Toán học - Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM
Biên soạn: Th.s Lê Thị Hương
Trong nội dụng của tài liệu này ta ký hiệu C là hằng số.
Câu 1: Từ đẳng thức
∫
f(x)dx = F (x) + C thì biểu thức f(x)dx được gọi là
A. Nguyên hàm F (x) của f(x)
B. Đạo hàm của nguyên hàm F (x) của f(x)
C. Vi phân của nguyên hàm F (x) của f(x)
D. Tất cả các đáp án đều sai.
Câu 2: Chọn đáp án sai.
A. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F ′(x) = f(x)
với mọi x ∈ K.
B. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F (x) + C cũng là một
nguyên hàm của f(x) trên K.
C. Mỗi hàm số xác định trên K đều có nguyên hàm.
D. F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên
K đều có dạng F (x) + C.
Câu 3. Chọn phát biểu đúng.
A.
∫
f ′′(x)dx = f(x) + C B.
∫
2f(x)dx = 2
∫
f(x)dx
C.
∫
f 2(x)dx = 2
∫
f(x)dx D.
∫
f ′(x)dx = f ′(x) + C
Câu 4. Chọn phát biểu sai.
A.
∫
[f(x) + g(x)]dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
B.
∫
[f(x)− g(x)]dx = ∫ f(x)dx− ∫ g(x)dx
1
C.
∫
[f(x).g(x)]dx =
∫
f(x)dx.
∫
g(x)dx
D.
∫
k.f ′(x)dx = k.f(x) + C, k 6= 0
Câu 5. Chọn phát biểu sai.
A.
∫
exdx = ex + C B.
∫
axdx = a
x
ln a + C, a > 0, a 6= 1
C.
∫
1
xdx = lnx+ C, x > 0 D.
∫
sinxdx = cosx+ C
Bài toán 1. Nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng công thức nguyên hàm.
Câu 6. Tìm nguyên hàm các hàm số sau.
a, y = 1− x; y = sinx+ 2x
b, y = 25 +
1
3x
2; y = 3 sin x+ 4 cosx
c, y = 12
√
x− 1x2 ; y = (x+ 2).(x+ 3)
d, y = 52
3
√
x2 + 8x; y = (x2 − 3x).(x+ 1)
e, y = x3 − 4x2 + 3x ; y = 2
x−1
ex
f, y = 3x + ex; y = 1
2
√
x
+ 13√x +
1
5
√
x
Câu 7. Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau.
a,
∫
2x5+1
x2 dx
A.12x
4 − 1x + C B. x4 − 1x + C C. 2x4 + 1x + C D. 12x4 + 1x + C
b,
∫ (x2+1)2
x2 dx
A. 3x3 + 2x2 − 1x + C B.13x3 − 2x2 + 1x + C
C. 13x
3 + 2x− 1x + C D. 13x3 − 2x+ 1x + C
c,
∫ √x−x3ex+x2
x3 dx
A. −3
2
√
x2
− ex + C B. −3
2
3
√
x2
− ex − 1x + C
C. −3
2
3
√
x2
− ex + ln |x|+ C D. −3
2
√
x2
− ex + ln |x|+ C
d,
∫
ax.exdx
A. a
x.ex
ln a + C B.
ax.ex
ln a+1 + C C.
ax.ex
ln a−1 + C D. đáp án khác
2
e,
∫
tan2 xdx
A. tanx+cosx+C B. tanx− cosx+C C. tanx+ x+C D. tanx− x+C
f,
∫
cot2 xdx
A. cotx+sinx+C B. − cotx+sinx+C C. − cotx−x+C D. cotx−x+C
g,
∫
1
sin2 x. cos2 x
dx
A. tanx. cotx+ C B. tanx+ cotx+ C
C. − tanx. cotx+ C D. tanx− cotx+ C
h,
∫
cos 2x
sin2 x. cos2 x
dx
A. tanx+ 2 cotx+ C B. tanx− 2 cotx+ C
C. − tanx− cotx+ C D. tanx− cotx+ C
i,
∫
1+cos2 x
1+cos 2xdx
A. 12 tanx+x+C B.
1
2 tanx−x+C C. 12 tanx+ 12x+C D. 12 tanx− 12x+C
k,
∫
2 sin2 x2dx
A. 2 cos x2 + x+C B. 2 cosx+ x+C C. − sinx+ x+C D. − sin x2 + x2 +C
l.
∫
mx2dm
A. 13mx
3 + C B. 12(mx)
2 + C C. 12mx
2 + C D. 13(mx)
3 + C
Câu 8. Cho f ′(x) = 2x+ 1 và f(1) = 5. Khi đó f(x) là
A. 2x2 + x+ 2 B. 2x2 + 2x+ 1 C. x2 + x+ 3 D. x2 − x+ 5
Câu 9. Cho f ′(x) = x− 1x2 + 2 và f(1) = 2. Khi đó f(x) là
A. x
2
2 − 1x + 2x+ 12 B. 2x2 + 1x + 2x− 3
C. 2x2 − 1x + 2x− 1 D. x
2
2 +
1
x + 2x− 32
Câu 10. Cho
∫
(x3− 4x+ 3x)dx = F (x) +C = G(x). Biết G(1) = 1. Khi đó C là
A. 14 B.
1
2 C.
3
4 D. 1
Câu 11. Cho
∫
e3x+1
3x+1 dx = F (x) + C = G(x). Biết G(0) =
3
2 . Khi đó C là
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 12. Cho f ′(x) = ax + bx2 ; f(−1) = 2; f(1) = 4; f(2) = 5. Khi đó a, b lần
lượt là
A. 45 ,
−2
5 B.
6
7 ,
−4
7 C. 1,−1 D. 53 ,−1
Câu 13. Cho y = x
√
3− 2x. Tìm a, b, c để F (x) = (ax2 + bx + c).√3− 2x là
một nguyên hàm của y, giá trị của a, b, c lần lượt là
A. 25 ,
3
5 ,
9
5 B.
2
5 ,
−3
5 ,
9
5 C.
−2
5 ,
3
5 ,
−9
5 D.
2
5 ,
−3
5 ,
−9
5
Câu 14. Cho y =
√
2x− 1. Tìm a, b để F (x) = (ax+ b)√2x− 1 là một nguyên
hàm của y, giá trị a, b lần lượt là
A. −23 ,
1
3 B.
−2
3 ,
−1
3 C.
2
3 ,
−1
3 D.
2
3 ,
1
3
Câu 15. Cho y′ = 3
√
x+ x3 + 1 và y(1) = 2. Khi đó y là
A. 43
3
√
x4 + x
4
4 + x B.
3
4
4
√
x3 + x
4
4 + x
C. 34
3
√
x4 + x
4
4 + x A.
4
3
4
√
x3 + x
4
4 + x
Bài toán 2. Nguyên hàm bằng các phương pháp.
Câu 16. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a, y = (3x+ 2)10; y = 2x2x2−3x−2 ; y = x sin
2 x
b, y = 3(2x−5)3 ; y =
x
x4−2x2−1 ; y =
x
sin2 x
c, y = 1x2−4x+5 ; y = x
5(1− x3)6; y = 2x.x
d, y = 1x2−2x+5 ; y =
5x
(x2+4)2 ; y = e
x sinx
e, y = 1x2−4 ; y =
1√
4x+6
; y = sinx ln(tanx)
f, y =
√
3x+ 5; y = x lnx; y = sin3 x
Câu 17. Chọn đáp án đúng.
a,
∫
[x(5− x4)]3dx
A. − 116(5−x4)4+C B. 116(5−x4)4+C C. −14(5−x4)4+C D. 14(5−x4)4+C
b,
∫
sinx−cosx
sinx+cosxdx
4
A. ln | sinx+ cosx|+ C B. − ln | sinx+ cosx|+ C
C. − ln | sinx− cosx|+ C D. ln | cosx− sinx|+ C
c,
∫
e2x
e2x+1dx
A. 12 ln |e2x + 1|+ C B. 12 ln(e2x + 1) + C
C. −12 ln |e2x + 1|+ C D. −12 ln(e2x + 1) + C
d,
∫
1
cos2 x
√
1+tanx
dx
A. 2
√
1 + tan x+ C B.
√
1 + tan x+ C C. 1√
1+tanx
+ C D. 2√
1+tanx
+ C
e,
∫
(tanx+ tan3 x)dx
A. 12 tan
2 x+ C B. −12 tan2 x+ C C. tan2 x+ C D. − tan2 x+ C
f,
∫
e
√
x√
x
dx
A. 2e
√
x + C B. e
√
x + C C.
√
xe
√
x + C D. xe
√
x + C
g,
∫
1√
4−9x2dx
A. arcsin 23x+C B.
1
3 arcsin
2
3x+C C. − arcsin 23x+C D. 113 arcsin 23x+C
h,
∫
1
2x2+9dx
A.
√
2
6 arctan(
√
2
3 x) + C B.
√
2
3 arctan(
√
2
3 x) + C
C. 3√
2
arctan( 3√
2
x) + C D. 6√
2
arctan( 6√
2
x) + C
i,
∫
x√
1−x4dx
A. arcsinx2+C B. 12 arcsinx
2+C C. −2 arcsinx2+C D. −12 arcsinx2+C
k,
∫
1√
4x−3−x2dx
A. arcsinx+C B. 12 arcsin(x−2)+C C. arcsin(x−2)+C D. 12 arcsinx+C
l,
∫
x2−1
x2+1dx
A. −2 arctanx+ C B. x− 2 arctanx+ C
C. 2− x arctanx+ C D. x+ 2arctanx+ C
m,
∫
x4
x2+1dx
A. x3 − x+ arctanx+ C B. 13x3 + x+ arctanx+ C
5
C. x3 + x+ arctanx+ C D. 13x
3 − x+ arctanx+ C
n,
∫
(x+ 1)
√
x2 + 2x+ 5dx
A.
√
(x2 + 2x+ 5)3 + C B. 13
√
(x2 + 2x+ 5)3 + C
C. 3
√
x2 + 2x+ 5 + C D. 13
3
√
x2 + 2x+ 5 + C
o,
∫
lnx
x3 dx
A. 12x
2 lnx− 14x2 + C B. − 12x2 lnx− 14x2 + C
C. 12x
2 lnx+ 14x
2 + C D. 12x2 lnx− 14x2 + C
p,
∫ √
x lnxdx
A. −23x
√
x lnx− 49x
√
x+ C B. 23x
√
x lnx+ 49x
√
x+ C
C. 23x
√
x lnx− 49x
√
x+ C D. −23x
√
x lnx+ 49x
√
x+ C
q,
∫
sinx ln(1 + cos x)dx
A. (1 + cos x) ln(1 + cosx) + C B. (1 + cos x)[1 + ln(1 + cosx)] + C
C. (1 + cos x)[1− ln(1 + cosx)] + C D. (1 + cos x)[x+ ln(1 + cosx)] + C
r,
∫
ln2 xdx
A. ln2 x− 2(lnx− x) + C B. ln2 x− 2(x lnx− x) + C
C. x ln2 x− 2(x lnx− x) + C D. x ln2 x− 2(lnx− x) + C
s,
∫
1
sin2 x
ln(sinx)dx
A. − cotx ln sinx− x+ C B. cotx[ln sinx+ 1] + x+ C
C. cotx[ln sinx− 1] + x+ C D. − cotx[ln sinx+ 1]− x+ C
Câu 18. Chọn đáp án đúng.
a,
∫
x
(x+1)(2x+1)dx
A. ln |x+ 1| − ln |2x+ 1|+ C B. ln |x+ 1| − 12 ln |2x+ 1|+ C
C. ln |x+ 1| − 2 ln |2x+ 1|+ C D. ln |x+ 1|+ 12 ln |2x+ 1|+ C
b,
∫
1
3x2−2x−1dx
6
A. 14 ln |3x−13x+1|+ C B. 14 ln |3(x−1)3x+1 |+ C
C. 34 ln |3x−13x+1 |+ C D. 34 ln |3(x−1)3x+1 |+ C
c,
∫
x
x2−2x+1dx
A. ln |x− 1|+ 1x−1 + C B. 12 ln |x− 1|+ 1x−1 + C
C. ln |x− 1| − 1x−1 + C D. 12 ln |x− 1| − 1x−1 + C
d,
∫
2
x(x2+1)dx
A. ln | x2x2+1|+C B. ln( x
2
x2+1) +C C. ln |1− 1x2 |+C D. ln(1+ 1x2 ) +C
e,
∫
x3
(x2+1)2dx
A. ln(x2 + 1) + 1x2+1 + C B.
1
2(ln(x
2 + 1) + 1x2+1) + C
C. ln(x2 + 1)− 1x2+1 + C D. 12(ln(x2 + 1)− 1x2+1) + C
f,
∫
cos2 2xdx
A. 12x− 14 sin 4x+ C B. 12x+ 14 sin 4x+ C
C. 12(x− 14 sin 4x) + C D. 12(x+ 14 sin 4x) + C
g,
∫
1
sinxdx
A. 12 ln |cosx−1cosx+1 |+ C B. 12 ln |cosx+1cosx−1 |+ C
C. ln |cosx−1cosx+1|+ C D. ln |cosx+1cosx−1|+ C
h,
∫
1
1+sinxdx
A. tan(x− pi4 )+C B. tan(x2− pi4 )+C C. tan(x+ pi4 )+C D. tan(x2+ pi4 )+C
i,
∫
1−cosx
1+cosxdx
A. tan x2 − x2 + C B. 2(tan x2 − x2) + C
C. 2(tan x2 +
x
2) + C D. tan
x
2 +
x
2 + C
k,
∫
cos 2x
1+sinx cosxdx
A. ln |2 + sin 2x|+ C B. ln |2− sin 2x|+ C
C. ln |2 + cos 2x|+ C D. ln |2− cos 2x|+ C
7
l,
∫
cos 2x cos 4xdx
A. 16 sin 6x+
1
4 sin 4x+ C B.
1
6 sin 6x+
1
4 sin 2x+ C
C. 112 sin 6x+
1
4 sin 2x+ C D.
1
12 sin 6x+
1
4 sin 4x+ C
m,
∫
sin3 x
cosx dx
A. cos2 x− ln | cosx|+ C B. 12 cos2 x− ln | cosx|+ C
C. cos2 x+ ln | cosx|+ C D. 12 cos2 x+ ln | cosx|+ C
n,
∫
1
cos4 xdx
A. tanx+ 13 tan
3 x+ C B. tanx− 13 tan3 x+ C
C. 2 tanx+ 13 tan
3 x+ C D. 2 tanx− 13 tan3 x+ C
o,
∫
sin3 x cos2 xdx
A. 15 cos
5 x+ 13 cos
3 x+ C B. 15 cos
5 x− 13 cos3 x+ C
C. 14 cos
4 x+ 13 cos
3 x+ C D. 14 cos
4 x− 13 cos3 x+ C
Câu 19. Chọn đáp án đúng.
a,
∫
x√
2x+1+1
dx
A. 16
√
2x+ 1− 14(2x+ 1) + C B. 16
√
(2x+ 1)3 − 14(2x+ 1) + C
C. 16
√
2x+ 1 + 14(2x+ 1) + C D.
1
6
√
(2x+ 1)3 + 14(2x+ 1) + C
b,
∫
x
√
4− xdx
A. 15
√
(4− x)5 − 43
√
(4− x)3 + C B. 15
√
(4− x)5 + 43
√
(4− x)3 + C
C. 25
√
(4− x)5 − 83
√
(4− x)3 + C D. 25
√
(4− x)5 + 83
√
(4− x)3 + C
c,
∫
x3√
x2+2
dx
A.
√
(x2 + 2)3 − 2√x2 + 2 + C B. 13
√
(x2 + 2)3 − 2√x2 + 2 + C
C.
√
(x2 + 2)3 + 2
√
x2 + 2 + C D. 13
√
(x2 + 2)3 + 2
√
x2 + 2 + C
d,
∫
1
x
√
x2−1dx
A. arctan(x2 − 1) + C B. 12 arctan(x2 − 1) + C
8
C. arctan
√
(x2 − 1) + C D. 12 arctan
√
(x2 − 1) + C
e,
∫
1√
1+ex
dx
A. ln |
√
1+ex−1√
ex+1+1
|+ C B. ln |
√
1+ex+1√
ex+1−1 |+ C
C. 12 ln |
√
1+ex−1√
ex+1+1
|+ C D. 12 ln |
√
1+ex+1√
ex+1−1 |+ C
f,
∫
e2x−1
ex dx
A. ex + 1ex + C B. 2e
x + 1ex + C
C. 2(ex + 1ex ) + C D. 2e
x − 1ex + C
g,
∫
(1 + e3x)2e3xdx
A. 13(1 + e
3x)3 + C A. 19(1 + e
3x)3 + C
A. 16(1 + e
3x)3 + C A. 127(1 + e
3x)3 + C
h,
∫
ex
ex+2dx
A. 12 ln(e
x + 2) + C B. ln(ex + 2) + C
C. 2 ln(ex + 2) + C D. Tất cả các đáp án đều sai.
i,
∫
x+1
3
√
3x+1
dx
A. 15
3
√
(3x+ 1)5 + 3
√
(3x+ 1)2 + C B. 13 [
1
5
3
√
(3x+ 1)5 + 3
√
(3x+ 1)2] + C
C. 15
3
√
(3x+ 1)5 − 3√(3x+ 1)2 + C D. 13 [15 3√(3x+ 1)5 − 3√(3x+ 1)2] + C
k,
∫ √
1+lnx
x lnx dx
A. 2
√
1 + ln x+ ln |
√
1+lnx−1√
1+lnx+1
|+ C B. 2√1 + ln x+ ln |
√
1+lnx+1√
1+lnx−1 |+ C
C. 2
√
1 + ln x− ln |
√
1+lnx−1√
1+lnx+1
|+ C D. 2√1 + ln x− ln |
√
1+lnx+1√
1+lnx−1 |+ C
Câu 20. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng N ′(t) =
4000
1+0,5t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng
là
A. gần 264334 con B. gần 264336 con C. gần 264340 con D. gần 264338 con
Câu 21. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc v′(t) = 3t+1(m/s
2).
9
Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Khi đó vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn
đến hàng đơn vị) là
A. 13m/s B. 13m/s C. 13m/s D. 13m/s
Câu 22. Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây.
Biết rằng h′(t) = 15
3
√
t+ 8 và lúc đầu bồn chứa không có nước. Khi đó mức nước
ở bồn chứa sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
là
A. 3, 66cm A. 2, 67cm A. 2, 66cm A. 3, 67cm
10