Toán học - Kiến thức áp dụng làm trắc nghiệm

TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN GV: Nguyễn Văn Hiền
KIẾN THỨC ÁP DỤNG LÀM TRẮC NGHIỆM 
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIấN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN
I. VIẾT PHƯƠNG TRèNH TIẾP TUYẾN D CỦA (C): 
Cụng thức:
Phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm cú dạng: 
Trong đú: hoành độ tiếp điểm
tung độ tiếp điểm
hệ số gúc của tiếp tuyến
Dạng 1: Cho tiếp điểm 
B1: Viết cụng thức pttt và tỡm 
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
Dạng 2: Cho hoành độ tiếp điểm 
B1: Viết cụng thức pttt, tỡm và 
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
Dạng 3: Cho tung độ tiếp điểm 
B1: Viết cụng thức pttt và tỡm bằng cỏch giải phương trỡnh:
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
Chỳ ý:
 Nếu yờu cầu viết pttt tại giao điểm của đồ thị (C): với (C’): thỡ ta giải pthđgđ: tỡm được 
 2. Giao với trục Ox thỡ ta suy ra được: 
 3 Giao với trục Oy thỡ ta suy ra được: 
Dạng 4: Cho hệ số gúc k của tiếp tuyến
B1: Viết cụng thức pttt và tỡm bằng cỏch giải phương trỡnh:
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
Dạng 5: Cho tiếp tuyến song song với đường thẳng 
B1: Viết cụng thức pttt và tỡmbằng cỏch giải phương trỡnh: 
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
Dạng 6: Cho tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng 
B1: Viết cụng thức pttt và tỡmbằng cỏch giải phương trỡnh: 
B2: Áp dụng cụng thức để viết pttt
II. SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
+ Hàm số đồng biến trờn tập D;D.
+ Hàm số nghịch biến trờn tập D;D.
Chỳ ý: dấu “=” xảy ra ở một số điểm hữu hạn.
Dạng 1: Xột tớnh đơn điệu của một hàm số: lập bảng biến thiờn khoảng đồng biến nghịch biến.
 B1: Tỡm tập xỏc định của hàm số
 B2: Tớnh y’, giải phương trỡnh y’ = 0 để tỡm cỏc giỏ trị là nghiệm của y’ và tỡm những giỏ trị mà tại đú y’ khụng xỏc định (nếu cú).
 B3: Lập bảng biến thiờn
 B4: Dựa vào BBT kết luận tớnh đơn điệu của hàm số.
Dạng 2: Định giỏ trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trờn tập D: 
 B1: Tỡm tập xỏc định của hàm số
 B2: Tớnh y’
 B3: + Hàm số đồng biến trờn D 
 + Hàm số nghịch biến trờn D 
Lưu ý:
Cho .
Đối với hàm thỡ hàm số đồng biến trờn D 
 Đối với hàm thỡ hàm số nghich biến trờn D 
Dạng 3: Ứng dụng tớnh đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải pt, bpt:
III. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
a) Dấu hiệu 1: Khi x qua x0 mà đổi dấu (theo hướng từ trỏi sang phải) từ :
: x0 là điểm cực đại.
: x0 là điểm cực tiểu.
 Quy tắc 1: Lập bảng biến thiờn suy ra cực trị
 B1: Tớnh .
 B2: Tỡm cỏc điểm mà tại đú đạo hàm bằng 0 hoặc khụng xỏc định.
 B3: Lập bảng biến thiờn, căn cứ vào bảng biến thiờn dựng dấu hiệu 1 ta kết luận cực trị của
Chỳ ý: x0 là điểm cực trị của hàm số 
b) Dấu hiệu 2: x0 là điểm cực tiểu. 
 x0 là điểm cực đại. 
 là điểm cực trị
 Quy tắc 2: 
B1: Tớnh .
B2: Tỡm cỏc điểm mà tại đú đạo hàm bằng 0.
B3: Tớnh .
B4: Tớnh và dựng quy tắc 2 để kết luận là điểm cực đại, tiểu hay cực trị.
Dạng 1: Tỡm cỏc điểm cực trị của một hàm số: ta dựng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 (Phần lý thuyết).
Dạng 2: Định giỏ trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại : 
Phương phỏp: 
B1: Tỡm TXĐ: D.
B2: Tớnh .
B3: Lập luận: Hàm số đạt cực trị cực trị tại đ giải tỡm m.
B4: Với từng giỏ trị m vừa tỡm được ta dựng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem cú thỏa điều kiện đề bài khụng. Kết luận giỏ trị m thỏa điều kiện.
Dạng 3: Định giỏ trị của tham số m để cỏc hàm số và hàm số cú k cực trị: 
Phương phỏp: 
B1: Tỡm D.
B2: Tớnh .
B3: Lập luận: Hàm số cú k cực trị cú k nghiệm phõn biệt đ giải tỡm m.
+ Hàm số bậc ba 
Hàm số cú cực trị ( cú CĐ, CT ) 
Hàm số khụng cú cực trị 
+ Hàm số trựng phương 
Hàm số cú 3 cực trị cú 3 nghiệm phõn biệt
Hàm số cú 1 cực trị cú 1 nghiệm
Chỳ ý: Nếu hàm số bậc 2: cú 2 nghiệm phõn biệt thỡ khi đú ta luụn cú: 
IV. GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Số M được gọi là GTLN của hàm số trờn D 
Số m được gọi là GTNN của hàm số trờn D 
Phương phỏp giải cỏc dạng toỏn
Dang 1: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ TRấN MỘT ĐOẠN
Phương phỏp tỡm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trờn đoạn [a, b]:
Bước 1: Tớnh và tỡm cỏc điểm trờn khoảng K, tại đú bằng 0 hoặc khụng xỏc định
	Bước 2: Tớnh 
	Bước 3: Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn. Ta cú:
Dạng 2: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ TRấN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNG
Phương phỏp tỡm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trờn khoảng, nửa khoảng K.
Bước 1: Tớnh và tỡm cỏc điểm trờn khoảng K, tại đú bằng 0 hoặc khụng xỏc định
	Bước 2: Lập bảng biến thiờn của hàm số trờn khoảng K
	Bước 3: Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong bảng biến thiờn. Ta cú:
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
* Cho đồ thị hàm số 
+ Đồ thị cú tiệm cận đứng là: 
+ Đồ thị cú tiệm cận ngang là: 
* Cho đồ thị hàm số 
+ Đồ thị cú tiệm cận đứng là: với là nghiệm pt: 
+ Đồ thị cú tiệm cận ngang là: 
VI. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRèNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ (C ): 
B1: Đưa phương trỡnh về dạng f(x) = A(m). 
B2: Số nghiệm của phương trỡnh là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng: y = A(m).
B3: Dựa vào bảng biến suy ra kết quả.
Chỳ ý: 
+ Tỡm điểm uốn hay tõm đối xứng của hàm số: bằng cỏch tớnh rồi giải phương trỡnh tỡm được hoành độ, thay vào được tung độ. 
+ Tọa độ tõm đối xứng của hàm số: là 
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRèNH – BẤT PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ LễGARIT
I. CÁC VẤN ĐỀ LIấN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Cụng thức lũy thừa
Cho a>0, b>0 và . Khi đú
Nếu a>1 thỡ 
Nếu 0 < a < 1 thỡ 
2) Cụng thức lụgarit
Với cỏc điều kiện ta cú:
 với a>0.
Nếu a>1 thỡ 
Nếu 0<a<1 thỡ 
3) Phương trỡnh mũ
a) Phương phỏp đưa về cựng cơ số
b) Phương phỏp đặt ẩn phụ
Đặt .
Thay vào phương trỡnh để biến đổi phương trỡnh theo t.
Giải phương trỡnh tỡm t, đối chiếu điều kiện.
Nếu cú nghiệm thỏa thỡ thay để tỡm x và kết luận.
c) Phương phỏp lụgarit húa
	lấy lụgarit 2 vế đưa phương trỡnh về dạng đơn giản hơn.
4) Phương trỡnh lụgarit
a) Phương phỏp đưa về cựng cơ số
b) Phương phỏp đặt ẩn phụ
Đặt .
Thay t vào phương trỡnh và biến đổi phương trỡnh theo t.
Giải phương trỡnh tỡm t.
Thay tỡm .
c) Phương phỏp mũ húa
	Mũ húa hai vế của phương trỡnh với cơ số hợp lớ để đưa phương trỡnh về dạng đơn giải hơn.
5) Bất phương trỡnh mũ, bất phương trỡnh lụgarit
	Cỏch giải tương tự như cỏch giải phương trỡnh mũ và lụgarit.
CHỦ ĐỀ 3: NGUYấN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I. CÁC VẤN ĐỀ LIấN QUAN ĐẾN NGUYấN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1) Cụng thức nguyờn hàm
Nguyờn hàm của hàm số cơ bản
Nguyờn hàm mở rộng
2) Cụng thức tớch phõn
	F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn đoạn [a;b] thỡ
3) Phương phỏp đổi biến số
A. Dạng 1 : Tớnh I = 
+ Đặt t = 
+ Đổi cận : 
x
 a b
t
 	 I = 
* Nhớ : đổi biến thỡ cỏc em phải đổi cận.
* Chỳ ý : Thường cỏc em đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm cú chứa dấu ngoặc kốm theo luỹ thừa thỡ đặt t là phần bờn trong dấu ngoặc nào cú luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thỡ đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thỡ đặt t = căn thức.
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
 - Nếu tớch phõn chứa thỡ đặt .
B. Dạng 2 : Tớnh I = bằng cỏch đặt x = 
- Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a>0)
4) Phương phỏp tớch phõn từng phần
 * Cụng thức tớnh : 
ũ Đặt 
Ta thường gặp hai loại tớch phõn như sau:
* Loại 1: 
 Trong đú là đa thức bậc n. 
*Loại 2: 
5) Tớnh chất tớch phõn
Tớnh chất 1
 , k: hằng số
Tớnh chất 2:
Tớnh chất 3:
6) Diện tớch hỡnh phẳng
 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a; b]. khi đú diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
 (*)
Lưu ý: 
 vụ nghiệm trờn (a;b) thỡ
 cú 1 nghiệm thỡ 
 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liờn tục trờn [a; b]. Khi đú diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
 (**)
	Lưu ý: Khử dấu giỏ trị tuyệt đối của cụng thức (**) thực hiện tương tự đối với cụng thức (*).
7) Thể tớch vật thể trũn xoay
Thể tớch của khối trũn xoay khi cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
Lưu ý: Diện tớch, thể tớch đều là những giỏ trị dương.
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
I. CÁC VẤN ĐỀ LIấN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
Số i: 
Số phức: 
Số phức liờn hợp: .
Mụđun của số phức: 
Phộp toỏn trờn tập số phức:
Căn bậc hai của số thực a õm là : 
Phương trỡnh bậc hai trờn tập số phức :
	* Nếu = 0 thỡ p.trỡnh cú một nghiệm kộp (thực) x = - 
* Nếu > 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm thực x1,2 = .
* Nếu < 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phức x1,2 = .
CHỦ ĐỀ 5:THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
MỘT SỐ CễNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CễNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH
A
B
C
H
M
a
b
c
h
b’
c’
1. Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng : Cho vuụng ở A ta cú: 
Ÿ Định lý Pitago : 
Ÿ
Ÿ AB. AC = BC. AH 
Ÿ 
Ÿ AH2 = BH.CH
Ÿ BC = 2AM 
Ÿ 
Ÿ b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = , 
Ÿ b = c. tanB = c.cot C 
2.Hệ thức lượng trong tam giỏc thường:
 * Định lý hàm số Cụsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
 * Định lý hàm số Sin: 
3. Cỏc cụng thức tớnh diện tớch.
 	a/ Cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc:
 	a.ha; 
 S = với
 Đặc biệt :	*vuụng ở A : 
* đều cạnh a: 
 b/ Diện tớch hỡnh vuụng : S = cạnh x cạnh
 c/ Diện tớch hỡnh chữ nhật : S = dài x rộng
 d/ Diờn tớch hỡnh thoi : S = (chộo dài x chộo ngắn)
 d/ Diện tớch hỡnh thang : (đỏy lớn + đỏy nhỏ) x chiều cao 
 e/ Diện tớch hỡnh bỡnh hành : S = đỏy x chiều cao 
 f/ Diện tớch hỡnh trũn : 
II/ CÁC CễNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V = B.h
(B: Sđỏy ; h: chiều cao)
Thể tớch khối hộp chữ nhật:
Thể tớch khối lập phương:
với a là độ dài cạnh
V = a.b.c
(a,b,c là ba kớch thước)
V = a3
(a là độ dài cạnh)
2. THỂ TÍCH KHỐI CHểP:
V=Bh
(B: Sđỏy ; h: chiều cao)
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN
4. THỂ TÍCH KHỐI CHểP CỤT:
5. KHỐI NểN
6. KHỐI TRỤ
7. KHỐI CẦU
Chỳ ý:
1/ Đường chộo của hỡnh vuụng cạnh a là d = a, 
	Tam giỏc vuụng cõn thỡ hai cạnh gúc vuụng bằng nhau và bằng cạnh huyền chia .
 Đường chộo của hỡnh lập phương cạnh a là d = a, 
	Đường chộo của hỡnh hộp chữ nhật cú 3 kớch thước a, b, c là d = ,
2/ Đường cao của tam giỏc đều cạnh a là h = 
3/ Hỡnh chúp đều là hỡnh chúp cú đỏy là đa giỏc đều và cỏc cạnh bờn đều bằng nhau, cú đỏy là đa giỏc đều, hỡnh chiếu của đỉnh trựng với tõm của đỏy.(h/c tam giỏc đều thỡ đỏy là tam giỏc đều, h/c tứ giỏc đều thỡ đỏy là hỡnh vuụng)
4/ Lăng trụ đứng là lặng trụ cú cỏc mặt bờn là cỏc hỡnh chữ nhật
5/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cú đỏy là đa giỏc đều.
6/ Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy là gúc hợp bởi 3 điềm: ( Đỉnh, Điểm chung; Chõn đường cao)
7/ Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy là gúc hợp bởi 3 điềm: ( Đỉnh, Điểm M; Chõn đường cao). Với M là giao điểm của đường thẳng kẻ từ chõn đường cao vuụng gúc với giao tuyến của mặt bờn và mặt đỏy. 
CHỦ ĐỀ 6: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN
I. CÁC VẤN ĐỀ LIấN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN
1) Một số phộp toỏn vectơ
( Bấm M0DE 8, bấm 1 chọn (vecto A), bấm 1 chọn 1:3, sau đú nhập tọa độ vecto A vào, rồi bấm SHIFT 5 2 2 chọn (vecto B), bấm 1 chọn 1:3, sau đú nhập tọa độ vecto B vào,bấm AC, rồi bấm shift 5, bấm 3 chọn (vecto A), bấm dấu nhõn x, bấm shift 5, bấm 4 chọn (vecto B), bấm dấu bằng =, ta được kết quả)
11. M là trung điểm AB: 
12. G là trọng tõm tam giỏc ABC: 
2) Phương trỡnh mặt phẳng
*). Phương trỡnh mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) cú vtpt = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 thỡ ta cú vtpt = (A; B; C)
*). Phương trỡnh mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
 Chỳ ý : Muốn viết phương trỡnh mặt phẳng ta cần xỏc định tọa độ điểm đi qua và 1 vộctơ phỏp tuyến.
*). Vị trớ tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
 	° cắt
	° 
	° 
 ° 
*). Khoảng cỏch từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
*).Gúc giữa hai mặt phẳng : 
3) Phương trỡnh đường thẳng
*).Phương trỡnh tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) cú vtcp = (a1;a2;a3)
*).Phương trỡnh chớnh tắc của d : 
*).Vị trớ tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
 + Tỡm quan hệ giữa 2 vtcp , 
 + Tỡm điểm chung của d , d’ bằng cỏch xột hệ: 
Hệ (I)
Quan hệ giữa , 
Vị trớ giữa d , d’
Vụ số nghiệm
Cựng phương
Vụ nghiệm
Cú 1 nghiệm
Khụng cựng phương
d cắt d’
Vụ nghiệm
d , d’ chộo nhau
*). Gúc giữa 2 đường thẳng : Gọi là gúc giữa d và d’
4) Một số dạng toỏn thường gặp
ớDạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giỏc
 A,B,C là ba đỉnh tam giỏc Û khụng cựng phương. 
ớDạng 2: Tỡm D sao cho ABCD là hỡnh bỡnh hành
 ABCD là hỡnh bỡnh hành 
ớDạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
	+ Viết phương trỡnh (BCD) .
	+ Thay tọa độ A vào phương trỡnh mp(BCD) và cm
ớDạng4: Tỡm hỡnh chiếu của điểm M
 a. H là hỡnh chiếu của M trờn mp(a)
Viết phương trỡnh đường thẳng d qua M và vuụng gúc (a) : ta cú 
H = d (a)
 + Gọi H (theo t) d 
 + H(a) t = ? tọa độ H
 b. H là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng d 
d cú vtcp 
Gọi H (theo t) d 
Tớnh 
Ta cú tọa độ H
ớDạng 5 : Điểm đối xứng
 a.Điểm M/ đối xứng với M qua mp(a)
Tỡm hỡnh chiếu H của M trờn mp(a) (dạng 4.a)
M/ đối xứng với M qua (a)H là trung điểm của MM/ 
 b. Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tỡm hỡnh chiếu H của M trờn d ( dạng 4.b)
M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm của MM/ 
* Dạng 6: Khoảng cỏch
a). Khoảng cỏch từ điểm A đến đường thẳng D: 
	+ Viết phương trỡnh mp(a ) chứa A và D.
	+ Tỡm giao điểm H của D và (a ).
	+ Tớnh d(A, D) = AH
b). Khoảng cỏch giữa đường thẳng D và (a ) với : 
	+ Lấy M trờn D
	+ 
c). Khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng chộo nhau D, D’ : 
 	+ Viết phương trỡnh mặt phẳng (a ) chứa D’ và //D
	+ Lấy M trờn D.
	+ 
5) Phương trỡnh mặt cầu
a.Phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c), bỏn kớnh R 
 (1)
 *(2) ()
	 Ta cú: Tõm I(a ; b ; c) và	
b.Vị trớ tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
 Cho và ( a) : Ax + By + Cz + D = 0 
	Gọi d = d(I,(a)) : khoảng cỏch từ tõm mặt cầu (S) đến mp(a).
d > r : (S) ầ (a) = 
d = r : (a) tiếp xỳc (S) tại H (H: tiếp điểm, (a): tiếp diện)
 *Tỡm tiếp điểm H (là hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm I trờn mp(a) )
+ Viết phương trỡnh đường thẳng d qua I và vuụng gúc mp(a) : ta cú 
+ H = d (a)
Gọi H (theo t) d 
H(a) t = ? tọa độ H
d < r : (a) cắt (S) theo đường trũn (C): 
 *Tỡm bỏn kớnh R và tõm H của đường trũn giao tuyến:
	+ Bỏn kớnh 
	+ Tỡm tõm H ( là hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm I trờn mp(a) )