Toán học - Hàm số mũ và logarit

HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Công thức cơ bản hàm số mũ
a0 = 1; 1a = 1; a–m = ; (am)ⁿ = am.n; 
Các công thức cùng cơ số
am.an = am+n; = am–n.
Các công thức khác cơ số
am.bm = (ab)m; ; 
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức (giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a. A = 
b. B = ()(a2n – b2n)
c. C = 
Bài tập 2: Cho a, b là hai số dương. Rút gọn các biểu thức
 a. A = 	b. B = 	c. C = 
d. D = 	e. E = 
f. F = 	g. G = 
Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức
a. A = với x = 
b. B = với y = 1,2
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức
a. A = 	b. B = 
Bài tập 5: Chứng minh 
Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P = 
Bài tập 7: Chứng minh: 
Bài tập 8: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức
a. A = 	b. B = (a > 0)	c. C = (ab ≠ 0)
Bài tập 9: Rút gọn
a. A = 	b. B = 	c. C = + 1
d. D = 	e. E = 
HÀM SỐ MŨ
Hàm số mũ có dạng y = ax (với 0 < a ≠ 1)
Tập XÁC ĐỊNH: D = R
Đạo hàm y’ = axln a
Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R
Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R
Giới Hạn: = 0 nếu a > 1 và = 0 nếu 0 < a < 1.
Hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang
Giá trị đặc biệt: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = a
y = ax luôn dương với mọi x
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y = . Từ đó so sánh 2³ – 2–3 và 2² – 2–2.
Bài tập 2: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến
a. y = 	b. y = 	c. y = 5.
SO SÁNH CÁC SỐ MŨ
1. Nếu a > 1: am > aⁿ m > n	2. Nếu 0 aⁿ m < n
3. Nếu 0 n > 0	4. Nếu 0 bⁿ n < 0
Nếu so sánh hai căn không cùng bậc, thì đưa hai số về cùng bậc rồi so sánh.
Bài tập 1: So sánh các cặp số sau
a. và 	b. và 	c. và 	d. và 2
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau
a. y = 3.	b. y = 0,51–sin 2x	c. y = 
BÀI TẬP LOGARIT
Định nghĩa: Hàm số y = loga x (0 0
loga x = b x = ab. (b được gọi là logarit cơ số a của x)
Chú ý: Khi cơ số a = e thì loge = ln x được gọi là logarit tự nhiên.
Khi cơ số a = 10 thì log10 x = log x = lg x được gọi là logarit thập phân.
Các công thức logarit: với 0 0; y > 0
loga 1 = 0; loga a = 1; loga xα = αloga x; ; = x
loga (xy) = loga x + loga y
loga () = loga x – loga y
logb x = hay loga b logb x = loga x
loga x = 
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a. y = 	b. y = 	c. y = 
d. y = lg (–x² + 3x + 4) + 	e. y = 
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức
a. 	b. 
c. 	d. 
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức
a. A = log9 15 + log9 18 – log9 10	b. B = 
c. C = 	d. D = log1/4 (log3 4 log 2 3)
e. E = log2 [2sin (π/12)] + log2 [cos (π/12)]	f. F = 
g. G = log10 tan 2 + log10 cot 2	h. H = log4 x + log4 x³ – 2log2 x + 6log4 8
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 	b. B = 
c. C = log tan 1° + log tan 2° + ... + log tan 89°
d. D = log3 2 log4 3 log5 4 ... log15 14 log16 15
Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu a² + b² = c²; a, b, c > 0; c + b ≠ 1; c – b ≠ 1; a ≠ 1 thì logc+b a + logc–b a = 2logc+b a logc–b a.
Bài tập 6: Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab. Chứng minh rằng 
Bài tập 7: Tính theo a, b các logarit sau
a. A = log6 16. Biết log12 27 = a	b. B = log125 30. Biết log 3 = a và log 2 = b
c. C = log3 135. Biết log2 5 = a và log2 3 = b	d. D = log49 32. Biết log2 14 = a
Bài tập 8: Rút gọn biểu thức P = (loga b + logb a + 2)(loga b – logab b)logb a – 1
Bài tập 9: Biết loga b = 3; loga c = –2. Tính giá trị của biểu thức
a. loga (a³b²)	b. loga ()
Bài tập 10. Cho log2 x = . Tính giá trị của biểu thức A = log2 x² + log1/2 x³ + log4 x.
HÀM SỐ LOGARIT
Khảo sát hàm số y = loga x
Tập xác định D = (0; +∞) 
Đạo hàm y’ = 1/(x ln a)
Nếu a > 1, hàm số luôn đồng biến
Nếu 0 < a < 1, hàm số luôn nghịch biến
Các điểm đặc biệt x = a → y = 1, x = 1 → y = 0
BÀI TẬP SO SÁNH
Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau:
Nếu a > 1 thì loga x > loga y x > y
Nếu 0 loga y x < y
Trường hợp 2 số khác cơ số, dùng số trung gian
Ví dụ so sánh hai số log3 4 và log4 3. Ta có: log3 4 > 1 = log4 4 > log4 3
Bài tập 1. So sánh
a. và 	b. log3 2 và log2 3	c. log2 3 và log3 11
d. và 	e. và 	f. log2 9 và log5 90
g. log3 5 và log7 4	h. 2ln e³ và 8 – ln (1/e).
Bài tập 2: Chứng minh
a. log1/2 3 + log3 (1/2) + 2 0
Bài tập 3: So sánh
a. log3 (6/5) và log3 (5/6)	b. log1/3 19 và log1/3 17	c. log e và log π
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
(ax)’ = ax ln a → (au)’ = u’.au ln a
(ex)’ = ex → (eu)’ = u’.eu.
(ln x)’ = → (ln u)’ = 
(loga x)’ = → (loga u)’ = 
Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số
a. y = (x² – 2x)ex.	b. y = (sin x – cos x) e2x.	c. y = 
d. y = ln (x² + 1)	e. y = x ln x	f. y = (1 + ln x) ln x
g. y = ex ln x	h. y = sin x ln x	i. y = ln (cos x + 2)
Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số
a. y = x ln 	b. log2 (x² – x + 1)	c. y = 2ln³ (x² – x)
d. y = 	e. y = ln ()	f. y = log (ex + 2)