2,-1,-1) biết P là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng.
6. Qua M( 2,1,-1) và có vtpt (1,-2,3).
7. Qua gốc tọa độ O và có vtpt (5,0,-3).
8. Qua M và vuông góc vectơ biết M(3,-1,2), N(4,-2,-1).
9. Qua 3 điểm A(3,-1,2), B(4,-1,-1), C(2,0,2).
10. Qua gốc tọa độ O và song song mặt phẳng: .
11. Qua M(3,-2,7) và song song mặt phẳng: .
12. Qua M(2,-1,5) và lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng: .
13. Qua 2 điểm M(-1,3,-2), N(6,-1,-5) và vuông góc mặt phẳng: .
14. Chứa O và qua M(2,-2,6).
15. Song song Ovà qua M(1,2,5), N(2,-2,1).
16. Qua gốc tọa độ O và vuông góc 2 mặt phẳng: .
17. Qua N(2,-1,1) và vuông góc 2 mặt phẳng:.
18. Qua M(2,-3,3) và song song mặt phẳng O.
19. Qua N(1,-2,4) và song song mặt phẳng O.
20. Qua P(-5,2,-1) và song song mặt phẳng O.
21. Chứa trục Ovà N(1,4,-3).
22. Chứa trục Ovà P(3,-4,7).
23. Qua M(7,2,-3), N(5,6,-4) và song song trục O.
24. Qua P(2,-1,1), Q(3,1,2) và song song trục O.
25. Qua R(3,-2,5), S(2,3,1) và song song trục O.
26. Cho mặt cầu (S) : và M(4 ;-2 ; 4). Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M.
27. Cho mặt cầu (S) : và (P) : 2x - 2y + x - 10 =0. Viết pt mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).