Toán 9 - Tân phương trình và hệ phương trình

Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B1 Giải phương trình:
x2 +
√
x + 5 = 5
Giải: Ta có:
x2 +
√
x + 5 = 5
⇔ x2 = 5−√x + 5
⇔ x2 + x + 1
4
= x + 5− 2.1
2
√
x + 5 +
1
4
⇔ (x + 1
2
)2 = (
√
x + 5− 1
2
)2
......
B2 Giải phương trình:
a) x2 + x + 12
√
x + 1 = 36
b) 2
√
2x + 4 + 4
√
2− x = √9x2 + 16
Giải:
a)
36− x2 − x− 2.6.√x + 1 = 0
x + 1− 2.6.√x + 1 + 36− (x2 + 2x + 1) = 0
(
√
x + 1− 6)2 − (x + 1)2 = 0
(
√
x + 1− 6− x− 1)(√x + 1− 6 + x + 1) = 0
......
b)
2
√
2x + 4 + 4
√
2− x = √9x2 + 16
⇒ 4(2x + 4) + 16(2− x) + 16
√
(4− x2)2 = 9x2 + 16
⇔ 8x + 16 + 32− 16x + 16√8− 2x2 − 9x2 − 16 = 0
Box Toán học 4
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔ 16√8− 2x2 − 8x + 32− 9x2 = 0
⇔ 4(8− 2x2) + 16√8− 2x2 + 16− 8x− 9x2 + 8x2 − 16 = 0
⇔ (2√8− 2x2 + 4)2 − x2 − 8x− 16 = 0
⇔ (2√8− 2x2 + 4)2 − (x + 4)2 = 0
⇔ .................................
B3 Giải phương trình:
x +
√
4− x2 = 2 + 3x√4− x2
Giải
Đặt
√
4− x2 = a (a ≥ 0)
⇒ 4− x2 = a2 ⇔ x2 = 4− a2
và x + a = 2 + 3xa⇒ x = 2− a
1− 3a ⇒ x
2 =
(2− a)2
(1− 3a)2
⇒ 4− a2 = 4− 4a + a
2
1− 6a + 9a2
⇒ (1− 6a + 9a2)(4− a2) = 4− 4a + a2
⇔ 4− a2 − 24a + 6a3 + 36a2 − 9a4 = 4− 4a + a2
⇔ 9a4 − 6a3 − 34a2 + 20a = 0
⇔ a(9a3 − 6a2 − 34a + 20) = 0
⇔ a(a− 2)(9a2 + 12a− 10) = 0
⇔ a = 0; a = 2; 9a2 + 12a− 10 = 0 (1)
∆′ = 62 + 10.9 = 129⇒ a = −6 +
√
129
9
(a ≥ 0)
B4 Giải phương trình:
x2 +
√
x2 + 11 = 31
Giải:
x2 +
√
x2 + 11 = 31⇔ (x2 + 11) +√x2 + 11− 42 = 0⇒ x2 + 11 = 36⇒ x = ±5
B5 Giải hệ phương trình sau:
Box Toán học 5
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình

3
√
x− y = √x− y
x + y =
√
x + y + 2
Giải:
Ta có: 3
√
x− y = √x− y ⇔ (x− y)2 = (x− y)3
⇔
 x = y
x = y + 1
TH1: x = y
x + y =
√
x + y + 2
⇔ 2x = √2x + 2
⇔ 4x2 = 2x + 2⇒ x = y = 1
TH2: x = y + 1
x + y =
√
x + y + 2
⇔ 2y + 1 =
√
2y + 3
⇔ 4y2 + 4y + 1 = 2y + 3
⇒ y = 1
2
;x =
3
2
B6
1
4x− 2006 +
1
5x + 2004
=
1
15x− 2007 −
1
6x− 2005
Giải:
1
4x− 2006 +
1
5x + 2004
=
1
15x− 2007 −
1
6x− 2005
⇔ 9x− 2
(4x− 2006)(5x + 2004) =
−(9x− 2)
(15x− 2007)(6x− 2005)
B7
Box Toán học 6
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình

3(x + 1x) = 4(y +
1
y) = 5(z +
1
z )
xy + yz + zx = 1
Giải:
Viết lại phương trình đầu như sau: với x,y,z khác 0 :
x
3(x2 + 1)
=
y
4(y2 + 1)
=
z
5(z2 + 1)
(1)
(1)⇒ nếu (x0, y0, z0) là nghiệm ở đây x0 > 0, y0 > 0, z0 > 0 thì −x0,−y0,−z0 cũng
là nghiệm (1) dẫn tới (1) có nghiệm cùng dấu
x = tan
A
2
, y = tan
B
2
, z = tan
C
2
Lại có do: (2) tan
A
2
. tan
B
2
+ tan
B
2
. tan
C
2
+ tan
C
2
. tan
A
2
= 1
nên A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
lại có: sinA =
tan A2
1 + tan2 A2
Nên: (1) ⇔ sinA
3
=
sinB
4
=
sinC
5
⇒ các cặp cạnh đối diện cũng tỉ lệ : a,b,c là các cạnh đối diện với góc A,B,C
a
3
=
b
4
=
c
5
Nên tam giác này là tam giác vuông tại C⇒ C = 90
dẫn tới z = tan 45o = 1
Thế vào PT(1) được x =
1
3
, y =
1
2
Nên HPT có 1 nghiệm là (
1
3
,
1
2
, 1)
theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hệ cũng có nghiệm (−1
3
,−1
2
,−1)
KL :HPT có 2 nghiệm (
1
3
,
1
2
, 1), (−1
3
,−1
2
,−1)
B8 :
√√√√ 6
3− x +
√√√√ 8
2− x = 6
Box Toán học 7
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
ĐK : x < 2
⇔
√√√√ 6
3− x − 2 +
√√√√ 8
2− x − 4 = 0
⇔
6
3− x − 4√√√√ 6
3− x + 2
+
8
2− x − 16√√√√ 8
2− x + 4
= 0
⇔
2(2x− 3)
3− x√√√√ 6
3− x + 2
+
8(2x− 3)
2− x − 16√√√√ 8
2− x + 4
= 0
⇔ (2x− 3)(...) = 0
mà (...) khác 0 nên ta được x =
3
2
B9
2(x2 − 3x + 2) = 3√x3 + 8
Giải:
ĐK : x ≥ −2
⇔ 2[x2 − 2x + 4− (x + 2)] = 3
√
(x + 2)(x2 − 2x + 4)
Đặt a =
√
x + 2 ; b =
√
x2 − 2x + 4 (a, b ≥ 0
Ta được 2(b2 − a2) = 3ab
⇔ (a + 2b)(2a− b) = 0
B10
√
2x + 3 +
√
x + 1 = 3x + 2
√
2x2 + 5x + 3− 16
Giải:
Box Toán học 8
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
ĐK: ... Đặt t = V T (ĐK: t ≥ ...) PT trên tương đương với t = t2 − 20
(t− 5)(t + 4) = 0
B11
√
4x− 1 +√4x2 − 1 = 1 Giải:
ĐK :...
⇔ √4x2 − 1 = 1−√4x− 1
2 vế không âm bình phương lên thu được
4x− 2√4x2 − 1 = 4x2 − 1
⇔ 2√4x2 − 1 = −(2x− 1)2
PT đánh giá: V T ≥ 0 ;VP ≤ 0
Ta được nghiệm x =
1
2
B12
√
x2 + 2x +
√
2x− 1 = √3x2 + 4x + 1
Giải:
ĐK là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt a =
√
x2 + 2x , b =
√
2x− 1(a, b ≥ 0)
PT trở thành
a + b =
√
3a2 − b2
⇔ a2 + 2ab + b2 = 3a2 − b2
⇔ 2a2 − 2ab− 2b2
a =
1 +
√
5
2
b
B13
x2 − 2x + 3 = √2x2 − x +√1 + 3x− 3x2
Giải:
Theo AM-GM
Box Toán học 9
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình

√
2x2 − x ≤ 2x2−x+12√
1 + 3x− 3x2 ≤ 1+3x−3x2+12
⇒ x2 − 2x + 3 ≤ −x
2 + 2x + 3
2
⇔ 2x2 − 4x + 6 + x2 − 2x− 3 ≤ 0
⇔ 3(x− 1)2 ≤ 0
⇒ x = 1
B14
√
x + 3.x4 = 2x4 − 2008x + 2008
Giải:
tx4 = 2x4 − 2008(x− 1) = 2x4 − 2008(t2 − 4)
⇔ −2008t2 − tx4 + (2x4 + 2008.4) = 0
∆ = x8 − 4(−2008)(2x4 + 2008.4) = x8 + 2.4.2008x4 + (4.2008)2 = (x4 + 4.2008)2
x1 =
x4 − (x4 + 4.2008)
−2.2008 = 2
hay
√
x + 3 = 2⇔ x = 4− 3 = 1
x2 =
x4 + x4 + 4.2008
−2.2008 =
√
x + 3
B15
√
2x + y + 1−√x + y = 1
3x + 2y = 4
Giải:
√
2x + y + 1 = a
√
x + y = b
Hệ

a− b = 1
a2 + b2 = 5
Box Toán học 10
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔

a = 2
b = 1
B16

x4 − x3y + x2y2 = 1
x3y − x2 + xy = −1
Giải:
Đặt:

x2 − xy = a
x3y = b
Hệ tương đương:
a2 + b = 1
a− b = −1
a = −1
b = 0
⇒ (x, y) = ...
B17
x4 +
√
x2 + 2010 = 2010
Giải:
Đặt x2 = a ,
√
x2 + 2010 = t
Ta có:

a2 + t = 2010
t2 − a = 2010
⇔ (a + t)(a− t + 1) = 0
B18
xy + x + 1 = 7y
x2y2 + xy + 1 = 13y2
Box Toán học 11
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm.
Hệ trên tương đương với:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x2 +
x
y
+
1
y2
= 13
⇔

x +
x
y
+
1
y
= 7
(x +
1
y
)2 − x
y
= 13
Đặt:
x +
1
y
= a
x
y
= b
⇒

a + b = 7
a2 − b = 13
Từ đây dễ dàng giải tiếp.
B19
x2 + x + 12
√
x + 1 = 36 (1)
Giải:
ĐK: x ≥ −1
(1)⇔ (x + 1)2 − (x + 1) + 12√x + 1 = 36
Đặt: t =
√
x + 1 (t ≥ 0)
t4 − t2 + 12t− 36 = 0
t4 = (t− 6)2
B20
√
x + 1 + x + 2 =
√
2x2 + 6x + 6 (1)
Box Toán học 12
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Œt :

√
x + 1 = a (a ≥ 0)
x + 2 = b (b ≥ 1)
(1)⇔ a + b = √2b2 − 2a2 ⇔ a2 + 2ab + b2 = 2b2 − 2a2
⇔ 3a2 + 2ab− b2 = 0
⇔ (3a− b)(a + b) = 0
Do a, b > 0 nên 3
√
x + 1 = x + 2
⇔ 9x + 9 = x2 + 4x + 4
⇔ x2 − 5x− 5 = 0
B21
Giải hệ phương trình:
a)

x(3x + 2y)(x + 1) = 12
x2 + 4x + 2y − 8 = 0
(1)
b)

x(x + 2)(2x + y) = 9
x2 + 4x + y − 6 = 0
(2)
Giải:
a)
(1)⇔

(3x + 2y)(x2 + x) = 12
x2 + 4x + 2y − 8 = 0
Đặt:

a = 3x + 2y
b = x2 + x
Như vậy thì:
ab = 12
a + b = 8
Box Toán học 13
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔

 a = 2
b = 6
 a = 6
b = 2
......
b)
(1)⇔

(x2 + 2x)(2x + y) = 12
x2 + 4x + y − 6 = 0
Đặt:

a = x2 + 2x
b = 2x + y
Như vậy thì:
ab = 9
a + b = 6
⇔

a = 3
b = 3
⇔

x2 + 2x− 3 = 0
2x + y = 3
⇔

 x = 1
x = −3
 y = 1
y = 9
Nghiệm: (x; y) = (1; 1); (3;−9)
Box Toán học 14
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B22
√√√√ 42
5− x +
√√√√ 60
7− x = 6
Giải:
ĐK: x < 5
Nếu x ∈ (−∞; 1
3
) thì V T > 6
Nếu x ∈ (1
3
; 5) thì V T < 6
Nếu x =
1
3
thì V T = 6
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
3
B23
x2 +
3
2
x +
1
2
=
√
x2 + 5x + 7 +
√
x2 − 2x− 8
Đặt
√
x2 + 5x + 7 = a ;
√
x2 − 2x− 8 = b (a, b ≥ 0) Ta có: a
2 + b2
2
+ 1 = a + b
a2 + b2 + 2− 2a− 2b = 0
(a− 1)2 + (b− 1)2 = 0
Đến đây ta xét đấu bằng xảy ra, thay vào tìm x
Kết quả: vô nghiệm
B24
2
√
2x + 4 + 4
√
2− x = √9x2 + 16
Giải:
Bình phương 2 vế:
8x + 16 + 32− 16 + 16
√
2(4− x2) = 9x2 + 16
⇔ x2 + 8x + 16 = 8(4− x2) + 16
√
2(4− x2) + 16
⇔ (x + 4)2 = (2
√
2(4− x2) + 4)2
.....
⇔ x = 2
√
2(4− x2)
Box Toán học 15
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
......
B25
 (x + y)(x
2 − y2) = 45
(x− y)(x2 + y2) = 85
Giải:
Ta thấy: x 6= ±y
Từ đây ta có:
17(x− y)(x + y)2 = 9(x− y)(x2 + y2)
⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = 0
⇔ (4x + y)(4y + x) = 0
⇔

x = 4
y = −1
B26
4− x2 + (x− y)2 = 5
2x(y − x) + x + y = 5
Giải:
Đặt:

a = 2x
b = y − x
⇔

a2 + b2 = 5
ab + a + b = 5
⇔ Hệ đối xứng
B27
x2 + y2 − xy = 1
x3 + 3y3 = x + 3y
Giải:
Box Toán học 16
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Vì x2 + y2 − xy = 1 nên:
x3 + 3y3 = (x + 3y)(x2 + y2 − xy)
x3 + 3y3 = x3 + xy2 − x2y + 3x2y + 3y3 − 3xy2
2x3 + 2x2y − 2xy2 = 0
xy(x− y) = 0
B28
Tìm ngiệm nguyên dương của hệ:
2x = 2y
2y = 2x
Giải:
Với x > y ⇔ 2x > 2y ⇔ 2y = 2x > 2y = 2x⇔ y > x (vô lý)
Với x y (vô lý)
Vậy x = y
Thay vào:
2x = 2x
Thử với các số 1,2,3,4,...
Ta được nghiệm: (x; y) = (1; 1); (2; 2)
B29

x2 − xy + y2 = 3
z2 + yz + 1 = 0
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có x là ẩn, y là tham số:
∆ = y2 − 4y2 + 12 = −3y2 + 12 ≥ 0⇔ y2 ≤ 4
Từ phương trình thứ hai coi z là ẩn, y là tham số:
Box Toán học 17
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
∆ = y2 − 4 ≥ 0⇔ y ≥ 4
Suy ra y2 = 4⇔ y = ±2
Với y = 2 thì x = 1 và z = −1
Với y = −2 thì x = −1 và z = 1
B30
xy + x + 1 = 7y
x2y2 + xy + 1 = 13y2
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ
Ta chia 2 vế của phương trinh thứ nhất cho y, chia 2 về của phương trình thứ hai cho
y2, ta được:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x2
y2
+
x
y
+
1
y2
= 13
⇔

(x +
1
y
) +
x
y
= 7
(x +
1
y
)2 − x
y
= 13
Đặt:
a = x +
1
y
b =
x
y
Hệ trở thành:
a + b = 7
a2 − b = 13
Cộng vế theo về, giải ra a và b sau đó thay vào
B31
Box Toán học 18
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Tìm nghiệm nguyên dương: 3xyz − 5yz + 3x + 3z = 5
Giải:
Cách 1: Biến đổi phương trình:
x +
z
yz + 1
= 1 +
2
3
⇒ x = 1 ; z
yz + 1
=
2
3
⇔ z = 2
3− 2y
x = 1 ; y = 1 ; z = 2 Cách 2:
Từ đề bài ta được:
(3x− 5)(yz + 1) + 3z = 0
Nếu x ≥ 2 thì 3x− 5 ≥ 1 , khi đó (3x− 5)(yz + 1) + 3z > 0
Do đó x = 1
Sau đó thay vào...
B32
Giải hệ:
a)

xy + y + 2x + 2 = 4
yz + 2z + 3y = 2
xz + z + 3x = 5
(1)
b)

√
x +
√
y = 4
√
x + 5 +
√
y + 5 = 5
(2)
Giải
a)
(1) ⇔
(x + 1)(y + 2) = 4
(z + 3)(y + 2) = 8
(x + 1)(z + 3) = 8
Lấy pt 1 chia pt 2 rồi nhân pt 3 ta được (x + 1)2 = 4
Từ đây ta thay vào giải ra
Box Toán học 19
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b)
Đặt a = x + y ; b = xy (a, b ≥ 0 ; a2 ≥ 4b)
Ta có:
a + 2
√
b = 16
a + 10 + 2
√
5a + b + 25 = 36
⇔ √5a + b + 25−√b = 5
⇔
5a + b + 25 = 25 + 10
√
b + b
a = 2
√
b
a2 = 4b
⇔ x = y (nghiệm kép của phương trình bậc 2)
Do đó:
√
x = 2
√
x + 5 = 3
⇔ x = y = 4
B33
x + y + z = 2
2xy − z2 = 4
Giải:
x + y + z = 2 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz = 2xy − z2
(x + z)2 + (y + z)2 = 0
⇔

x + z = 0⇔ y = 2
y + z = 0⇔ x = 2
x = y = 2 ; z = −2
B34
a)
√
x2 + x +
√
x− x2 = x + 1
Box Toán học 20
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b) (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz (z, y, x ≥ 0)
c)
x + 1√
x
+
4(y − 1) 3√y − 1 + 4
3
√
(y − 1)2 = 10
Giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy:√
x2 + x ≤ x + x + 1
2√
x− x2 ≤ x + 1− x
2
⇔
√
x2 + x +
√
x− x2 ≤ x + x + 1 + x + 1− x
2
= x + 1 Vì phương trình là trường
hợp xảy ra dấu bằng nên:
x = x + 1
x = 1− x
Do đó phương trình vô nghiệm
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
x2 + 1 ≥ 2x
y2 + 2 ≥ 2√2y
z2 + 8 ≥ 4√2z
⇒ (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) ≥ 32xyz Phương trình chính là trường hợp dấu bằng xảy
ra nên:
x = 1
y =
√
2
z = 2
√
2
c) Ta có:
x + 1√
x
≥ 2
Box Toán học 21
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Đặt: a = 3
√
y − 1 (a 6= 0)
4(y − 1) 3√y − 1 + 4
3
√
(y − 1)2 =
4a4 + 4
a2
≥ 8
x + 1√
x
+
4(y − 1) 3√y − 1 + 4
3
√
(y − 1)2 ≥ 10 Phương trình xảy ra:
x = 1
3
√
y − 1⇔ y = 2
⇔ (x; y) = (1; 2)
B35
x5 − x4 + 2x2y = 2
y5 − y4 + 2y2z = 2
z5 − z4 + 2z2x = 2
Giải:
Nhận thấy: x = y = z = 1 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x> 1 ⇒ 2 = z5 − z4 + 2z2x > z5 − z4 + 2z2
⇒ (z − 1)(z4 + 2z + 2) 1⇒ x < 1 (vô lí)
Đối với trường hợp x < 1 thì tương tự
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = y = z = 1
B36
a) x2 −√x + 5 = 5
b)
√
2x + 15 = 32x2 + 32x− 20
c) 3
√
7x + 1− 3√x2 − x− 8 + 3√x2 − 8x− 1 = 2
d) 4
√
97− x + 4√x− 15 = 4
e)
√
x + 5 = x2 − 4x + 3
f)
x2√
3x− 2 −
√
3x− 2 = 1− x
g)
x
x + 1
− 2
√
x + 1√
x
= 3
Box Toán học 22
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
a) ĐK: x ≥ −5
Đặt :
√
x + 5 = t (t ≥ 0)
⇔ t2 = x + 5⇔ t2 − x = 5
Đưa về hệ:
t2 − x = 5
x2 − t = 5
⇔ (x− t)(x + 1 + 1) = 0
b) Biến đổi:
√
2x + 15− 4 = 8(2x− 1)(2x + 3)
2x− 1√
2x + 15 + 4
= 8(2x− 1)(2x + 3)
Đã xuất hiện nhân tử chung
c) Đặt 3 cái căn bậc 3 lần lượt là a,b,c thì suy ra:
(a− b + c)3 = a3 − b3 + c3
d) Đặt: 4
√
97− x = a ; 4√x− 15 = b ; ⇒ {a + b = 4a4 + b4 = 82
e) ĐK: x ≥ −5
Phương trình ban đầu:
⇔ √x + 5− 2 = x2 − 4x− 5
⇔ x + 1√
x + 5 + 2
= (x + 1)(x− 5)
⇔
 x = −1
1 = [(x + 5)− 10](√x + 5 + 2) (∗)
Để xử lí (*), ta đặt
√
x + 5 = y (y ≥ 0). Khi đó:
(2)⇔ (y2 − 10)(y + 2) = 1
y3 + 2y2 − 10y − 21 = 0
(y + 3)(y2 − y − 7) = 0
Box Toán học 23
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
y =
1 +
√
29
2
⇒ x = 5 +
√
29
2
f)
x2√
3x− 2 −
√
3x− 2 = 1− x
⇔ x2 − 3x + 2 = (1− x)√3x− 2
⇔ (x− 2)(x− 1) + (x− 1)√3x− 2 = 0
⇔ (x− 1)(x− 2 +√3x− 2) = 0
g)
x
x + 1
− 2
√
x + 1√
x
= 3
ĐK: x > 0
Đặt:
√
x + 1√
x
= t
⇒ (1
t
)2 − 2t = 3
t = 0, 5 ; t = −1 (loại)
⇒
√
x + 1√
x
=
1
2
x =
−4
3
(loại)
B37
a) 3x2 + 2x = 2
√
x2 + x + 1− x
b)
√
x + 1 + 2(x + 1) = x− 1 +√1− x + 3√1− x2
Giải:
a) ĐK: x ≤ −1 hoặc x ≥ 0
3x2 + 2x = 2
√
x2 + x + 1− x
⇔ (√x2 + x− 1)2 + 2(x2 + x− 1) = 0
⇔ (√x2 + x− 1)(3√x2 + x + 1) = 0
b) Đặt:

√
1 + x = a (a ≥ 0)
√
1− x = b (b ≥ 0)
Box Toán học 24
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Suy ra:
a2 + b2 = 2
a + a2 + 2 = b + 3ab
⇔ 2a2 + b2 + a− b− 3ab = 0
⇔ (a− b)2 + (a− b) + a(a− b) = 0
⇔ (a− b)(a− b + 1 + a) = 0
⇔ (a − b)(2a − b + 1) = 0 Đến đây thử từng trường hợp, rút a theo b (b theo a) rồi
thay vào tính
B38

x2 − 6x− 2y − 15 = 0
x2y − 3xy + 2z + 6 = 0
x2y2 + 2y + 12− 4z ≤ 0
(x, y, z ∈ Z)
Giải:
Ta có:
(x2 − 3x− 2y − 15) + 2(x2y − 3xy + 2z + 6) + (x2y2 + 2y + 12− 4z) ≤ 0
⇒ (xy + x)2 − 6(xy + x) + 9 ≤ 0
(xy + x− 3)2 ≤ 0
xy + x− 3 = 0⇔ x(y + 1) = 3 (x, y ∈ Z)
B39
x2 + y2 − 4x + 2y = −3
x2 − xy + y2 + x− 2y = 12
Giải:
x2 + y2 − 4x + 2y = −3 (1)
(x− y)2 + x2 + y2 + 2x− 4y = 24 (2)
Lấy (2) trừ (1):
(x− y)2 + 6(x− y) = 27
Box Toán học 25
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
 x− y = 3
x− y = 9
B40
3
√
x + 1 + 3
√
x− 1 = 3√5x
Giải:
3
√
x + 1 + 3
√
x− 1 = 3√5x
⇔ ( 3√x + 1 + 3√x− 1)3 = ( 3√5x)3
⇔ 2x + 3 3
√
(x2 − 1).5x = 5x
⇔ 3
√
(x2 − 1).5x = x
⇔ 5x3 − 5x = x3
⇔ x(4x2 − 5) = 0
⇒

x = 0
x = ±
√
5
2
B41
Phương trình nghiệm nguyên:
a) x6 + 3x3 + 1 = y2
b) 1 + x2 + x3 + x4 = y4
c) 1 + x + x2 = y2
Giải:
Sử dụng phương pháp kẹp để giải:
a) Nếu x ≥ 1 thì
(x3 + 1)2 < y2 = x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 2)2 ⇔ vô nghiệm
Nếu x ≤ −2 thì:
(x3 + 2)2 < y = x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 1)2 (vô nghiệm)
Vậy, ta thử x = 0 hoặc x = −1, suy ra x = 0 là nghiệm
Box Toán học 26
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b)
Nếu x ≥ 1 thì:
x4 < y4 < (x + 1)4 (vô lí)
Nếu x ≤ 1 thì:
x4 > y4 > (x + 1)4 (vô lí)
Do đó x = 0
c)
Tương tự câu a)
B42
√
1− 2x +√1 + 2x = x2 + 2
Giải:
Khi đó ta có:
x2 + 2 ≥ 2
√
1 + 2x +
√
1− 2x ≤ 2
√√√√1 + 2x + 1− 2x
2
= 2
⇒ √1− 2x +√1 + 2x = x2 + 2⇔ x = 0
B43
(2x2 + 2)2 = 4y2 − 3
Giải:
(2x2 + 2)2 + 3 = 4y2
Ta thấy: (2x2 + 2)2...4
4y2
...4
Mà 3 6 ...4 nên phương trình vô nghiệm
B44
x3y2 = −8
x9 + y6 = 56
Giải:
Box Toán học 27
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Đặt:
x3 = a và y2 = b (y ≥ 0)
Hệ trở thành:
ab = −8
a3 + b3 = 56
a = −2
b = 4
Tới đây ta thay vào và giải ra.
B45
√
x− 2 +√4− x +√2x− 5 = 2x2 − 5x (1)
ĐK:
5
2
≤ x ≤ 4
(1) ⇔ √x− 2− 1 +√4− x− 1 +√2x− 5− 1 = 2x2 − 5x− 3
⇔ x− 2− 1√
x− 2 + 1 +
4− x− 1√
4− x + 1 +
2x− 5− 1√
2x− 5 + 1 = (x− 3)(2x + 1)
⇔ (x− 3)( 1√
x− 2 + 1 −
1√
4− x + 1 +
2√
2x− 5 + 1 − 2x− 1) = 0
⇔ x = 3
B46
√
13x2 + 17x + 7 +
√
7x2 + 8x + 13 +
√
x2 − x + 19 = 3√3(x + 2)
Giải:
V T =
√√√√(x− 1)2 + 75
4
+
√
(2x− 1)2 + 3(x + 2)2 +
√√√√1
4
(2x− 1)2 + 3
4
(4x + 3)2
≥
√
75
2
+
√
3|x + 2|+
√
3
2
|4x + 3| ≥ 3
√
3(x + 2) = V P
Như vậy phương trình có nghiệm x =
1
2
B47
y3 − 9x2 + 27x− 27 = 0 (1)
z3 − 9y2 + 27y − 27 = 0 (2)
x3 − 9z2 + 27z − 27 = 0 (3)
Giải:
Box Toán học 28
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Từ hệ ta có: x, y, z ≥ 3
3
√
4
>
3
2
Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y (do vai trò bình đẳng)
Trừ phương trình (1) và (2) theo vế:
y3 − z3 = 9(x− y)(x + y)− 27(x− y) = 9(x− y)(x + y − 3) ≥ 0
⇔ y ≥ z Tương tự: Từ (2) và (3) ta được:
z ≥ x↔ y ≥ x
Mà theo giả thiết thì x ≥ y nên x = y
Như vậy ta được x = y = z
Thế vào ta được: x = y = z = 3
B48
Tìm k để phương trình sau có nghiệm:
(x2 + 2)[x202x(2k − 1) + 5k2 − 6k + 3] = 2x + 1
Giải:
Phương trình tương đương:
(x2 + 2)[x2 − 2x(2k − 1) + (4k2 − 4k + 1) + (k2 − 2k + 1) + 1] = 2x + 1
⇔ (x2 + 2)(x2 − 2k + 1) + (x2 + 2)(k − 1)2 + (x− 1)2 = 0
⇔ x = k = 1
B49
√
x2 − 4x + 5−√x2 − 2x + 4 = √x2 + 4x + 7−√x2 + 2x + 8
Giải:
√
x2 − 4x + 5 +√x2 + 2x + 8 = √x2 + 4x + 7 +√x2 − 2x + 4
sqrtx2 + 4x + 7− (2x− 1)+
√
x2 − 2x + 4− (2x− 1) = √x2 + 4x + 7+√x2 − 2x + 4
Đến đây ta xét:
x =
1
2
là nghiệm của phương trình
Box Toán học 29
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
x >
1
2
thì 2x− 1 > 0 dẫn đến V T > V P (vô nghiệm)
x <
1
2
thì 2x− 1 < 0 dẫn đến V T < V P (vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x =
1
2
B50
a) Tìm tất cả các số nguyên không âm x,y sao cho:
(y + 1)4 + y4 = (x + 1)2 + x2
b) Cho phương trình
m
√
x6 + 1 = 3(x4 + 2)
c) Giải phương trình:
x4 + (x− 1)(x2 − 2x + 2) = 0
Giải:
a)
(y + 1)4 + y4 = (x + 1)2 + x2
(y2 + y + 1)2 = x2 + x + 1
Vì x ≥ 0 nên x2 < x2 + x + 1 ≥ (x + 1)2 ⇔ x = 0⇔ y = 0
b)
Áp dụng AM-GM ta có:
6
√
x6 + 1 ≤ 3(x4 + 2)
Dấu bằng xảy ra:
√
x2 + 1 =
√
x4 − x2 + 1[
x = 0x
√
2 Phương trình có đúng 2 nghiệm khi m = 6
c)
x4 + (x− 1)(x2 − 2x + 2) = 0
⇔ (x2 + 2x− 2)(x−x + 1) = 0
⇔ Phương trình tích
B51
Box Toán học 30
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
a)

1− 12
y + 3x
=
2√
x
1 +
12
y + 3x
=
6√
y
b)

3x3 − y3 = 1
x + y
x2 + y2 = 1
c)

x3 + 4y = y3 + 16x
y2 + 1 = 5(x2 + 1)
Giải:
a) (1)+(2)⇔ 1 = 1√
x
+
2√
y
⇔ (1− 1√
x
)2 =
9
y
⇔ y 9x
(
√
x− 1)2
Thay vào (1) sẽ giải ra.
b) (1)+(2):
(3x3 − y3)(x + y) = (x2 + y2)2
⇔ (x− y)(2x + 2y + 3x2 + 3xy2) = 0
⇔

x = y
2x + 2y + 3x2y + 3xy2 = 0
c)
x3 + 4y = y3 + 16x
y2 + 1 = 5(x2 + 1)
⇔

x(x2 − 16) = y(y2 − 4)
y2 − 5 = 5x2