Toán - Chứng minh giới hạn dãy số bằng định nghĩa

CHỨNG	MINH	GIỚI	HẠN	DÃY	SỐ	BẰNG	ĐỊNH	NGHĨA	 1 
Thầy:	Đặng	Thành	Nam	–	website:	www.vted.vn	-	Hotline:	0976.266.202	 1	
CHỨNG MINH GIỚI HẠN DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
• limun = a∈° ⇔∀ε > 0,∃n0 | un − a < ε ,∀n ≥ n0. 
• limun = +∞⇔∀ε > 0,∃n0 | un > ε ,∀n ≥ n0. 
• limun = −∞⇔∀ε < 0,∃n0 | un < ε ,∀n ≥ n0. 
Câu 1. Chứng minh lim n
n = 0. 
Giải. 
Ta có 
n = 1+ ( nn −1)⎡⎣
⎤
⎦
n
= Cn
0 +Cn
1( nn −1)+Cn
2( nn −1)2 + ...+Cn
n( nn −1)n
>Cn
2( nn −1)2 ⇒ ( nn −1)2 < 2
n−1
⇒ nn −1< 2
n−1
.
Do đó ∀ε > 0, chọn số tự nhiên n0 sao cho 
2
n0 −1
4
ε 2
+1⇒ n0 =
4
ε 2
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +1. 
Khi đó 
nn −1< 2
n−1
≤ 2
n0 −1
< ε ,∀n ≥ n0 ⇒ lim n
n = 1. 
Câu 2. Cho dãy số (un ) thoả mãn lim(un+1 − tun ) = 0, với mọi −1< t <1. Chứng minh limun = 0. 
Giải. Theo giả thiết, với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho un+1 − tun < ε ,∀n ≥ n0. 
Khi đó 
un+1 = (un+1 − tun )+ t(un − tun−1)+ ...+ t
n−n0 (un0+1 − tun0 )+ t
n−n0+1un0
≤ un+1 − tun + t(un − tun−1) + t
n−n0 (un0+1 − tun0 ) + t
n−n0+1un0
≤ ε + t ε + t n−n0 ε + t n−n0+1un0
=
1− t n−n0+1
1− t
ε + t n−n0+1un0 <
ε
1− t
+ t n−n0+1un0 .
Do 
lim t n−n0+1un0 = 0⇒∃n1 sao cho 
t n−n0+1un0 < ε ,∀n ≥ n1. 
Vì vậy với n2 = max n0 ,n1{ }, ta có 
un+1 <
ε
1− t
+ ε = 1+ 1
1− t
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ε ,∀n ≥ n2 ⇒ limun = 0. 
Câu 3. Cho dãy số (un ) thoả mãn 
lim un+1 +
1
4
un
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2017. Tìm limun. 
Giải. Theo giả thiết, ∀ε > 0,∃n0 sao cho 
un+1 +
1
4
un − 2017 < ε ,∀n ≥ n0. 
Khi đó sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a − b , ta có 
2	 CHỨNG	MINH	GIỚI	HẠN	DÃY	SỐ	BẰNG	ĐỊNH	NGHĨA	
2	 Thầy:	Đặng	Thành	Nam	–	website:	www.vted.vn	-	Hotline:	0976.266.202	
un+1 −
4.2017
5
− 1
4
un −
4.2017
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≤ un+1 −
4.2017
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ 1
4
un −
4.2017
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
< ε
⇒ un+1 −
4.2017
5
≤ 1
4
un −
4.2017
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ε ≤ 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n−n0+1
un0 −
4.2017
5
+ ε + 1
4
ε + ...+ 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n0
ε
⇒ un+1 −
4.2017
5
≤ 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n−n0+1
un0 −
4.2017
5
+
1− 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n0+1
1− 1
4
ε < 4
3
ε + 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n−n0+1
un0 −
4.2017
5
.
Vì 
lim 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n−n0+1
un0 −
4.2017
5
= 0 ⇒∃n1 |
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n−n0+1
un0 −
4.2017
5
< ε . 
Vì vậy với n2 = max n0 ,n1{ }, ta có 
un+1 −
4.2017
5
< ε + 4
3
ε = 7
3
ε ,∀n ≥ n2 ⇒ limun =
4.2017
5
. 
Câu 4. Chứng minh 
lim 1
n!n
= 0. 
Giải. Quy nạp ta có, 
n!> n
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
⇒ 1
n!n
< 3
n
→ 0⇒ lim 1
n!n
= 0. 
Câu 5. Cho dãy số (un ) bị chặn trên và 2un+2 ≤ un+1 + un ,∀n ≥1. 
Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn. 
Câu 6. Xét số thực 0 < p <1, cho dãy số (un ),(vn ) không âm và lim vn = 0 thoả mãn 
 un+1 ≤ pun + vn ,∀n ≥1. 
Chứng minh rằng limun = 0. 
Giải. Theo giả thiết, ta có ∀ε ,∃n0 | vn < ε ,∀n ≥ n0. 
un+1 ≤ pun + vn ≤ p
n−n0+1un0 + vn + pvn−1 + ...+ p
n0vn0
< pn−n0+1un0 + ε + pε + ...+ p
n0ε = pn−n0+1un0 +
1− pn0+1
1− p
ε
< ε
1− p
+ pn−n0+1un0 ,∀n ≥ n0.
Vì 
lim pn−n0+1un0 = 0⇒∃n1 | p
n−n0+1un0 < ε , vì vậy 
un+1 < ε +
ε
1− p
= 1+ 1
1− p
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ε ,∀n ≥ max n0 ,n1{ }. 
Từ đó suy ra limun = 0. 
CHỨNG	MINH	GIỚI	HẠN	DÃY	SỐ	BẰNG	ĐỊNH	NGHĨA	 3 
Thầy:	Đặng	Thành	Nam	–	website:	www.vted.vn	-	Hotline:	0976.266.202	 3	
Câu 7. Cho số thực 
a ≥ − 1
10
, chứng minh rằng dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 = a,un+1 =
1
2
+ 2n+ 3
n+1
un +
1
4
,∀n ≥1 
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
(Trích đề thi hsg quốc gia 2017) 
Giải. Với 
a ≥ − 1
10
, dãy số đã cho hoàn toàn xác định. 
Khi đó, ta có 
un+1 − 3 =
2n+ 3
n+1
un +
1
4
− 5
2
=
2n+ 3
n+1
un − 6
2n+ 3
n+1
un +
1
4
+ 5
2
=
2n+ 3
n+1
(un − 3)+
3
n+1
2n+ 3
n+1
un +
1
4
+ 5
2
≤
2n+ 3
n+1
(un − 3)
2n+ 3
n+1
un +
1
4
+ 5
2
+
3
n+1
2n+ 3
n+1
un +
1
4
+ 5
2
≤ 5
6
un − 3 +
1
n+1
,∀n ≥1.
Áp dụng bổ đề trong bài 6, ta có điều phải chứng minh và limun = 3. 
*Chú ý: Số 3 được tìm ra bằng cách lấy giới hạn hai vế của 
un+1 =
1
2
+ 2n+ 3
n+1
un +
1
4
. 
Câu 8. Chứng minh với mọi a∈[0;1], dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 = 3,un+1 =
1
2
un +
n2
4n2 + a
un
2 + 3,∀n ≥1. 
có giới hạn hữu hạn. 
(Trích đề thi hsg quốc gia 2015) 
Giải. Ta có 
un+1 −1 =
1
2
un −1( ) + n
2
4n2 + a
( un
2 + 3 − 2)+ 2n
2
4n2 + a
− 1
2
≤ 1
2
un −1 +
n2
4n2 + a
( un
2 + 3 − 2) + 2n
2
4n2 + a
− 1
2
≤ 1
2
un −1 +
1
4
un
2 + 3 − 2 + a
2(4n2 + a)
= 1
4
un −1 2+
un +1
un
2 + 3 + 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ a
2(4n2 + a)
≤ 3
4
un −1 +
a
2(4n2 + n)
.
Áp dụng bổ đề trong câu 6, ta có limun = 1. 
Câu 9. Cho dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 = 3
un =
n+ 2
3n
(un−1 + 2),∀n ≥ 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
. 
4	 CHỨNG	MINH	GIỚI	HẠN	DÃY	SỐ	BẰNG	ĐỊNH	NGHĨA	
4	 Thầy:	Đặng	Thành	Nam	–	website:	www.vted.vn	-	Hotline:	0976.266.202	
Chứng minh (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
(Trích đề thi hsg quốc gia 2012) 
Giải. Ta có 
un −1 =
n+ 2
3n
(un−1 + 2)−1 =
n+ 2
3n
(un−1 −1)+
2
n
≤ n+ 2
3n
(un−1 −1) +
2
n
≤ 2
3
un−1 −1 +
2
n
,∀n ≥ 2.
Theo bổ đề trong câu 6, ta có limun = 1. 
Câu 10. Chứng minh dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 = 2012,un+1 =
2010n+ 2
2011n+ 2
(un +1),n ≥1 
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Câu 11. Chứng minh dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 = 2004,un+1 =
2n+1
3n+1
(un +1),n ≥1 
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Câu 12. Cho 
Sn =
n+1
2n+1
2
1
+ 2
2
2
+ ...+ 2
n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. Chứng minh (Sn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Giải. Ta có 
Sn+1 =
n+ 2
2(n+1)
(Sn +1),n ≥1. Áp dụng bổ đề trong câu 6. 
Câu 13. Chứng minh dãy số (un ) xác định bởi: 
u1 =
5
2
,un+1 = un
3 −12un +
20n+ 21
n+1
,n ≥1. 
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.