Toán - Bất phương trình mũ

 1 
Bất phương trình mũ 
A. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình    
11
25 2 5 2
xx
x


   .  1 
Giải 
Ta có 
 1     
11
25 2 5 2
xx
x

 
    11
2
xx
x

  

 11 0
2
xx
x

  

  
2 4 1 0
2
x x
x
 


. 
Ta có bảng xét dấu của 
2 4 1
2
x x
x
 

 : 
x  2 3  2 2 3   
2 4 1
2
x x
x
 

  0  ||  0  
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình  1 là  2 3; 2 2 3;         . 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x x       .  1 
Giải 
Ta có 
 1  
2 2 22 2 225 25 9 9 34 15x x x x x x       . 
Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho 
229 x x , ta được 
2 22 225 525 9 34
9 3
x x x x 
         
   
  
2 22 225 525 34 9 0
9 3
x x x x 
          
   
. 
Đặt 
225
3
x x
t

   
 
, từ  222 1 1 1x x x     suy ra 50;
3
t    
. Khi đó bất phương trình trên 
trở thành 
225 34 9 0t t      
9
25
1
t
t
 


. 
Do đó bất phương trình  1 tương đường với 
2
2
2
2
5 9
3 25
5 1
3
x x
x x


   
 

    
  
2
2
2 2
2 0
x x
x x
   

 
  
2
2
2 2 0
2 0
x x
x x
   

 
 2 
 
 
 
;1 3 1 3;
0; 2
x
x
        
 
     ;1 3 0;2 1 3;x          . 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình  2 1 1xx x   .  1 
Giải 
Ta thấy 
2
2 1 31 0
2 4
x x x       
 
 x . Do đó 
 1  
2
2
1 1
0
1 1
0
x x
x
x x
x
   


    
  
1
x
x

  
  1x   . 
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 
12 2 1 0
2 1
x x
x
  


.  1 
Giải 
Nhân hai vế của bất phương trình  1 với 2 0x  , ta được bất phương trình tương đương: 
 22 2 2
0
2 1
x x
x
 


  
 22 2 2
0
2 1
x x
x
 


 
  2 1 2 2
0
2 1
x x
x
 


 2 2 0
2 1
x
x



  
2 2
2 1
x
x
 


  
1
0
x
x

 
. 
Ví dụ 5. Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 
  24 1 2 1 0x xa a a      .  1 
Giải 
Đặt 2xt  , suy ra 0t  và bất phương trình  1 trở thành 
 2 4 1 1 0a t a t a        2 4 1 4 1a t t t     2
4 1
4 1
ta
t t


 
.  2 
Xét hàm   2
4 1
4 1
tf t
t t


 
 ( 0t  ). Ta có  
 
2
22
4 2' 0
4 1
t tf t
t t
 
 
 
 0t  . 
0
1
_
0_
f t( )
f ' t( )
+∞∞t
 3 
 1 nghiệm đúng với mọi x   2 nghiệm đúng với mọi 0t   đường thẳng y a 
nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số  y f t ( 0t  )  1a  . 
Ví dụ 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
4 2 3 0x xm m    .  1 
Giải 
Đặt 2xt  , suy ra 0t  và bất phương trình  1 trở thành 
2 3 0t mt m    .  2 
Để  1 có nghiệm thì trước hết  2 phải có nghiệm. Muốn như vậy thì tam thức bậc hai 
  2 3f t t mt m    phải có 0  , tức là 
 2 4 3 0m m    2 4 12 0m m    
2
6
m
m
 
 
.  3 
Khi đó 
 2  
2 24 12 4 12
2 2
m m m m m mt       . 
 1 có nghiệm   2 có nghiệm dương  2 4 12 0m m m    
 2 4 12m m m     
2 2
0
0
4 12
m
m
m m m
 
     
  
0
3
m
m

  
. 
Kết hợp với điều kiện  3 suy ra những giá trị cần tìm của m là    ; 3 6;    . 
B. Bài tập 
Bài 1. Giải các bất phương trình sau 
1) 
2
1
2
1 2
2
x
x x


 . ĐS:  2; . 
2)    
-1-1
15 2 5 2
xx
x   . ĐS:    0;1 3;  . 
3)    
3 1
1 310 3 10 3
x x
x x
 
    . ĐS:    1;0 1;   . 
4) 3 12 1
1 1
22 xx 
 . ĐS:  0; . 
5) 1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x        . ĐS:  9
4
21
91;log . 
6) 1 3 4 27.3 5 3 5x x x x      . ĐS:  5
3
; log 2   . 
7) 
22.3 2 1
3 2
x x
x x



. ĐS:  3
2
0; log 3 . 
 4 
Bài 2. Giải các bất phương trình sau 
1) 9 2.3 3x x  . ĐS:  ;1 . 
2)    
2 1 11 1
3 3 3 12
x x  . ĐS:  1;0 . 
3) 
1 1 02 2
2 1
x x
x
  


. ĐS:    ;0 1;   . 
4) 
2 2 21 2 1 2 225 9 34.15x x x x x x      . ĐS:    ;1 3 0; 2 1 3;        . 
5)      9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1x x x      . ĐS:  ;0 . 
6)    
2 2
22 - 2 - 1 2 -3 5 3 5 2 0
x x x x x x     . ĐS:  0; 2 . 
7) 29 3 3 9x x x   . ĐS:  1; . 
Bài 3. Giải các bất phương trình sau 
1) 
2 21 1 12 2 2 2x x x x      . ĐS:  1; 2 . 
2) 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x     . ĐS:  5; . 
3) 4 418.3 9 9x x x x   . ĐS:  0;4 . 
4) 2 3 6 3 52 15.2 2x x x x      . ĐS:  2;  . 
Bài 4. Giải các bất phương trình sau 
1) 2.2 3.3 6 1x x x   . ĐS:  ;2 . 
2) 4 2 43 2 13x x   . ĐS:  0; . 
3)  
2 2sin cos2 2 2 sin cosx x x x   . ĐS: 2
4
k  , k  .