Tích phân hàm lượng giác

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Tính tích phân hoặc 
Ta xét các trường hợp sau: 
Trường hợp 1: n=1. 	 hoặc 
Trường hợp 2: n=2. 	 hoặc 
Trường hợp 3: n=3. 	 hoặc 
Trường hợp 4: n=4. 	 hoặc 
Trường hợp 5: n=5. 	 hoặc 
Trường hợp 1: n=1. 
Tính tích phân: hoặc 
Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Trường hợp 2: n=2 hoặc n=4.
Tính tích phân: 
 hoặc .
 hoặc 
Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc. 
Công thức hạ bậc: 
 .
 .
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Trường hợp 3: n=3 hoặc n=5.
Tính tích phân: 
 hoặc .
 hoặc 
Cách giải: Đổi biến số.
Phân tích hoặc thành: . Sau đó đặt .
Phân tích hoặc thành: . Sau đó đặt .
Ta áp dụng hằng đẳng thức thường áp dụng: 
Lưu ý: là một thức theo sinx, là một biểu thức theo cosx. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 5: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bảng tóm tắt
TT
Dạng toán hoặc 
Cách giải
1
n=1
 hoặc 
Áp dụng bảng nguyên hàm
2
n=2 hoặc n=4
 hoặc 
Áp dụng công thức hạ bậc.
 hoặc 
3
n=3 hoặc n=5
 hoặc 
Đổi biến số dạng 1.
 hoặc 
Dạng 2: Tính tích phân 
Ta xét các trường hợp sau: 
TH1: m=n=1. 	
TH2: m=n=2. 	
TH3: m=n=3. 	
TH4: m lẻ và n chẵn. 	
TH5: m chẵn và n lẽ. 	
TH6: với m và n cùng chẵn. 	
TH7: với m và n cùng lẻ.	
Công thức nhân đôi thường áp dụng:
. 
.
.
.
.
Trường hợp 1: m=n=1. Ta có: 
Bài 6: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 2: m=n=2. Ta có: 
Cách giải: Hạ bậc.
Bài 7: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 3: m=n=3. Ta có: 
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.
Bài 8: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 4: : m lẻ và n chẵn.
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.
Biến đổi: 
Đặt t=cosx hoặc biểu thức chứa cosx. 
Bài 9: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 5: : m chẵn và n lẽ.
Cách giải: Đổi biến số dạng 1.
Biến đổi: 
Đặt t=sinx hoặc biểu thức chứa sinx. 
Bài 10: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 6: với m và n cùng chẵn. 
Cách giải: Hạ bậc.
Bài 11 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
Trường hợp 7 với m và n cùng lẻ
Cách giải: Hạ bậc.
Bài 11 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bảng tóm tắt
TT
Dạng toán 
Cách giải
1
m=n=1
C1: Áp dụng bảng nguyên hàm.
C2: Đổi biến số dạng 1. 
2
m=n=2
Áp dụng công thức hạ bậc.
 với m và n cùng chẵn.
3
m=n=3.
Đổi biến số dạng 1.
m lẻ và n chẵn
Đổi biến số.
m chẵn và n lẽ
 với m và n cùng lẻ.
Dạng 3: Tính tích phân dạng hoặc .
Ta xét các trường hợp sau: 
TH 1: n=1. hoặc .
TH 2: n=2. hoặc .
TH 3: n=3. hoặc .
TH 4: n=4. hoặc .
TH 5: n=5. hoặc .
TH 6: n=6. hoặc .
Công thức thường áp dụng. 
.
.
.
.
.
.
.
Trường hợp 1: n=1.Ta có: hoặc .
Cách giải: Đổi biến số dạng 1: 
	Ta biến đổi như sau: 
. Đặt t=cosx. 
. Đặt t=sinx. 
Hoặc . Đặt t=.
Hoặc .
Hoặc 
Bài 12 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 13 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 2: n=2.Ta có: hoặc 
Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm.
Bài 13 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 
Trường hợp 3: n=2.Ta có: hoặc 
Cách giải: Tích phân từng phần. 
	Phân tích: . Đặt .
Phân tích: . Đặt .
Bài 14: Tính tích phân .
Không giải được tích phân này bằng cách biến đổi. 
	Tính 
	Tính 
Cách khác: 
Ta phải giải bằng tích phân từng phần. 
Đặt 
Khi đó: 
Suy ra: 
Tính A=
Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó: 
Vậy: .
Bài 15: Tính tích phân .
Trường hợp 4: n=1.Ta có: hoặc .
Cách giải: Đổi biến số dạng 1: 
	Ta biến đổi như sau: 
Phân tích: . Đặt t=cotx.
Phân tích: . Đặt t=tanx.
Bài 16 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 16 Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Trường hợp 5: n=5.Ta có: hoặc 
Cách giải: Tích phân từng phần. 
	Phân tích: . Đặt .
Phân tích: . Đặt .
Bài 17: Tính tích phân 	1. 	2. 
Trường hợp 6: n=6.Ta có: hoặc .
Cách giải: Đổi biến số dạng 1: 
	Ta biến đổi như sau: 
Phân tích: . Đặt t=cotx.
Phân tích: . Đặt t=tanx.
Bài 18: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 19: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bảng tóm tắt
TT
Dạng toán hoặc .
Cách giải
1
n=1
 hoặc .
Đổi biến số dạng 1.
n=4
 hoặc .
n=6
 hoặc .
n=8
 hoặc .
2
n=3
 hoặc .
Tích phân từng phần.
n=5
 hoặc .
Dạng 4: .
Cách giải: Phân tích tử số sau đó đưa về các trường hợp của dạng 3. 
Ví dụ: Tính các tích phân sau: 
	1. . Phân tích: .
	2. . Phân tích: rồi khai triển hằng đẳng thức.	
3. . Phân tích: hoặc .	
4. . Phân tích: .
5. . Phân tích: .
6. . Phân tích: .
7. . Phân tích: .
Dạng 5: Tính tích phân dạng hoặc .
Ta xét các trường hợp sau đây: 
	TH1: n=1. hoặc . Cách giải: Đổi biến số. 
	TH2: n=2. hoặc . Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm. 
TH3: n=3. hoặc . Cách giải: Đổi biến số. 
TH4: n=4. hoặc . Cách giải: Đổi biến số. 
TH5: n=5. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
TH6: n=6. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
Các công thức thường áp dụng. 
.
.
.
.	
Các cách biến đổi. 
.
. 
.
.
.
.
TH1: n=1. hoặc . Cách giải: Đổi biến số. 
 Ta phân tích . Đặt t=cosx.
Bài 20: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
TH2: n=2. hoặc . Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm. 
Ta phân tích tan và cot bằng cách công thêm 1 và bớt 1. 
.
Bài 21: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
TH3: n=3. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
Ta phân tích bằng cách công thêm tanx và bớt tanx rồi đặt thừa số chung. 
Ta phân tích bằng cách công thêm cotx và bớt cotx rồi đặt thừa số chung. 
 Bài 22: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
TH4: n=4. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
Ta phân tích bằng cách công thêm tan2x và bớt tan2x rồi đặt thừa số chung. 
Ta phân tích bằng cách công thêm cot2x và bớt cot2x rồi đặt thừa số chung. 
Bài 23: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
TH5: n=5. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
Ta phân tích bằng cách công thêm tan3x và bớt tan3x rồi đặt thừa số chung. 
Ta phân tích bằng cách công thêm cot3x và bớt cot3x rồi đặt thừa số chung. 
Bài 24: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
TH6: n=6. hoặc . Cách giải: Đổi biến số.
Ta phân tích bằng cách công thêm tan4x và bớt tan4x rồi đặt thừa số chung. 
Ta phân tích bằng cách công thêm cot4x và bớt cot4x rồi đặt thừa số chung. 
Bài 25: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Dạng 5: Các dạng khác.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
1. . HD: Áp dụng hệ thức đối xứng . 
2. . HD: Áp dụng công thức nhân đôi. 
3. . HD: Áp dụng hệ thức đối xứng . 
4. . HD: Áp dụng công thức nhân đôi. 
5. . HD: Đặt t=.
6. . HD: 
7. . HD: . 
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
	1. . HD. Phân chia tích phân và áp dụng hằng đẳng thức đưa về tp đổi biến.
	2. .
Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin2x chuyển về tích phân đổi biến với t=cos2x. 
Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Biến đổi tử số về chia thành 2 tích phân. 
Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx.
Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx. Nhân tử mẫu cho sinx. Đặt t=cosx.
3. . HD: Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx.
4. . 
Cách 1: Nhân tử mẫu cho cosx. Đặt t=sinx. 
Cách 2: Biến đổi tử số về chia thành 2 tích phân. 
5. . HD: Đặt t=cosx.