Toán học 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
LÝ THUYẾT
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.
F’(x)
Nguyên hàm
0
C
xα
x∝+1∝+1+C, ∝≠-1
1x
lnx+C
ex
ex+C
ax
axlna+C
1x2
-1x+C
cosx
sinx+C
sinx
-cosx+C
1cos2x
tanx+C
1sin2x
-cotx+C
u∝
u∝u'(∝+1)+C
1u
lnuu'+C
eu
euu'+C
au
auu'(lna)+C
1u2
-1u'.u+C
cosu
sinuu'+C
sinu
-cosuu'+C
Lưu ý: Hàm số u thường là u=f(x)=ax+b và u’=a
Phương pháp đổi biến số
Đặt u=f(x) è u’.du=f’(x).dx
Đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới với biến u.
Hệ quả: fax+bdx=1aFax+b+C , với a≠0
Lưu ý: Đặt u thường là các hàm có dấu căn, lượng giác, lnx, hàm mũ,..
Phương pháp nguyên hàm / tích phân từng phần
udv=uv-vdu
abudv=uv|ab-abvdu
Lưu ý: 
Nhận biết: khi đặt ẩn ta không thể biến đồi các biểu thức về cùng ẩn vừa đặt
Thường ưu tiên đặt u là các hàm lnx, hàm đa thức (x, 1-x, 4x+3,..)
Thường ưu tiên đặt dv là các hàm sin, cos, ex, hàm mũ
Đối với các hàm lượng giác có số mũ từ 2 trở lên thì dùng Công thức hạ bậc:
sin2x=1-cos2x2;cos2x=1+cos2x2
sin3x=3sinx-sin3x4;cos3x=cos3x+3cosx4
Các tính chất của tích phân.
a)abfxdx=Fx|ba=Fb-F(a)
b)abfxdx=-bafxdx
c)acfxdx+cbfxdx=abfxdx, với a<c<b
BÀI TẬP
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
1)3x+e1-2xdx
2)1(1+x)(1-2x)dx
3)sin3xcos5xdx
4)1-x4dx
5)x2 31+x3dx với x>-1
6)xe-x2dx
7)x1+x22dx
8)1(1-x)xdx
9)lnx2xdx
10)sinx3cos2xdx
11)1ex-e-xdx
12)x3-x5dx
13)x2-5xdx
14)xln1+xdx
15)1-2xexdx
16)x2+2x-1exdx
17)1-xcosxdx
18)xsin2xdx
19)xln2xdx
20)xlnx-1x+1 dx 
21)ln⁡(cosx)cos2xdx
22)xsin2xdx
23)x+lnxx2dx
24)x+exe2xdx
25)(x+sin2x)sinxdx 
26)excosx+ex+1sinxexsinxdx
27)(x+sinx)dxcos2x
28)(2x-3)x-3dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)021x2-2x-3dx
2)02xx+12dx
3)121-3xx+12dx
4)-π2π2sinxcos5xdx
5)021-xdx
6)0π2sin2xdx
7)0ln2e2x+1+1exdx
8)03x21+x32 dx
9)011-x2dx
10)0111+x2dx
11)01ex(1+x)1+xexdx
12)0a21a2-x2dx, với a>0
13)0a1a2+x2dx, với a>0
14)19x31-xdx
15)044x-12x+1+2dx
16)-11x21-x34dx
17)01ln1+xdx
18)0π2x+1sinxdx
19)1ex2lnxdx
20)0ln2xe-2xdx
21)23lnx-1-lnx+1dx
22)1221+x+1xex+1xdx
23)0π2xcosxsin2xdx
24)01xex1+x2dx
25)1e1+xlnxxexdx
26)0π21(sinx+2cosx)2dx
27)0π(x+sinx)2dx
28)1e4+5lnxxdx
29)01x+2x2+2x+1lnx+1dx
30)0πxsinx+x+1cosxxsinx+cosxdx
31)0π2sin3x2cos3x+1dx
32)12lnxxdx
33)0πsin2xcos2x+4sin2xdx
34)012x-1x2+x+1dx
35)0π29sinxdx
36)1e73dxx31+3lnx
37)π3π2sinxcos2x-cosxdx
38)0π2(cos3x-1)cos2xdx
39)133+lnxx+12dx
40)1elnxx(2+lnx)^2dx
41)0π2sin2x+sinx1+3cosxdx
42)322dxxx2+1
43)0π41-2sin2x1+sin2xdx
44)12x1+1-xdx
45)23lnx2-xdx
KIỂM TRA 15 PHÚT
MÔN: GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 3
ĐỀ:
Bài 1: (7,0 điểm)
Tìm các nguyên hàm sau:
a)x2(2-x+cosx)dx
b)(x+1x)ln2xdx
Bài 2: (3,0 điểm)
Tìm hàm số F(x) biết rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x)=3x2-2 và F(-1)=5.
Bài làm
KIỂM TRA 15 PHÚT
MÔN: GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 3
ĐỀ:
Tính các tích phân sau:
1)0π2sin2x1+3cosxdx (3,0 đ)
2) 0ln32x-e2xexdx (4,0 đ)
3)122(1+2x+1x)(2-1x2)ln2x+1xdx (3,0 đ)
Bài làm