Toán 8 - Chuyên đề: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
+ ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu thì min y = a khi f(x) = 0.
Nếu thì max y = a khi f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
Giải:
a) 
 Min A = 10 khi .
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c) 
 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2
 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = 5 – 8x – x2
B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
 Max A = 21 khi x = -4. 
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7
 Max B = 7 khi x = 1, .
Bài toán 3: Tìm GTNN của:
Giải:
a) 
 Ta có: 	
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay 
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi .
b) 
Đặt thì t 0
Do đó N = t2 – 3t + 2 = .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Do đó khi 
Vậy min hay .
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2	
Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó và 
Ta có: và 
Do đó và dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của 
Bài toán 5: 	Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
 (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: 	t2 – 3t + 1 ≤ 0
Vì t = x2 + y2 nên :
	GTLN của x2 + y2 = 
	GTNN của x2 + y2 = 
Bài toán 6: 	Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì )
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0;
 (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0
 P = a + b + c – ab – bc – ac 
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 
Vậy GTLN của P = 1.
Bài toán 7:	Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 
2(x2 + y2) (x + y)2
Mà 	x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 
- Xét 
	Dấu “=” xảy ra 
- Xét 
	Dấu “=” xảy ra 
	Vậy x + y đạt GTNN là .
Bài toán 8: 	Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 
 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81
 x + y + z 9 (1)
Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2)
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36.
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 
Vì B 27 -14 P -14
Vậy min P = -14 khi 
Hay .
Bài toán 9: 	
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101
= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
và dấu “=” xảy ra x + y = và xy = 2.
Vậy GTNN của P = 45 x + y = và xy = 2.
Bài toán 10: 
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
Ta có: x + y = 2 y = 2 – x 
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + 4 – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4
= 2(x – 1)2 + 2 2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài toán 1: 
Tìm GTLN và GTNN của: .
Giải:
* Cách 1: 
Ta cần tìm a để là bình phương của nhị thức.
Ta phải có: 
- Với a = -1 ta có: 
 Dấu “=” xảy ra khi x = -2.
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi x = .
Vậy GTLN của y = 4 khi x = .
* Cách 2: 
Vì x2 + 1 0 nên: (1)
y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm
- Nếu y = 0 thì (1) 
- Nếu y 0 thì (1) có nghiệm 	 
 hoặc 
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x = .
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: .
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
 (1)
Do x2 + x + 1 = x2 + 2..x + 
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là , tức là:
Với hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là 
Với thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của khi và chỉ khi x = 1
GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3: 
Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Cho m, n là các số nguyên thỏa . Tìm GTLN của B = mn.
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
 (vì ab = 1)
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và .
Ta có: (a + b) +
Mặt khác: 
Suy ra: 
Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương.
Ta có: 
Vì m, n N* nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1.
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
+ và B = mn = 2.12 = 24
+ và B = mn = 3.6 = 18
+ và B = mn = 6.4 = 24
	Vậy GTLN của B = 24 khi hay 
Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:
Ta có thể viết: 
Do x > y và xy = 1 nên: 
Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 
Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0)
Từ đó: 
Vậy GTNN của A là 3 	
 hay Thỏa điều kiện xy = 1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: .
Giải:
Ta có thể viết: 	
Vì . Do đó ta có: . Dấu “=” xảy ra .
Vậy: GTLN của tại 
Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:
Ta có thể viết: 	
Vì t > 0 nên ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
	Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại .
Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:
Ta có thể viết: 
g(t) đạt GTNN khi biểu thức đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN
Ta có: t2 + 1 1 min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 min g(t) = 1 – 2 = -1
Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:
Đặt 
Do đó: 
Tương tự: 	y + z = a(b + c)
z + x = b(c + a)
Ta có: (1)
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
Khi đó, 
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
 GTNN của E là khi a = b = c = 1.
Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 (*).
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: .
Giải:
Từ 	a(2x+y+z) = 2x+3y
2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)
Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] 
=>	 (vì 4x2+y2 = 1)
Do đó ta có: 
 (Vì a + 5 > a – 1) 
* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1
 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 (x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
Thay vào (*) ta được: 	
Vậy 	GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.
	GTNN của a là -5 khi .
Bài toán 10:
Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
M = 
Giải:
Ta có: M = 
 	 = 
 = 4 + x2 + y2 +
Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:
Mà x + y = 1 nên 1 (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ngoài ra ta cũng có:
 (vì x + y = 1)
 (2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Từ (1) và (2) cho ta:
Do đó: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi 
Vậy GTNN của khi và chỉ khi .
* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.
Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: .
Giải:
* Cách 1:
Điều kiện: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Chọn với 
Ta có: 
Vì y > 0 nên ta có: 
	Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
* Cách 2:
Ta có: 
Điều kiện: 
Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.
Ta có: 
Do nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: 
Do đó 
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn điều kiện).
Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: .
Giải:
GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và ( ta có:
=> y 
Dấu “=” xảy ra <= hay 
=> x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTLN của y là10 khi x = 
* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = 
= 
Đặt: A = thì t2 = 4 + 2 4
=> A và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5
Vậy y 3 . 2 + 0 = 6
Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5
Tìm GTNN của biểu thức: M = 
Giải:
M = = 
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
M = 	
=> M 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0
 1994 
Vậy GTNN của M = 1 ó 1994 
Bài toán 4: 
Tìm GTNN của B = 3a + 4 với -1
Giải:
B = 3a + 4
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
=> B 
=> Do đó B và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
 a = 
Vậy GTNN của B = 5 a = 
Bài toán 5:
Tìm GTNN của biểu thức:
A = 
Giải:
Điều kiện: 
 -(x-1)2 + 8 
Với điều kiện này ta viết:
=> 2 + 
Do đó:
Vậy A và dấu “=” xảy ra x -1 = 0
 x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN của A = 
Bài toán 6: 
Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
Điều kiện: 1 – x2 > 0 x2 - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A ó A2 đạt GTNN.
Ta có: A2 = 
Vậy GTNN của A = 4 khi 
Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y 
Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
Điều kiện: 1 – x2 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 và 1 – x2 
Ta có: x2 + 1 – x2 
 1
Vậy GTLN của A = khi x = hay x = 
Bài toán 8:
Tìm GTLN của biểu thức: y = 
Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996 
Vì y với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x
 x = 1997
Do đó y2 
Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997
Bài toán 9:
Cho . Tìm GTLN của biểu thức y = x + 
Giải:
Ta có: = x + 2 
Vì 0 nên 1 – x 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: và (1 – x) cho ta:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của y là tại x = 
Bài toán 10:
Cho M = 
Tìm TGNN của M
Giải:
M = 
 = 
 = 
Điều kiện để M xác định là a – 1 
Ta có: 
Đặt x = điều kiện x 
Do đó: M = 
Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x thì 
 Và 
 => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 
 Vậy x < 2 thì M 
2) Khi x thì và x-4=x-4
 => M = 
 Vậy x > 4 thì M 
3) Khi 2 < x < 4 thì và 
 => M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)
 Trong trường hợp này thì: 2
 4
 5
Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN của M = 2 tương ứng với: 
D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x 
hoặc x .
Gợi ý: 
- Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1
- Kết luận: Min A = 2 x = 3 
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = nhưng giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7.
Bài 2:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để có giá trị nhỏ nhất
Gợi ý: 
 = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có:
 = 
=> Min ( với m = 
Bài toán 3:
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y và thế vào E
Bài toán 4: 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8
 A + (x – y)2 = 8
	 Max A = 8 khi x = y
Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy
 3A = 8 + (x + y)2 
 => A min A = khi x = - y 
Bài toán 5: 
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. 
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki
(x +2y)2 (12 + 12) = 50
Vậy Max M = khi x = 
Min M = -5 khi x = - ; y = - 
Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A = 
Gợi ý: 
Từ (x2 – y)2 
 => 
Tương tự: 
 => A => Max A = 1 khi 
Bài tóan 7:
Tìm GTNN của biểu thức: 
A = 
Gợi ý: 
B = Min B = 2 khi - 1
Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:
B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.
Gợi ý: 
Biểu diễn B = 
=> GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - 
Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45
Gợi ý: 
Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý: 
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2
=> GTLN của E = 10 ó y = 2 ; x = 3
Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 
Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki 
Max P = 65 khi 
Bài toán 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
Với x 
A = 
Với mọi x
B = 
 Với mọi x
C = 
Gợi ý: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
A = (x + 2) + 
 b) B = (vì 
 c) C = Min C = - 1 khi x = 0 
Bài toán 13: 
Tìm GTNN của biểu thức A = 
Gợi ý: 
A = 
= 
Vậy Min A = Khi x = 2000
Bài toán 14:
Tìm GTNN của biểu thức:
P = 
Gợi ý:
Biểu diễn P = 4 (áp dụng BĐT Côsi)
=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài toán 15: 
Tìm GTNN của A = với x > 0
 B = với x > 1
 C = 
 D = với x > 0
 E = với 0 < x < 1
 F = với x > 1
Gợi ý: 
 A = x+ (vì x > 0)
=> Min A = 8 khi x = 2
 B = (vì x > 1)
=> Min B = 4 x = 2 
 C = 
 D = (1 + x) (vì x > 0)
 E = 
 F = 
 = => Min F = khi x = 3.
Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
 	P = 
Gợi ý: 	
P = 9 - 
	P = 9 - 
Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10
 Tìm GTNN của biểu thức S = 
 Gợi ý: S = = 
 S có GTNN x(10-x) có GTLN x = 5.
 => GTNN của S = khi x = y = 5.
Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
 E = 
Gợi ý: 
 Ta có E > 0 với mọi x
 Xét E2 = 2 (x2 + 1 + 
	 => Min E = 2 khi x = 0
Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a ; a + b 
 Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý: 
 a+ b (vì a
 => 132 
 => Min S = 13
Bài 20: 
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0
Tìm m để cho đạt GTNN.
Gợi ý:
 phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Theo định lý vi-ét ta có:
 Do đó m
 GTNN của là 2 khi m = 
Bài 21: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 y = 
Gợi ý: 
 y = + + 
Ta có: nhỏ nhất bằng 1997 khi x 
 nhỏ nhất bằng 1995 khi x 
 nhỏ nhất bằng 1 khi x 
Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + + 1997 
Số các số hạng của 1 + 3 +  + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999
Vậy Min y = 9992 khi 999 
Bài 22:
Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng:
 (2)
(1)
Gợi ý: 
Theo giả thiết: 	x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
 => 2M = 122 + t2
Do đó 2M 
Vậy Min M = 61 khi t = 0
Từ (1) => x > y 
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3
Từ (2) => 3y2 
Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4
Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0
Bài 23: 
Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 (1)
Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: 
a) Đạt GTNN. 
b) Đạt gía trị lớn nhất.
Gợi ý: 
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì:
m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2)
Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a.
a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0
Để tồn tại a thì 
Giải điều kiện này được m4 - m2 m(m – 1) 
Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1
Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2
Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = 
Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x
Đặt a = => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1)
a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm.
- Nếu a = 1 thì (1) x = 
- Nếu a 1 thì (1) có nghiệm 
Min A = với x = với x = 
Bài 25: 
 Tìm GTNN, GTLN của A = 
Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y 
	 ( (đặt )
Giải tương tự bài 24 được: 
Còn với y = 0 thì A = 1
Do đó: Min A = với x = y ; max A = 3 với x = - y 
Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
 Q = a3 + b3 + ab
Gợi ý: 
Với Q dưới dạng Q = (a + b) 
 = 1 – 2ab = 1 – 2a (1 – a)
 => Q = 2a2 – 2a + 1 
Do đó: Min Q = khi a = b =