Toán học - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
I.Kiến thức cơ bản: 
1. Định lý: 
)(0)(* / xfDxxf  đồng biến trên D. 
)(0)(* / xfDxxf  nghịch biến trên D. 
2. Định lý mở rộng: 
Dxxf  0)(* / và 0)(/ xf tại một số hữu hạn điểm )(xf đồng biến trên D. 
Dxxf  0)(* / và 0)(/ xf tại một số hữu hạn điểm )(xf nghịch biến trên D. 
3. Chú ý: 
 baxxf ;0)(* /  và f(x) liên tục trên  ba; )(xf đồng biến trên  ba; . 
 baxxf ;0)(* /  và f(x) liên tục trên  ba; )(xf nghịch biến trên  ba; . 
4. Điều kiện không đổi dấu trên R: 
Cho )0()( 2  acbxaxxf . 






0
0
0)(*
a
Rxxf 






0
0
0)(*
a
Rxxf 






0
0
0)(*
a
Rxxf 






0
0
0)(*
a
Rxxf 
II. Các dạng toán: 
1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước: 
Phương pháp: 
* Tính y/ . 
* Cho y/ = 0. 
Có các cách sau 
Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y/ ) 
+ Lập bảng biến thiên. 
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. 
Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m)) 
+ Xét sự biến thiên của g(x). 
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. 
Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên ) 
+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát. 
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. 
Ví dụ 1. Cho hàm số    3 21 1 2 1 6
3
y x m x m x      
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;2 
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1;3 
 Giải: 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
a. Tập xác định: D = R. 
   12122/  mxmxy 
Hàm số đồng biến trên R 






0
0
0
/
/ aRxy 0
00
01
2












 m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R. 
   12122/  mxmxy 
  / 2
1
0 2 1 2 1 0
2 1
x
y x m x m
x m

          
* Trường hợp 1: 2 1 1 0m m    . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  1  
 y/ + 0 + 
  
 y  
3
1 
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên  ;2 . 
Do đó m = 0 thỏa mãn. 
* Trường hợp 2 : 0112  mm . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  1 2m+1  
 y/ + 0 - 0 + 
 y(1)  
 y  y(2m+1) 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên  ;2 
2
1212  mm ( thỏa đk m>0) 
* Trường hợp 3 : 0112  mm . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  2m+1 1  
 y/ + 0 - 0 + 
 y(2m+1)  
 y  y(1) 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến 
trên  ;2 
Vậy hàm số đồng biến trên  ;2 khi m = 0 hoặc 
2
1
m 
c. Tập xác định: D = R. 
   12122/  mxmxy 
   





12
1
012120 2/
mx
x
mxmxy 
* Trường hợp 1: 0112  mm . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  1  
 y/ + 0 + 
  
 y  
3
1 
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên  1;3 
Do đó m = 0 không thỏa mãn. 
* Trường hợp 2 : 0112  mm . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  1 2m+1  
 y/ + 0 - 0 + 
 y(1)  
 y  y(2m+1) 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch 
biến trên  1;3 
* Trường hợp 3 : 0112  mm . 
Ta có bảng biến thiên: 
 x  2m+1 1  
 y/ + 0 - 0 + 
 y(2m+1)  
 y  y(1) 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên 
 1;3 2312  mm ( Thỏa mãn điều kiện m <0 ) 
Vậy 2m hàm số nghịch biến trên  1;3 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
Ví dụ 2. Cho hàm số 102
3
1 23  mxxxy 
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;0 
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên  1; 
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 
 Giải: 
a. Tập xác định: D = R. 
 mxxy  42/ 
 Hàm số đồng biến trên R 






0
0
0
/
/ aRxy 4
404
01












 m
m
Rm
m
b. * Tập xác định: D = R. 
 mxxy  42/ 
 * Hàm số đồng biến trên  ;0   ;00/ xy 
    ;04;004 22 xmxxxmxx 
 * Xét hàm số xxxf 4)( 2  trên  ;0 
 Ta có 42)(/  xxf 
 20)(/  xxf (loại) 
 Ta có bảng biến thiên: 
 x 0  
 f/(x) + 
  
 f(x) 
 0 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 0 m 
Vậy 0m hàm số đồng biến trên  ;0 . 
c. * Tập xác định: D = R. 
 mxxy  42/ 
 * Hàm số đồng biến trên  1;  1;0/  xy 
   1;41;04 22  xmxxxmxx 
 * Xét hàm số xxxf 4)( 2  trên  1; 
 Ta có 42)(/  xxf 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
 20)(/  xxf ( nhận ) 
 Ta có bảng biến thiên: 
 x  -2 1 
 f/(x) - 0 + 
  
 f(x) -4 5 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 4 m 
d. * Tập xác định: D = R. 
 mxxy  42/ 
 / 20 4 0y x x m     
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 
 phương trình 0ý có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 121  xx 
 


















14
4
12
04
1
0
21
2
2121
2
2
2
1
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
  4
3
4
3
4
1)(42
4
2 












 m
m
m
m
m
Vậy 
4
3
m thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Ví dụ 3. Cho hàm số 11223  xmxxy 
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;1 
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  2;1 
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2. 
Giải: 
a. Tập xác định: D = R. 
 1223 2/  mxxy 
 Hàm số đồng biến trên R 






0
0
0
/
/ aRxy 66
66036
03
2












 m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R. 
 1223 2/  mxxy 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
* Hàm số đồng biến trên  ;1   ;10/ xy 
    ;11232;101223
2
2 x
x
xmxmxx 
Xét hàm số   ;1123)(
2
trên
x
xxf 
Ta có 2
2
/ 123)(
x
xxf  
 







)(2
)(2
01230)( 2
2
/
lx
nx
x
xxf 
 Ta có bảng biến thiên: 
 x 1 2  
 f/(x) - 0 + 
 15  
 f(x) 
 12 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 6122  mm 
Vậy 6m thỏa mãn điều kiện bài toán. 
c. Tập xác định: D = R. 
 1223 2/  mxxy 
* Hàm số nghịch biến trên  2;1  2;10/  xy 
   2;112322;101223
2
2 

 x
x
xmxmxx 
Xét hàm số  2;1123)(
2
trên
x
xxf  
Ta có 2
2
/ 123)(
x
xxf  
 







)(2
)(2
01230)( 2
2
/
lx
lx
x
xxf 
Bảng biến thiên: 
 x 1 2 
 f/(x) - 
 15 
 f(x) 
 12 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 6122  mm 
Vậy 6m thỏa mãn điều kiện bài toán. 
d. * Tập xác định: D = R. 
 1223 2/  mxxy 
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 
 phương trình 0ý có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 221  xx 
   
 



















44
;66;
42
036
4
0
21
2
2121
2
2
2
1
2
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
       

























 m
m
m
m
m
m
6
6
;66;
44.4
3
2
;66;
2 
Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán. 
Ví dụ 4. Cho hàm số 
mx
mxy



9 . 
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên  ;2 . 
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1; 
 Giải: 
a. TXĐ:  mRD  \ 
 2
2
/ 9
mx
my


 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định mxy  0/ 
  3;3092  mm 
Vậy:  3;3m thỏa điều kiện bài toán. 
b. TXĐ:  mRD  \ 
 2
2
/ 9
mx
my


 
 Hàm số đồng biến trên  ;2   mxvàxy  ;20/ 
 
       
3
2
;33;
2
;33;
;2
092


















 m
m
m
m
m
m
m 
Vậy: 3m thỏa điều kiện bài toán. 
c. TXĐ:  mRD  \ 
 2
2
/ 9
mx
my


 
 Hàm số nghịch biến trên  1;   mxvàxy  1;0/ 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
 
   
13
1
3;3
1
3;3
1;
092


















 m
m
m
m
m
m
m 
Vậy: 13  m thỏa điều kiện bài toán. 
Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013) 
 Cho hàm số 3 2y x 3x 3mx 1 (1)     , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số 
(1) nghịch biến trên khoảng (0; + ) 
Giải: 
Ta có y’ = -3x2 + 6x+3m 
Yêu cầu bài toán  y’  0, 0;x    
2
2
3 6 3 0 (0; )
2 (0; )
x x m x
m x x x
       
     
Xét hàm số 2( ) 2g x x x  với x > 0 
Ta có / ( ) 2 2g x x  
 / ( ) 0 1g x x   
 Ta có bảng biến thiên: 
 x 0 1  
 g/(x) - 0 + 
 0  
 g(x) 
 -1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 1m   
Vậy 1m   hàm số nghịch biến trên (0; ) . 
BÀI TẬP TỰ LÀM 
1. Cho hàm số 3 23 4y x x mx     có đồ thị ( )C . Xác định m để hàm số nghịch 
biến trên khoảng  0; . ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009) 
2. Cho hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x      có đồ thị (Cm). 
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  ;2 . 
3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số:
2 2x 5x m 4y
x 3
  


, (1) 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1. 
b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng  1; . 
2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 
a. sinx < x 





2
;0 x b. 





2
;0tan xxx c.  1;102 24  xxx 
Giải: 
a. Ta có: sinx < x 0sin  xx 
Xét xxxf sin)(  Với 




2
;0 x 
Ta có 




2
;00
2
sin2cos1)( 2/ xxxxf 
 )
2
;0(02
2
0
2
sin0)(/ 





 xDoxkxkxxxf 
Suy ra, )(xf đồng biến trên 




2
;0  
Do đó, 





2
;0 x 
Ta có   xxxxxffx  sinsin0)(00 
Vậy: sinx < x 





2
;0 x 
b. Ta có: 0tantan  xxxx 
Xét hàm số xxxf tan)(  trên 




2
;0  
Ta có 




2
;00tan
cos
11)( 22
/ xx
x
xf 
 )
2
;0(00tan0)(/ 





 xDoxkxxxf 
 Suy ra, )(xf nghịch biến trên 




2
;0  
Do đó, 





2
;0 x 
Ta có   xxxxxffx tantan0)(00  
Vậy 





2
;0tan xxx 
c.  1;102 24  xxx 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
Xét hàm số 24 2)( xxxf  với  1;1x 
Ta có xxxf 44)( 3/  
  









1
1
0
0140440)( 23/
x
x
x
xxxxxf 
Bảng biến thiên: 
 x -1 0 1 
 f/(x) + 0 - 
 0 
 f(x) 
 -1 -1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1;102)( 24  xxxxf (đpcm) 
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm: 
Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức ) 
* f(x) đạt cực trị tại x = x0 







0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy 
* f(x) đạt cực đại tại x = x0 







0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy 
* f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 







0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy 
Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức ) 
* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì 0)( 0/ xy . 
* Giải phương trình 0)( 0/ xy tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số . 
* Lập bảng biến thiên và kết luận. 
Ví dụ 1. Cho hàm số     5231
3
1 223  xmmxmxy . 
a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0. 
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. 
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. 
 Giải: 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
a. TXĐ: D = R 
   2312 22/  mmxmxy 
  122//  mxy 
Hàm số đạt cực trị tại x = 0
 
2
1
2
1
012
023
0)0(
0)0( 2
//
/

























 m
m
m
m
m
mm
y
y 
Vậy Hàm số đạt cực trị tại x = 0 
b. TXĐ: D = R 
   2312 22/  mmxmxy 
  122//  mxy 
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 
2
55
2
2
55
2
55
024
055
0)1(
0)1( 2
//
/ 

































 m
m
m
m
m
mm
y
y 
c. TXĐ: D = R 
   2312 22/  mmxmxy 
  122//  mxy 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 





















 m
m
m
m
mm
y
y
4028
0179
0)3(
0)3( 2
//
/
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. 
Ví dụ 2. Cho hàm số 
3
1
2
1
3
1 23  bxaxxy . Xác định a và b để hàm số đạt cực 
đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. 
 Giải: 
* TXĐ: D = R 
* baxxy  2/ 
 axy  2// 
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2 









2)1(
0)1(
0)1(
//
/
y
y
y


























3
2
2
3
2
2
2
1
02
01
b
a
a
b
a
ba
a
ba
Vậy 





3
2
b
a thỏa mãn điều kiện bài toán. 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
Ví dụ 3. Xác định m để hàm số 52 224  xmxy 
a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 
b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2. 
 Giải: 
a. TXĐ: D = R 
22//
23/
412
44
mxy
xmxy

 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
 
























3;3
1
1
0412
044
0)1(
0)1(
2
2
//
/
m
m
m
m
m
y
y 






1
1
m
m 
b. TXĐ: D = R 
22//
23/
412
44
mxy
xmxy

 
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 
   
2
:3232;
2
2
0448
0832
0)2(
0)2(
2
2
//
/


























 m
m
m
m
m
m
y
y 
Ví dụ 4. Xác định m để hàm số 
1
522



x
mxxy đạt cực tiểu tại x = 3. 
Giải: 
TXĐ:  1\  RD 
 2
2
/
1
522



x
mxxy 
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì 0)3(/ y 
 50
16
210

 mm 
* Với 5m ta có 
 2
2
/
1
152



x
xxy 
/ 30
5
x
y
x

    
 x  - 5 3  
 y/ + 0 - 0 + 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
 CĐ  
 y  CT 
Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu. 
Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. 
Ví dụ 5. Xác định m để hàm số 
22
2
2
2



xx
mxxy đạt cực đại tại 2x . 
Giải: 
TXĐ: D = R 
*
 22
2
/
22
2244



xx
mmxxxy 
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại 2x thì 0)2(/ y 
 
 
220
224
212824
2 


 mm 
* Với 22m ta có  
 22
2
/
22
242444



xx
xxy 






1
20/
x
xy 
Bảng biến thiên: 
 x  1 2  
 y/ - 0 + 0 - 
 1 CĐ 
 y 
 CT 1 
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại 2x . 
Vậy 22m thỏa mãn điều kiện bài toán. 
2. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước: 
Ví dụ 1. Cho hàm số     14112
3
1 23  xmxmxy 
a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 421  xx . 
c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 43 21  xx . 
d. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: .222
2
1  xx 
e. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục 
tung. 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
 Giải: 
a. TXĐ: D = R 
   mxmxy 411222/  
   (*)0411220 2/  mxmxy 
 Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt 
 / 2 24 0 0 0m m m       
Vậy 0m hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. TXĐ: D = R 
   mxmxy 411222/  
   (*)0411220 2/  mxmxy 
 * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt 
 / 2 24 0 0 0m m m        
 * Với 0m hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 
 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 
 





mxx
mxx
41.
122
21
21 
Theo đề ta có 421  xx   164162 21
2
2121
2
2
2
1  xxxxxxxx 
      1641.4122 2  mm 2 1 ( )16 16
1 ( )
m n
m
m n

     
Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán. 
c. TXĐ: D = R 
   mxmxy 411222/  
   (*)0411220 2/  mxmxy 
 * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt 
 / 2 24 0 0 0m m m       
 * Với 0m hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 
 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 
 





)2(41.
)1(122
21
21
mxx
mxx 
Theo đề ta có 43 21  xx (3) 
Từ (3) 12 34 xx  thay vào (1) và (2) ta được 
 
 




mxx
mx
4134
12224
11
1 






)4(4134
)3(23
2
11
1
mxx
mx
Thay mx 231  vào (4) ta được     mmm 41233234
2  







)(2
)(
3
2
0163212 2
nm
nm
mm 
Vậy 2;
3
2
 mm thỏa TĐKBT. 
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
d. TXĐ: D = R 
   mxmxy 411222/  
   (*)0411220 2/  mxmxy 
 * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt 
 / 2 24 0 0 0m m m       
 * Với 0m hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 
 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 
 





mxx
mxx
41.
122
21
21 
 Theo đề ta có 222
2
1  xx        241212222 221221  mmxxxx 
2
100816 2  mmm 
Vậy 
2
10  m thỏa TĐKBT. 
e. TXĐ: D = R 
   mxmxy 411222/  
   (*)0411220 2/  mxmxy 
 * Hàm số có hai điểm cực trị  phương (*) có hai nghiệm phân biệt 
 / 2 24 0 0 0m m m       
 * Với 0m hàm số có hai điểm cực trị . Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm 
số. 
 Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên 
 





mxx
mxx
41.
122
21
21 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung 
4
10410. 21  mmxx 
Kết hợp với điều kiện 0m ta được 
4
1;0  mm 
Vậy 
4
1;0  mm thỏa TĐKBT. 
Ví dụ 2. Cho hàm số 22 24  mxxy 
a. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. 
b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông 
cân. 
c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều. 
d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có 
diện tích bằng 1. 
Giải: 
a. TXĐ: D = R 
 mxxy 44 3/  
TAILIEUEA.COM 
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 
   






)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
 Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 
 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
0
0
0
0
0
2












 m
m
m
m
m
Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT. 
b. TXĐ: D = R 
 mxxy 44 3/ 