Toán 8 - Chuyên đề II: Số nguyên tố

CHUYÊN ĐỀ II. SỐ NGUYÊN TỐ
I. SỐ NGUYÊN TỐ:
1. Lí thuyết: 
 Để kiểm tra một số nguyên a dương có là số nguyên tố hay không ta chia số nguyên tố từ 2 đến . Nếu tất cả phép chia đều có dư thì a là số nguyên tố.
Ví dụ 1: Để kiểm tra số 647 có là số nguyên tố hay không ta chia 647 lần lượt cho các số 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. các phép chia đều có dư khi đó ta kết luận số 647 là số nguyên tố.
Ví dụ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số tự 
 nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó.
Giải:
Các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ 3 số 1; 2; 3 là: 27 số
 111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133; 
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233
311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;
Ví dụ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết cho 2. 
 Hãy tính các số n, k, m.
Giải:
Ví dụ 4
Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi thùng thứ nhất ; thùng thứ hai và thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau. Tính số táo lúc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông : 
Thùng thứ nhất là 60 
Thùng thứ hai là
Thùng thứ ba là 
Giải:
Gọi số táo của 3 thùng lần lượt là: a; b; c (quả) Điều kiện 
Theo bài ra ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình này ta được: a = 60 ; b = 80; c = 100
Vậy Thùng thứ nhất có 60 (quả); Thùng thứ hai có 80 (quả); Thùng thứ ba có 100 (quả).
	2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
|a| |shift| |sto| |A| 
xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản) 
lấy A chia cho 3: A/3 = 
Ấn tiếp: A/(A/Ans+2) 
Sau đó ấn = = = ... để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng.
II. Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):
Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất (không tính đến việc sắp xếp các nhân tử) dưới dạng:
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.
Bài 1: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 2152 + 3142
H. Dẫn:
- Tính trên máy, ta có: A = 144821
- Đưa giá trị của số A vào ô nhớ : 144821 
- Lấy giá trị của ô nhớ lần lượt chia cho các số nguyên tố từ số 2:
 2 (72410,5)
 3 (48273,66667)
....
tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13,...,91: ta đều nhận được A không chia hết cho các số đó. Lấy A chia cho 97, ta được:
 97 (1493)
Vậy: 144821 = 97 x 1493
Nhận xét: Nếu một số n là hợp số thì nó phải có ước số nguyên tố nhỏ hơn .
Þ để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn hay không.
- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn 40 Þ 1493 là số nguyên tố.
Vậy A = 2152 + 3142 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493.
Bài 2: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 10001 
Đáp số: A có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 73, lớn nhất là 137
Bài 16: Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ?
Giải:
- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3
- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố:
 2 và 3 là: 7x5 = 35; 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15
- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105
Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192.
III. Định lí 2 (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):
Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó số ước số của n được tính theo công thức:
t (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.
Giải:
- Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được:
A = 210.35.52.7.11.13
Áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:
t (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
Bài 4: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004):
Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:
 N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Giải:
- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta được:
 N = 25 x 34 x 55 x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977
Áp dụng định lí 2, ta có số các ước dương của N là:
t (N) = 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080