Toán học - Chủ đề 8: Dạng lượng giác số phức

Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2 
CHỦ ĐỀ 8. DẠNG LƯỢNG GIÁC SỐ PHỨC 
Bài toán 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác 
Phương pháp 
1. Để viết số phức z a bi,(a,b )   dưới dạng lượng giác z r(cos isin )   
Trước hết ta biến đổi: 2 2
2 2 2 2
a b
z a b ( i)
a b a b
  
 
Như vậy: 2 2r a b  . Đặt 
2 2
a
cos
a b


 và 
2 2
b
sin
a b


 
Từ đó suy ra  là 1 acgumen của z . 
2. Chú ý các công thức biến đổi lượng giác: 
2*1 cos isin 2cos 2isin cos
2 2 2
2cos cos isin
2 2 2
   
 
  
 
  
 
  
* 
sin 1
1 i tan 1 i (cos isin )
cos cos
    

  
  
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a) 5; b) -3 b)7i; d) 2i . 
Giải 
a)    5 5 1 0i 5 cos0 isin0 .    
b)    3 3 1 0i 3 cos +sin i .       
c)  7i 7 0 i 7 cos isin .
2 2
  
    
 
d)  2i 2 0 i 2 cos isin
2 2
     
          
    
Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a) 1 i 3; b) 3 i 3; c) 
1 3
i;
3 3
 d) 
7 3
7i.
3
 
Giải 
a) 
1 3
1 i 3 2 i 2 cos isin .
2 2 3 3
       
                   
b)  
1 i
3 i 3 3 1 i 6 6 cos isin .
4 42 2
       
              
      
c) 
1 3 2 1 3 2
i i cos isin .
3 3 3 2 2 3 3 3
    
           
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3 
d)  7 3 7 3 14 3 1 3 14 37i 1 i 3 i cos isin .
3 3 3 2 2 3 3 3
       
                     
Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a)   1 3i 1 2i ;  b)    1 i 1 3 2 i ;      
c)    2 2i . 2 3 2 4 i ;      
Giải 
a)     21 3i 1 2i 1 6i 3i 2i 5 5i 5 1 i            
1 1 3 3
5 2 i 5 2 cos isin .
4 42 2
    
       
  
b)        1 i 1 3 2 i 1 3 2 3 2 1 i            
     
    
 
3 3 3 1 i 3 3 1 3 1 i
3 1
3 1 3 i 2 3 1 i
2 2
2 3 2 cos isin .
6 6
       
 
      
 
 
  
   
 
c)        2 2i . 2 3 2 4 i 2 6 2 8 6 4 2 2 2 i            
      
 
 
6 2 6 6 6 2 i 6 2 6 1 i
1 1
2 6 2 6 i
2 2
12 6 2 cos isin .
4 4
      
 
   
 
     
        
    
Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a) 
1
2 2i
; b) 
3 i
;
1 2i


 c) 
1 i 3
.
1 i


Giải 
a) Ta có: 
 
1 1 2 2
cos isin
2 2i 4 4 42 1 i
4 cos isin
4 4
     
         
          
 
b) 
  
    
2
3 i 1 2i3 i 3 2 6i i 5 5i
1 i
1 2i 1 41 2i 1 2i 1 2i
     
    
   
1 1
2 i 2 cos isin .
4 42 2
    
      
  
c) 
1 i 3 2 7 7
cos isin 2 cos isin
1 i 3 4 3 4 12 122
                  
                 
           
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4 
Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a) 
i
1
3
 b)  1 3 1 3 i.   
Giải 
a) Ta có: 
sin
i 1 261 1 i tan 1 i cos isin cos isin .
6 6 6 6 63 3cos cos
6 6

       
                
b)  
sin sin
3 31 3 1 3 i 1 tan 1 tan i 1 1 i
3 3
cos cos
3 3
  
   
                 
 
 
1 1
cos sin cos isin i
3 3 3 3
cos cos
3 3
1 1
cos sin sin cos i
3 3 3 3
cos cos
3 3
      
          
      
          
1 1
2 cos 2 sin .i
3 4 3 4
cos cos
3 3
2 2 cos isin 2 2 cos isin .
12 12 12 12
      
          
         
           
      
Cách khác: 
   
 
   
 
1 3
1 3 1 3 i 1 3 1 i
1 3
tan tan
4 31 3 1 i
1 tan .tan
4 3
1 3 1 i tan 1 3 1 i tan .
4 3 12
sin
12 1 3
1 3 1 i cos isin
12
coscos
1212
 
      
  
  
 
   
   
 
        
             
      
  
  
                  
  
.
12
  
  
  
Mà 
1 3 1 3
cos cos cos .cos sin .sin .
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2
        
       
 
Do đó: 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5 
  1 31 3 1 3 .i cos isin
12 12
cos
12
2 2 cos isin .
12 12
      
               
     
       
    
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 6 
II. Bài tập tự luyện 
Bài tập 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a)   2 i 3 i  b) 
2 2 i 2
6 2i


c)   1 i 1 ( 3 2)i   d)   33 2i 3 i
3
 
  
 
 
Giải 
a) Ta có:   
2 2
2 i 3 i 5 5i 5 2 i 5 2 cos isin .
2 2 4 4
    
              
b) Ta có: 
2 2 i 2 2 2 1 2 2 1
i i cos isin
6 2i 4 4 2 2 2 2 4 4
     
            
c) Ta có: 
       
   
1 i 1 ( 3 2)i 3 3 1 3 i 1 3 3 i
3 1
2 2 3 i 2 2 3 cos isin .
2 2 3 3
         
    
            
d) Ta có 
  3 7 3 33 2i 3 i 7i 7 i
3 3 3
14 3 1 3 14 3
i. cos isin .
3 2 2 3 3 3
   
        
   
   
       
                  
Bài tập 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a) 2 1 i  ; b) 2 3 i  ; 
c)  1 2 1 i;  d)  1 2 3 i.  
Giải 
a) Ta có: 
1 1
2 1 i 2 1 i 2 1 cos isin
4 42 2
    
          
  
22 2cos 2isin .cos 2 2 cos cos isin .
8 8 8 8 8 8
        
      
   
b) Ta có: 
3 i 5 5
2 3 i 2 1 2 1 cos isin
2 2 6 6
    
          
   
2 5 5 5 5 5 52 2cos isin .cos 4cos cos isin .
12 12 12 12 12 12
        
      
   
c)       1 2 1 i 2 1 2 1 2 1 i       
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7 
    
 
 
 
2
1 i
2 1 2 1 i 2 2 1 1
2 2
3 3
2 2 1 1 cos isin
4 4
3 3 3
2 2 1 2cos 2isin .cos
8 8 8
3 3 3
2 2 2 1 .cos . cos isin .
8 8 8
 
        
 
  
    
 
   
   
 
   
   
 
d)       1 2 3 i 2 3 2 3 2 3 i       
    
 
 
 
2
3 i
2 3 2 3 i 2 2 3 1
2 2
2 2 3 1 cos isin
6 6
2 2 3 2cos 2issin .cos
12 12 12
4 2 3 cos . cos isin .
12 12 12
 
        
 
 
  
    
 
   
   
 
   
   
 
Bài tập 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 
a) z cos isin ; b)z 5 cos isin .
9 9 6 6
      
        
   
Hướng dẫn giải 
a) Ta có: 
z cos isin cos isin cos isin
9 9 9 9 9 9
cos isin .
10 10
          
                
     
 
 
b) Ta có: 
5 5
z 5 cos isin 5 cos isin 5 cos isin
6 6 6 6 6 6
             
                
        
Bài tập 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
 a) cos isin ; b) cos isin ; c) cos isin .        
Hướng dẫn giải 
a) Ta có: 
     cos isin cos isin cos isin            
b) Ta có:    cos isin cos isin     
c) Ta có:    cos isin cos isin .      
Bài tập 5. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 8 
 
   
1 cos isin
a) ; b) 1 cos isin 1 cos isin .
1 cos isin
  
         
Hướng dẫn giải 
a) Ta có: 
 
2
2
2sin 2isin cos1 cos isin 1 cos isin 2 2 2
1 cos isin 1 cos isin
2cos 2isin cos
2 2 2
sin icos
2 2tan . i tan
2 2
cos isin
2 2
  
     
 
       

 

 
  
 

 Khi tan 0
2

 thì dạng lượng giác là tan cos isin
2 2 2
      
      
    
 Khi tan 0
2

 thì dạng lượng giác là tan cos isin
2 2 2
      
     
    
 Khi tan 0
2

 thì không có dạng lượng giác. 
b) Ta có 
   1 cos isin 1 cos isin
2sin sin icos .2cos cos isin
2 2 2 2 2 2
2sin cos isin
2 2 2
       
        
     
   
      
       
    
 Khi sin 0
2

 thì dạng lượng giác là 2sin cos isin
2 2 2
      
      
    
 Khi sin 0
2

 thì dạng lượng giác là 2sin cos isin
2 2 2
      
       
    
 Khi sin 0
2

 thì không có dạng lượng giác. 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9 
Bài toán 2: Áp dụng công thức Moivre để thực hiện các phép tính 
Phương pháp 
* n(cos isin ) cosn isinn      
* , , , ,(cos isin )(cos isin ) cos( ) isin( )            
* , ,
, ,
cos isin
cos( ) isin( )
cos isin

   

 
   
 
* 21 cos isin 2cos 2isin cos
2 2 2
   
  
  
 2cos cos isin
2 2 2
 
  
 
  
* 
sin 1
1 i tan 1 i (cos isin )
cos cos
    

  
  
I. Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng  a bi, a,b  
2 2 3 3
a)A cos isin cos isin . 
7 7 14 14
     
    
  
b) 
7 cos isin
4 4
B
5 cos isin
12 12
  
 
 
  
 
 
 ; 
3
4
cos isin
5 5
c) C
cos isin
15 15
  
 
 
  
 
 
Giải 
a) Ta có: 
2 2 3 3
A cos isin . cos isin
7 7 14 14
      
     
   
2 3 2 3
cos isin cos isin i.
7 14 7 14 2 2
        
         
   
b) Ta có 
7 cos isin
4 4 7
B cos isin
4 12 4 1255 cos isin
12 12
7 105 35
cos isin i.
6 6 10 105
  
                  
        
 
  
    
 
c) Ta có 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 
3
4
3 3
cos isin cos isin
5 5 5 5
C
4 4
cos isincos isin 15 1515 15
3 4 3 4 1 3
cos isin i.
5 15 5 15 2 2
      
    
    
          
       
         
    
Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để 
n
3 i
1 i
 
 
  
 là số thực. 
(Trích đề thi thử số 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế) 
Giải 
Ta có: 3 i 2 cos isin ; 1 i 2 cos isin
6 6 4 4
         
             
      
3 i 5 5
2 cos isin
1 i 12 12
   
   
  
Do đó 
n n
23 i 5n 5n2 cos isin
1 i 12 12
     
        
Số đó là số thực khi và chỉ khi  
5n 5n 5n
sin 0 k k k
12 12 12
 
      
Số nguyên dương bé nhất cần tìm là n 12 . 
Ví dụ 3. Tính giá trị các biểu thức sau: 
9 9
1 i 1 i
a) A
2 2
    
    
   
 ; b) 
7 7
1 i 3 1 i 3
B
2 2
    
    
   
   
c)        
6 65 5
C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3 ;      d) 
 
 
 
 
5 5
4 4
1 i 3 1 i 3
D
1 i 1 i
 
 
 
Giải 
a) Ta có 
99 9 9
1 i 1 i
A cos isin cos isin
4 4 4 42 2
9 9 9 9
cos isin cos isin
4 4 4 4
9 9 9 9
cos isin cos isin cos cos 2
4 4 4 4 4 4
               
                 
          
      
        
   
        
         
   
b) Ta có 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 
7 7 77
1 i 3 1 i 3
B cos isin cos isin
2 2 3 3 3 3
7 7 7 7
cos isin cos isin
3 3 3 3
7 7 7 7
cos isin cos isin 2isin i 3
3 3 3 3 3
               
                              
      
        
   
    
     
c) Ta có 
       
 
 
6 65 5
6 65 5
56
5
6
5
5
6
C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3
1 i 3 1 i 1 i 1 i 3
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
2 2 cos isin cos isin
3 3 4 4
2 2 cos isin cos
4 4 3
     
            
                                   
         
          
      
     
    
  
6
i sin
3
  
    
   
8
8
6 6 5 5
2 2 cos isin cos isin
3 3 4 4
5 5 6 6
2 2 cos isin cos isin
4 4 3 3
         
          
      
         
          
      
8 95 5 5 5 52 2 cos isin cos isin 2 2 cos 512
4 4 4 4 4
     
       
 
d) Ta có 
 
 
 
 
5 5
5 55 5
4 4 4 4
4 4
55
55
5 4
22
1 3 1 3
2 i 2 i
1 i 3 1 i 3 2 2 2 2
D
1 i 1 i 1 i 1 i
2 2
2 2 2 2
2 cos isin2 cos isin
3 33 3
2 cos isin2 cos isin
4 44 4
   
    
    
      
    
    
   
       
        
       
        
        
     
5 55 5 cos isincos isin 3 33 38 8
cos isin5 5
cos isin
4 4
1 i 3 1 i 3
8 8
2 2 2 2
8
1 1
            
    
      
     
   
   
    
   
      
 
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12 
a) 
4 4
5 5 5 5
A 1 cos isin 1 cos isin ;
3 3 3 3
      
        
   
b) 
4
4
1 cos isin
6 6
B
1 cos isin
6 6
  
  
 
  
  
 
 ; c) 
2
2
8 8
1 cos isin
3 3
C
8 8
1 cos isin
3 3
  
  
 
  
  
 
. 
Giải 
a) Ta có 
4 4
4 4
2 2
4 4
5 5 5 5
A 1 cos isin 1 cos isin
3 3 3 3
5 5 5 5 5 5
2cos 2isin cos 2cos 2isin cos
6 6 6 6 6 6
5 5 5 5 5 5
2cos cos isin 2cos cos isin
6 6 6 6 6 6
5 5
2cos cos isin
6 6
      
        
   
        
      
   
           
         
      
 
 
44
5 5 5 5
2cos cos isin
6 6 6 6
            
           
          
4 4
2 3 20 20 2 3 20 20
cos isin cos isin
2 6 6 2 6 6
20 20
9 2cos 18cos 9.
6 6
             
                             
  
    
 
b) Ta có 
4 4
4 4
1 cos isin 1 cos isin
6 6 6 6
B
1 cos isin 1 cos isin
6 6 6 6
4 4 2 2
1 cos isin 1 cos isin
6 6 3 3
4 4 2 2
1 cos isin 1 cos isin
6 6 3 3
1 co
      
      
    
         
           
      
   
   
 
          
              
       


2 2 2cos cos isins isin
3 3 33 3
2 2
1 cos isin 2cos cos isin
3 3 3 3 3
1 i 3
cos isin
3 3 3 3 2 2
       
 
                
    
      
         
   
c) Ta có 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 13 
2 2
2 2
2
2
8 8 2 2
1 cos isin 1 cos isin
3 3 3 3
C
8 8 2 2
1 cos isin 1 cos isin
3 3 3 3
2 2 4 4
1 cos isin 1 cos isin
3 3 3 3
42 2 1 cos1 cos isin 33 3
      
      
    
      
      
   
             
               
           
      
 
4
isin
3
 
 
 
2 2
2 2
2 2 2 2 2 22sin 2isin cos 2sin 2isin cos
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2sin 2isin cos 2sin 2isin cos
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 22sin sin icos sin icos
3 3 3 3 3
2 22 2 2
sin icos2sin sin icos
3 33 3 3
                   
      
     
 
       
   
    
 
 
cos isin
6 6
cos isin
6 6
cos isin
6 6 1 i 3
cos isin .
6 6 6 6 2 2
cos isin
6 6
    
     
   
    
     
   
    
     
                    
           
   
Ví dụ 5. a) Chứng minh số phức 
24
1 i
z
3 3i
 
  
 
 là số thực. 
(Trích Trường THPT Kon Tum, lần 3 – 2012) 
b) Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn 
n
3 i 3
A
3 3i
 
  
  
 là số thực. 
(Trích Trường THPT Quế Võ số 1, lần 4 – 2013) 
Giải 
a) Ta có: 
 
   
 
24
24
24
24
24
12 12
2 cos isin
4 41 i
z
3 3i
2 cos isin
6 6
cos 6 isin 6 1 1
40962 cos4 isin 4 2
     
      
        
    
 
 
        
  
b) Ta có
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 14 
n n
3 i n n
A cos isin cos isin
2 6 6 6 6
n
A sin 0 n 6k, k , k 1
6
       
           

      
Ví dụ 6. Giả sử z là số phức thỏa mãn 2z 2z 4 0   . Tìm số phức 
7
1 3 z
w
2 z
  
  
  
(Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012) 
Giải 
Từ giả thiết 2z 2z 4 0   ta có  
2
z 1 3 z 1 3i      
Với z 1 3i  ta có: 
 
 
7
7 7
7 7
cos isin
1 i 4 43 3i 1
w .
3 3i 8 23 i cos isin
6 6
  
        
        
 
7 7
cos isin
1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i
7 7 8 32 328 2 3 icos isin
6 6
   

  
     
  
Với z 1 3i  ta có: 
 
 
7
7
7 7
cos isin
1 i 4 41
w .
8 23 i cos isin
6 6
  
    
    
 
7 7
cos isin
1 1 1 i 3 1 3 14 4. . i
7 7 8 32 328 2 3 icos isin
6 6
 

  
    
     
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn 
  z 1 2 i 3 i
2z 2i
  


. Tìm phần thực và phần ảo của 9z . 
(Trích Trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An lần 2 – 2013) 
Giải 
Đặt  z x yi, x,y z x yi      
  
       
z 1 2 i 3 i
4 2i z 3 i z 2 4i x y 7y 3x i 2 4i
2z 2i
x y 2
x y 1 z 1 i
7y 3x 4
  
            

  
      
 
Do đó  
9
9 9 9z 2 cos isin 16 16i
4 4
  
    
 
Phần thực của z là 16, phần ảo của z là 16. 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 15 
Ví dụ 8. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm của phương trình 
2 5z 2cos z 1 0
21
 
   
 
. Tìm số n nguyên 
dương nhỏ nhất sao cho n n1 2z z 1  . 
(Trích Trường THPT Nguyễn Văn Cừ, Bắc Ninh lần 3 – 2013) 
Giải 
Phương trình 2
5
z 2cos z 1 0
21
 
   
 
 (1). (1) có 2 2
5 5
' cos 1 sin
21 21
 
     
Do đó các căn bậc hai của ' là 
5
isin
21

 . 
Vậy (1) có các nghiệm là 1 2
5 5 5 5
z cos isin , z cos isin
21 21 21 21
   
   
 Ví dụ 9. Cho 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình 
2z 2z 4 0   . Tìm phần thực, phần ảo 
của số phức: 
2013
1
2
z
w
z
 
   
 
, biết 1z có phần ảo dương. 
(Trích Trường THPT Can Lộc, Hà Tĩnh lần 2 – 2014) 
Giải 
Vì 3   nên phương trình có hai nghiệm phức: 1 2z 1 3i, z 1 3i    (do 1z