Toán học - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Đề cương toán THPT 2016 
1 | P a g e 
CHUYÊN ĐỀ 1. 
 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 
1. Chủ đề 1: Bài tốn về tiếp tuyến 
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 0 0M( , ) ( ) : ( )x y C y f x  
 * Tính ' ' ( )y f x ; tính ' 0( )k f x (hệ số gĩc của tiếp tuyến) 
 * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm  0 0;M x y cĩ phương trình 
 '0 0 0( )y y f x x x   với 0 0( )y f x 
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 3 5y x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 
a) Tại điểm A (-1; 7). 
b) Tại điểm cĩ hồnh độ x = 2. 
c) Tại điểm cĩ tung độ y =5. 
Giải: 
 a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 0( ; )M x y cĩ dạng: 0 0 0'( )( )y y f x x x   
Ta cĩ 2' 3 3y x  '( 1) 0y   . 
Do đĩ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: 7 0y   hay y = 7. 
 b) Từ 2 7x y   . 
y’(2) = 9. Do đĩ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ x = 2 là: 
7 9( 2) 7 9 18 9 11y x y x y x          
c) Ta cĩ: 3 3
0
5 3 5 5 3 0 3
3
x
y x x x x x
x


          
 
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5). 
Ta cĩ y’(0) = -3. 
Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: 5 3( 0)y x    hay y = -3x +5. 
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5) . 
 2'( 3) 3( 3) 3 6y      
Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: 5 6( 3)y x   hay 6 6 3 5y x   . 
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: 6 6 3 5y x   . 
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 22 2 4y x x x    . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
 c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. 
Đề cương toán THPT 2016 
2 | P a g e 
Giải: 
 Ta cĩ 2' 3 4 2y x x   . Gọi  0 0;M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến cĩ phương trình: 
0 0 0 0 0 0'( )( ) '( )( ) (1)y y y x x x y y x x x y       
 a) Khi ( )M C Ox  thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình: 
 3 22 2 4 0 2x x x x      ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình 
tiếp tuyến: 6( 2)y x  
 b) Khi ( )M C Oy  thì x0 = 0 0 (0) 4y y    và 0'( ) '(0) 2y x y  , thay các giá trị đã 
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 4y x  . 
 c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta cĩ: y” = 6x – 4. 
 y” = 0 0 0
2 2 886 4 0
3 3 27
x x x y y            
 
 ; 0
2 2'( ) '
3 3
y x y    
 
Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 100
3 27
y x  
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 3 1y x x   (C) 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm cĩ hồnh độ x=2. 
 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N. 
Giải 
a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) cĩ hồnh độ 0 02 3x y   
Ta cĩ 2 0'( ) 3 3 '( ) '(2) 9y x x y x y     
Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 
0 0 0'( )( ) 9( 2) 3 9 15y y x x x y y x y x          
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 9 15y x  
b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N 
Xét phương trình   3 3 2 23 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0 4
x
x x x x x x x x
x

                
Vậy  4; 51N   là điểm cần tìm 
Ví dụ 4: Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C   và điểm 0 0( , )A x y  (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 
điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hồnh độ điểm B theo 0x 
Lời giải: 
 Vì điểm 0 0( , )A x y  (C) 
3
0 0 03 1y x x    , 
' 2 ' 2
0 03 3 ( ) 3 3y x y x x     
Tiếp tuyến của đồ thị hàm cĩ dạng: 
' 2 3
0 0 0 0 0 0 0
2 3
0 0 0
( )( ) (3 3)( ) 3 1
(3 3)( ) 2 1 ( )
y y x x x y y x x x x x
y x x x x d
         
     
Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): 
Đề cương toán THPT 2016 
3 | P a g e 
3 2 3 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
2
00
0
00
3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0
( ) 0
( 0)
22 0
x x x x x x x x x x x x x x
x xx x
x
x xx x
              
   
       
Vậy điểm B cĩ hồnh độ 02Bx x  hoctoancapba.com 
Ví dụ 5: Cho hàm số 3 21 2 3
3
y x x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại 
điểm cĩ hồnh độ 0x thỏa mãn 
''
0( ) 0y x  và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số gĩc 
nhỏ nhất. 
Giải 
Ta cĩ ' 2 ''4 3 2 4y x x y x      
0 0 0
2''( ) 0 2 4 0 2 (2; )
3
y x x x M       
Khi đĩ tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc 0k 
' '
0( ) (2) 1y x y   
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 22;
3
M   
 
 cĩ phương trình  '0 0 0( )y y f x x x   
suy ra  2 1 2
3
y x    hay 8
3
y x   
Tiếp tuyến d cĩ hệ số gĩc 0k  -1 
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) cĩ hệ số gĩc 
 2' 2 0( ) 4 3 2 1 1k y x x x x k          
Dấu “=” xảy ra 1x  nên tọa độ tiếp điểm trùng với 22;
3
M   
 
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm 22;
3
M   
 
 cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất. 
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 2
1
xy
x



 tại các giao điểm của (C) với 
đường thẳng (d): 3 2y x  . 
Giải 
+ Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): 
2 3 2 2 (3 2)( 1)
1
x x x x x
x

      

 (x = 1 khơng phải là nghiệm phương trình) 
23 6 0 0 ( 2) 2 ( 4)x x x y x y          
Vậy cĩ hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4) 
+ Ta cĩ: 2
3'
( 1)
y
x



. 
Đề cương toán THPT 2016 
4 | P a g e 
+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến cĩ phương trình: 3 2y x   
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến cĩ phương trình: 3 10y x   
Tĩm lại cĩ hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: 3 2y x   và 3 10y x   . 
Ví dụ 7: Cho hàm số 3 21 1
3 2 3
my x x   (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) cĩ hồnh độ bằng 
-1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 
Giải 
Ta cĩ ' 2y x mx  
Đường thẳng d: 5x-y=0 cĩ hệ số gĩc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d 
trước hết ta cần cĩ '( 1) 5 1 5 4y m m       
Khi 4m  ta cĩ hàm số 3 21 12
3 3
y x x   ta cĩ 0 1x   thì 0 2y   
Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng ' 0 0 0( )( ) 5( 1) 2 5 3y y x x x y y x y x          
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d 
Vậy 4m  là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 8: Cho hàm số 3 23y x x m   (1). 
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại 
các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3
2
. 
Giải 
Với 0 01 2x y m     M(1 ; m – 2) 
- Tiếp tuyến tại M là d: 20 0 0(3 6 )( ) 2y x x x x m     
 d: y = -3x + m + 2. 
- d cắt trục Ox tại A: 2 20 3 2 ; 0
3 3A A
m mx m x A          
 
- d cắt trục Oy tại B: 2 (0 ; 2)By m B m    
- 23 1 3 2| || | | || | 3 2 3 ( 2) 9
2 2 2 3OAB
mS OA OB OA OB m m           
2 3 1
2 3 5
m m
m m
   
       
Vậy m = 1 và m = - 5 
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số ( )y f x (C) khi biết trước hệ số gĩc của nĩ 
+ Gọi 0 0( , )M x y là tiếp điểm, giải phương trình 
'
0 0( )f x k x x   , 0 0( )y f x 
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: 0 0( )y k x x y   
 Các dạng biểu diễn hệ số gĩc k:hoctoancapba.com 
Đề cương toán THPT 2016 
5 | P a g e 
*) Cho trực tiếp: 35; 1; 3; ...
7
k k k k       
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một gĩc  , với 0 0 0 215 ;30 ;45 ; ; .... .
3 3
 
   
 
 Khi 
đĩ hệ số gĩc k = tan . 
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đĩ hệ số gĩc k = a. 
*) Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng (d): y = ax + b 11ka k
a

     . 
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một gĩc  . Khi đĩ, tan
1
k a
ka




. 
Ví dụ 9: Cho hàm số 3 23y x x  (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số gĩc 
của tiếp tuyến k = -3. 
Giải: 
Ta cĩ: 2' 3 6y x x  
Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc 
' 2
0 0 0( ) 3 6k f x x x   
Theo giả thiết, hệ số gĩc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 2 20 0 0 0 03 6 3 2 1 0 1x x x x x         
Vì 0 01 2 (1; 2)x y M      . 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 3( 1) 2 3 1y x y x        
Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 23 1y x x   (C). Biết tiếp tuyến đĩ 
song song với đường thẳng y = 9x + 6. 
Giải: 
Ta cĩ: 2' 3 6y x x  
Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc 
' 2
0 0 0( ) 3 6k f x x x   
Theo giả thiết, tiếp tuyến đĩ song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k 
= 9  02 20 0 0 0
0
1 ( 1; 3)
3 6 9 2 3 0
3 (3;1)
x M
x x x x
x M
    
         
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: 9( 1) 3 9 6y x y x      (loại) 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: 9( 3) 1 9 26y x y x      
Ví dụ 11: Cho hàm số 3 3 2y x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến 
đĩ vuơng gĩc với đường thẳng 1
9
y x . 
Giải: 
 Ta cĩ 2' 3 3y x  . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với đường thẳng 
1
9
y x nên hệ số gĩc của tiếp tuyến k = 9. 
Đề cương toán THPT 2016 
6 | P a g e 
 Do đĩ 2 2' 3 3 9 4 2.y k x x x         
+) Với x = 2 4y  . Pttt tại điểm cĩ hồnh độ x = 2 là: 
9( 2) 4 9 14.y x y x      
+) Với 2 0x y    . Pttt tại điểm cĩ hồnh độ x = - 2 là: 
9( 2) 0 9 18y x y x      . 
 Vậy cĩ hai tiếp tuyến củả (C) vuơng gĩc với đường thẳng 1
9
y x là: 
 y =9x - 14 và y = 9x + 18. 
Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 4 21 2
4
y x x  , biết tiếp 
tuyến vuơng gĩc với đường thẳng (d): 5 2010 0x y   . 
Giải: 
 (d) cĩ phương trình: 1 402
5
y x   nên (d) cĩ hệ số gĩc là - 1
5
. 
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm cĩ hệ số gĩc k thì 1 . 1 5 ( ( ))
5
k k do d       . 
Ta cĩ: 3' 4y x x  nên hồnh độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: 3 4 5x x  
3 2 94 5 0 ( 1)( 5) 0 1 0 1
4
x x x x x x x y                
Vậy tiếp điểm M cĩ tọa độ là 91;
4
M   
 
Tiếp tuyến cĩ phương trình: 9 115( 1) 5
4 4
y x y x      
Vậy tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình: 115
4
y x  . 
Ví dụ 13: Cho hàm số 2
2 3
xy
x



 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến 
cắt trục hồnh tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuơng cân tại O, ở đây O là gĩc tọa 
độ. 
Giải 
Ta cĩ: ' 2
1
(2 3)
y
x



Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuơng cân nên hệ số gĩc của tiếp tuyến là: 
1k   
Khi đĩ gọi  0 0;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta cĩ ' 0( ) 1y x   
Đề cương toán THPT 2016 
7 | P a g e 
0
2
00
21 1
1(2 3)
x
xx
 
       
Với 0 1x   thì 0 1y  lúc đĩ tiếp tuyến cĩ dạng y x  (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi 
qua gĩc tọa độ, nên khơng tạo thành tam giác OAB) 
Với 0 2x   thì 0 4y   lúc đĩ tiếp tuyến cĩ dạng 2y x   
Vậy tiếp tuyến cần tìm là 2y x   
Ví dụ 14: Cho hàm số y = 2 1
1
x
x


 cĩ đồ thị (C). 
 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại 
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. 
Giải 
 Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại 0 0( ; ) ( )M x y C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho 4OOA B . 
Do OAB vuơng tại O nên 1tan
4
OBA
OA
   Hệ số gĩc của d bằng 1
4
 hoặc 1
4
 . 
Hệ số gĩc của d là 0 2 2
0 0
1 1 1( ) 0
( 1) ( 1) 4
y x
x x
       
 
  
0 0
0 0
31 ( )
2
53 ( )
2
x y
x y
   

  

Khi đĩ cĩ 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 
1 3 1 5( 1)
4 2 4 4
1 5 1 13( 3)
4 2 4 4
y x y x
y x y x
        
 
       
  
. 
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm 
 Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm 
( ; )A   . 
Cách giải 
 + Tiếp tuyến cĩ phương trình dạng: 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x   , (với x0 là hồnh độ tiếp 
điểm). 
 + Tiếp tuyến qua ( ; )A   nên 0 0 0( ) '( )( ) (*)f x f x x    
 + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. 
Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): 3 3 1y x x   , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp 
tuyến đi qua điểm A(-2; -1). 
Giải: 
 Ta cĩ: 2' 3 3y x  
Gọi M  30 0 0; 3 1x x x  là tiếp điểm. Hệ số gĩc của tiếp tuyến là 20 0'( ) 3 3y x x  . 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  :  3 20 0 0 03 1 (3 3)( )y x x x x x      
Đề cương toán THPT 2016 
8 | P a g e 
 qua A(-2;-1) nên ta cĩ:  3 20 0 0 01 3 1 (3 3)( 2 )x x x x        3 20 03 4 0x x    
0 02
0 0 0
0 0
1 1
( 1)( 4 4) 0
2 1
x y
x x x
x y
   
           
Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình là: : 1 ; : 9 17y y x      
1.4. Dạng 4. Một số bài tốn tiếp tuyến nâng cao. 
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 3 3 2y x x   sao cho tiếp 
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . 
Giải: 
Gọi 3 3( ; 3 2) , ( ; 3 2) ,A a a a B b b b a b     là hai điểm phân biệt trên (C). 
Ta cĩ: 2' 3 3y x  nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B cĩ hệ số gĩc lần lượt là: 
 2 2'( ) 3 3 à '( ) 3 3y a a v y b b    . 
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi: 
2 2'( ) '( ) 3 3 3 3 ( )( ) 0 ( ì 0)y a y b a b a b a b a b v a b a b                
22 2 3 34 2 32 ( ) ( 3 2) ( 3 2) 32AB AB a b a a b b              
2 22 3 3 2 2 2( ) ( ) 3( ) 32 ( ) ( )( ) 3( ) 32a b a b a b a b a b a ab b a b                     
22 2 2 2( ) ( ) ( ) 3 32a b a b a ab b          , thay a = -b ta được: 
   2 22 2 2 2 2 2 6 4 24 4 3 32 3 8 0 6 10 8 0b b b b b b b b b             
2 4 2 2 2 2( 4)( 2 2) 0 4 0
2 2
b a
b b b b
b a
   
             
- Với 2 à 2a v b    ( 2;0) , (2;4)A B 
- Với 2 à 2a v b    (2;4) , ( 2;0)A B  
Tĩm lại cặp điểm A, B cần tìm cĩ tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4)v 
Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 2 1
1
xy
x



 sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 . 
Giải: 
Hàm số được viết lại: 32
1
y
x
 

Gọi 3 3;2 , ;2
1 1
A a B b
a b
           
 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài tốn. 
Với điều kiện: , 1, 1a b a b     . 
Đề cương toán THPT 2016 
9 | P a g e 
Ta cĩ: 2
3'
( 1)
y
x


 nên hệ số gĩc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là: 
2 2
3 3'( ) à '( )
( 1) ( 1)
y a v y b
a b
 
 
Tiếp tuyến tại A và B song song khi: 2 2
3 3'( ) '( )
( 1) ( 1)
y a y b
a b
  
 
1 1
2
1 1 2
a b a b
a b
a b a b
    
             
 (1) (do a b ) 
2
2 2 3 32 10 40 ( ) 40
1 1
AB AB a b
b a
           
2 2
2 23 3 6( 2 2) 40 4( 1) 40
1 1 1
b b
b b b
                     
 ( do thay a ở (1) ) 
2
4 2
2
( 1) 1 1 1 1 1
( 1) 10( 1) 9 0
1 3 1 3( 1) 9
b b b
b b
b bb
        
                
0 2
2 0
2 4
4 2
b a
b a
b a
b a
   
    
    

   
Cặp điểm A và B cần tìm cĩ tọa độ là: ( 2;5) à (0; 1) ; (2;1) à ( 4;3)v v   
Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 cĩ đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt 
đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E 
vuơng gĩc với nhau. 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là: 
 x3 + 3x2 + mx + 1 = 1  x(x2 + 3x + m) = 0  2
0
3 0 (2)
x
x x m


  
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt: 
 Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm xD, xE  0. 
 2
09 4 0
40 3 0 0
9
mm
mm
     
    
Lúc đĩ tiếp tuyến tại D, E cĩ hệ số gĩc lần lượt là: 
 kD = y’(xD) = 23 6 ( 2 );D D Dx x m x m     
 kE = y’(xE) = 23 6 ( 2 ).E E Ex x m x m     
Các tiếp tuyến tại D, E vuơng gĩc khi và chỉ khi: kDkE = –1. 
Đề cương toán THPT 2016 
10 | P a g e 
 (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 
 9m + 6m  (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t). 
 4m2 – 9m + 1 = 0  m =  1 9 658  
ĐS: m =    1 19 65 9 658 8hay m   
Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 2 2
1
xy
x



, biết rằng 
khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
Giải: 
 Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  2 2; , ( )
1
aa M C
a
    
. 
Ta cĩ:  2 2
4 4' '( ) , 1
( 1) ( 1)
y y a a
x a
    
 
Vậy 2 22
2 2 4: ( ) 4 ( 1) 2 4 2 0 (*)
1 ( 1)
ay x a x a y a a
a a

          
 
 
2 2
4 4
4( 1) ( 1) .2 2 4 2 8 1
;
4 ( 1) 4 ( 1)
a a a a
d I
a a
      
  
   
. 
Ta cĩ: 
24 2 2 2 4 24 ( 1) 2 ( 1) 2.2( 1) 4 ( 1) 2.2( 1) 2 1a a a a a a                
 
8 1
; 4
2 1
a
d I
a

   

. Vậy  ;d I  lớn nhất khi  ;d I  = 4 
2 2 1 2 12 ( 1)
1 2 3
a a
a
a a
   
          
. Cả hai giá trị đều thỏa mãn 1a  
+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 4 4 0 1 0x y x y       
+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 4 28 0 7 0x y x y       
Tĩm lại: Cĩ hai tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình là: 1 0 ; 7 0x y x y      
Ví dụ 20: Cho (C) là đồ thị hàm số 1
2 1
xy
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết 
tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB 
vuơng cân tại gốc tọa độ O. 
Giải: 
 Gọi  0 0;M x y là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các 
đường thẳng y = x hoặc y = -x. 
Ta cĩ: 2
1'
(2 1)
y
x
 

 nên tiếp tuyến với (C) tại M cĩ hệ số gĩc là: 0 2
0
1'( ) 0
(2 1)
y x
x
  

Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x 
Đề cương toán THPT 2016 
11 | P a g e 
Do đĩ, 202
0
1 1 (2 1) 1
(2 1)
x
x
     

 ; ( 0
1
2
x   khơng là nghiệm phương trình) 
0 0 0
0 0 0
2 1 1 0 1
2 1 1 1 0
x x y
x x y
     
         
. Vậy cĩ hai tiếp điểm là: 1 2(0;1) , ( 1;0)M M  . 
+ Tại điểm M1(0; 1) ta cĩ phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d 
+ Tại điểm M2(-1; ) ta cĩ phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d 
Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình là: 1; 1y x y x      
Ví dụ 21: Cho hàm số 3
1
xy
x



. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Cho điểm ( ; )o o oM x y thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) 
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
Giải 
a) Tự làm 
b) ( ; )o o oM x y  (C)  0
0
41
1
y
x
 

. 
Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: 0 02
0
4 ( )
( 1)
y y x x
x
   

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: 0 0(2 1;1), (1;2 1)A x B y  . 
  0 0;2 2
A B A Bx x y yx y    M0 là trung điểm AB. 
Ví dụ 22: Cho hàm số: 2
1
xy
x



 (C) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một 
tam giác cĩ diện tích khơng đổi. 
Giải 
a) Tự làm 
b) Giả sử M 2;
1
aa
a
 
  
  (C). 
PTTT (d) của (C) tại M: 2( ).( )
1
ay y a x a
a
  

  
2
2 2
3 4 2
( 1) ( 1)
a ay x
a a
  
 
 
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: 51;
1
aA
a
 
 
 
, (2 1;1)B a  . 
 60;
1
IA
a
     
  6
1
IA
a


 ; (2 2;0)IB a

   2 1IB a  
Đề cương toán THPT 2016 
12 | P a g e 
Diện tích IAB : S IAB = 
1 .
2
IA IB = 6 (đvdt)