Toán 9 - Bài tập về cung chứa góc

BÀI TẬP VỀ CUNG CHỨA GÓC
Kiến thức cần nhớ:
* Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc không đổi là hai cung tròn chứa góc .
a) cùng nhìn đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F thuộc một đường tròn đường kính AB.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN) . Các tia AM và BN cắt nhau ở I . Các dây AN và BM cắt nhau ở K.
 a) Tính góc MIN và góc AKB.
 b)Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí .
 c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB .
 d) AB và IK cắt nhau tại H. Chứng minh HA.HB = HI.HK . 
 e)Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất ? Tính giá trị diện tích lớn nhất đó theo R . 
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , C là điểm chính giữa của cung AB . M là một điểm chuyển động trên cung CB . Gọi H là hình chiếu của C trên AM . Các tia OH và BM cắt nhau tại I . Tìm quỹ tích các điểm I . 
 Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định . Một điểm C chạy trên đường tròn . Kẻ CD vuông góc với AB . Trên OC đặt một đoạn OM = CD . Tìm quỹ tích các điểm M 
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó .Vẽ hình vuông BMDC ở ngoài tam giác AMB .Tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn cắt CD ở E .
Chứng minh AB = BE .
 Tìm quỹ tích các điểm C .
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác . M ,N là các tiếp điểm trên các cạnh AC , BC . Gọi H là giao điểm của AI và MN . Chứng minh rằng điểm H thuộc đường tròn đường kính BI .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD . Tia phân giác của góc D cắt các đường thẳng AB , BC theo thứ tự ở I , K . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK . Chứng minh rằng 
 a) OB ^ IK
 b) Điểm O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định , M là một điểm chạy trên đường tròn . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB . Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy trên đường tròn (O) . 
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Kiến thức cần nhớ
* Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 * Tứ giác ABCD có A, B, C, D (O) 
 ABCD là tứ giác nội tiếp (O).
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác ABCD có: DAB và BCD đối nhau
 DAB + BCD = 1800
 => Tứ giác ABCD nội tiếp 
b) Tứ giác ABCD có DAC = DBC = α
 Tứ giác có hai đỉnh A và B kề nhau cùng nhìn cạnh CD dưới 1 góc α => Tứ giác ABCD nội tiếp.
c) Tứ giác ABCD có: DAC = DBC = 900 
=> A, B cùng thuộc đường tròn đường kính CD
=> Tứ giác ABCD nội tiếp	
d) Tứ giác ABCD có: xCB là góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C: xCB = A
= > Tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) , M là điểm chính giữa của cung AB nối M với D ,M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn
Bài 2 : Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O') ở D. Tia CA cắt đường tròn (O') ở I, tia DA cắt đường tròn (O) ở K.
 a) Chứng minh: tứ giác CKID nội tiếp được đường tròn
 b) Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh ba điểm A, M, B thẳng hàng.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là điểm trên đường tròn, C là điểm nằm giữa A và B. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến của đường tròn (O) kẻ từ A và B lần lượt ở E và F. Chứng minh:
 a) Tứ giác AEMC và BCMF là các tứ giác nội tiếp.
 b) Tam giác ECF vuông ở C.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính IC cắt BC ở E, cắt BI ở D (D khác I). Chứng minh:
 a) Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.
 b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
 c) Ba đường thẳng AB, CD, EI đồng quy
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB', CC'
 a) Chứng minh tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp
 b) Tia AO cắt đường tròn (O) ở D cắt B'C' ở I. Chứng minh tứ giác BDIC' là tứ giác nội tiếp.
 c) Chứng minh: OA vuông góc với B'C'
Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh BC và CD sao cho MAN=450. AM và AN cắt đường chéo BD theo thứ tự ở P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh:
 a) Tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
 b) Tam giác AQM là tam giác vuông cân
 c) AH vuông góc với MN
Bài 7: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau ở E. Biết AE. EC = BE. ED. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Vẽ đường tròn (O1) đi qua B và D, tiếp xúc với AB ở B. Vẽ đường tròn (O2) đi qua C và D tiếp xúc với AC ở C. Hai đường tròn này cắt nhau ở điểm E ( khác điểm D). Chứng minh:
 a) Điểm E thuộc đường tròn (O)
 b) Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì các đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với cạnh AB ở D, với cạnh BC ở E. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AI ở F. Chứng minh:
 a) Tam giác ACF cân.