Toán học 8 - Bất đẳng thức

Bất đẳng thức 
1.Bất đẳng thức
VD1.1: CMR với moi số thực dương a,b,c. CMR: 
Giải: 
Xét bổ đề sau: a b c dương. 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên 
VD1.2 Chứng minh rằng a, b, c dương. CMR 
VD1.3: Cho các số a, b, c dương. CMR 
Xét bổ đề sau: Áp dung ta có: 
VD1.4: Cho a ,b, c là các cạnh của một tam giác.CMR: 
VD1.5: Cho a, c, b dương. CMR:
VD1.6: Cho a ,b, c, d dương. CMR: 
 Nhưng dấu bằng xảy ra khi hệ này vô nghiệm. 
VD1.7: Cho các số a, b dương a + b = 2.CMR : 
VD1.9: Cho a ,b dương. CMR 
VD1.10: Cho a ,b, c dương CMR: 
VD1.11. Cho a, b, c dương. CMR : 
VD1.12: Cho các số a ,b, c dương và a + b + c = 2. CMR 
VD1.13: Cho a, b, c dương. CMR : 
VD1.14 Cho a b c dương. CMR 
VD1.15: Cho các số dương a ,b sao cho .CMR : 
VD1.16: Cho c > 0 và a,b > c. CMR: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z là các số dương.CMR:
VD1.18 : Cho a,b,c dương. CMR 
VD1.19: Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3.CMR 
VD1.20: Cho a,b,c dương.CMR: 
Dấu bằng xảy ra khi : do hệ này vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra.
VD1.21: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng : 
VD1.22: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: 
Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử . Ta có
VD1.23.Cho a,b,c > 0. CMR 
VD1.24: Cho n số dương CMR: 
VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si: ( n sổ dương)
Với n = 1 thì bất đẳng thức tương đương với: ( đúng) 
Với n = 2 thì bất đẳng thức tương đương với: ( đúng ) 
Với n = 4 thì bất đẳng thức tương đương với: Áp dụng trường hợp n = 2 Ta được :
Trường hợp n = 3. Áp dụng trường hợp n = 4 được : 
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n k. Có hai trường hợp: k là hợp số thì k = pq ( p,q k )
TH2: k là số nguyên tố thì k + 1 là hợp số. áp dụng trường hợp 1 ta được: 
Dấu bằng xảy ra khi 
VD1.25: Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: 
Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử 
VD1.26: a + b + c = 1. CMR : 
Dấu bằng xảy ra khi: 
VD1.27: Cho abc = 1 ( a và b và c dương ) CMR: 
Ta có : 
Mà abc = 1 1
VD1.28: Với mọi số nguyên dương bất kì .Ta có:
VD1.29: Cho .CMR: 
VD1.30: Cho .CMR: 
VD1.31: Cho .CMR: ( a ,b , c dương ).
Đặt 
Điều này đúng nên bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
VD1.32.Cho