Toán 8 - Chuyên đề 6: Tìm só dư khi chia A cho B

CHUYÊN ĐỀ 6
TÌM SÓ DƯ KHI CHIA A CHO B.
CÁC DẠNG CƠ BẢN 
	1. Số bé hơn 10 chữ số 
	2. Số lớn hơn 10 chữ số 
	3 . Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số tự nhiên 
	4 .
	5. 
	6. 
	PHƯƠNG PHÁP VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
	1. Dùng quan hệ chia hết , chia có dư 
	2 . Kiến thức về lũy thừa
	3. Kiến thức về đồng dư .
	4. Kiến thức về phần nguyên .
	5. 
	6. 
	7. 
I. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN
a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
9124565217 cho 123456
987896854 cho 698521
b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
983637955 cho 9604325
903566896235 cho 37869.
1234567890987654321 : 123456
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
Vậy 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài tập thực hành:
1. Tìm số dư của phép chia :
138 cho 27
2514 cho 65
197838 cho 3878.
20059 cho 2007
715 cho 2001
II. Số d của phép chia A cho B là: : 
(trong đó: là phần nguyên của thương A cho B)
1 . Các ví dụ . 
Ví dụ 1: Tìm số d của phép chia 22031234 : 4567 
 Ta có: 
 Đáp số : 26
Ví dụ 2: Tìm số d của phép chia 22031234 cho 4567 
 Ta có: 
 Đáp số : 26
 VD3 : a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321 
 b) dư r1 trong chia 186054 cho 7362
 c) Tìm số dư r2 trong chia cho 
	 d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 . 
 Tìm r1 và r2 ?
Giải:
 a) Ta có: 
 Đáp số : r =7
VD4: 
 a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 
 Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 
b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
 Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
 c) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567
Giải:
Qui trình tính số d khi chia 20052006 cho 2005105
 Số d của phép chia A cho B là: 
 Ta làm nh sau: ấn 2005105 = Ta có kết quả 
 Lấy - = Ta đợc kết quả: 956
 Vậy số d của phép chia là: 956
2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b:
21.Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ¹ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho:
a = bq + r và 0 £ r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:
+ Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ , số b vào ô nhớ 
+ Bước 2: Thực hiện phép chia cho {ghi nhớ phần nguyên q}
+ Bước 3: Thực hiện q = r
Bài 1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975
b) Tính số dư
c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó.
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 3041975 
 (6,213716089)
 6 (650119)
b) Số dư là: r = 650119
c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240
Bài 2: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)
Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456
Đáp số: q = 5263; r = 7861
Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm số dư trong phép chia: 
a) 987654321 cho 123456789
b) 815 cho 2004
H.Dẫn:
a) Số dư là: r = 9
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732
- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968
 Þ Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004 
Þ Số dư là: r = 1232
2.2. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó:
ak º ak + l (mod m) (1)
Với mọi n ³ k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được:
 an º an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ?
Giải: Ta có: 
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 º 3 (mod 5), 24 = 16 º 1 (mod 5) (1)
Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được:
25 = 24.2 º 1x2 º 2 (mod 5)
26 = 25.2 º 2x2 º 4 (mod 5)
27 = 26.2 º 4x2 º 3 (mod 5)
...
Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
3
1)
(2
4
3
1)
(2
4
3
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên.
Bài 4: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Giải:
* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài 5: Tìm chữ số cuối cùng của số: 
Giải:
- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau:
1 2 
 1 ...)
ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...
(2
4
8
6)
(2
4
8
6)
(2
4
8
...
Þ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 º 1 (mod 4) Þ số dư khi chia cho 10 là 2
Vậy chữ số cuối cùng của số là 2.
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: 
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212
2
(4
8
16
32
64
28
56
12
24
48
96
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
92
84
68
36
72
44
88
76
52)
(4
8
16
Þ các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:
1999 º 19 (mod 20) Þ số dư khi chia 21999 cho 100 là 88
2000 º 0 (mod 20) Þ số dư khi chia 22000 cho 100 là 76
2001 º 1 (mod 20) Þ số dư khi chia 22001 cho 100 là 52
88 + 76 + 52 = 216 º 16 (mod 100)
Þ số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.
II. CÁC BÀI TOÁN 
Bài 1: Tìm số dư trong mỗi phép chia sau rồi điền kết quả vào ô trống:
a) 19001989 : 2008 b) 
BÀI 2: VIẾT MỘT QUI TRÌNH BẤM PHÍM ĐỂ TÌM SỐ DƯ KHI CHIA 
	63819690 CHO 9122006 . 
Bài 3: Tìm số dư trong các phép chia sau:
 a) 1234567890987654321 chia cho 207207 b) chia cho 2007 
Bài 4.Chia 143946 cho 23147.
 a) Viết quy trình bấm phím để tìm số d của phép chia đó.
 b) Tìm số dư r của phép chia. c) Tìm số dư r trong phép chia 2007157 cho 1999
Bài 5: Tìm số dư a = 3356 cho 737 
Bài 6 : Tìm dư trong phép chia 200720082009 chia cho 20082009
Bài 7:Lập quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia a=1357911131517cho b= 2468
Bài 8. Tìm số dư khi chia 122007 cho 2008.
Bài 9: Tìm số dư trong phép chia cho
Bài 10: Tìm số dư khi : a) 333 cho 7 b) 17762003 cho 4000
Bài 11: Chia 6032002 cho 1905 dư r1, chia r1 cho 209 dư r2.Tìm r2?
Bài 12:Tìm số dư trong phép chia : a) 1234567890987654321:123456
 b) 715 :2001. c) Tìm số dư trong phép chia 520 cho 19.
Bài 13 Tìm số dư khi 717 chia cho 2005.
Bài 14a)Viết quy trình bấm phím để tìm số dư khi chia 18901969 cho 2382001.Tìm số dư đó.
 b) Viết quy trình bấm phím tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047.Tìm số dư.
Bài 15: Chia 143946 cho 23147.
 Viết quy trình bấm phím để tìm số dư của phép chia đó.
Tìm số dư của phép chia đó.
Bài 16: Tìm số dư trong phép chia : 1. 1234567890987654321:123456
 2. 715: 2001
Bài17: Tìm số dư khi chia 39267735657 cho 4321.
Bài 18: Chia 19082002 cho 2707 có số dư là r1. Chia r1 cho 209 có số dư là r2. 
Tìm r2.
Bài 19: Viết quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia sau. 26031931 cho 280202.
Bài 20: Viết quy trình tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989.
Bài 21: Viết quy trình tìm phần dư của phép chia 19052002:20969.
Bài 22: Tìm số dư khi chia 39267735657 cho 4321.
Bài 23: Tính phần dư của các số 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 710; 711khi chia cho 13 và điền vào bảng sau.
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
710
711
Số dư
Bài 24:1. Viết một quy trình tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001.
 2.Tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001.
 3. Nêu một phương pháp tìm số dư khi chia 200220022002 cho 2001.
 4. Tìm số dư khi chia 200220022002 cho 2001.
Bài 25 : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
 1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521
Bài 26: Viết quy trình tìm số dư và tìm số dư của phép chia
	a, 3523127 chia 2047	ĐS : 240
	b, Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho (3456789 + k) chia hết cho 1234
	ĐS : Số dư là : 355 .vậy số k là : 1234 - 355 = 879
	c, 103200610320061032006 chia 2010 (tách số )	ĐS : 396
	d, 124567890987654321 chia 123456	 (tách số )	ĐS : 8817
Bài 27: Tìm số dư của phép chia
	a, 715 chia 2001	ĐS : 1486
	b, 92007 chia 33	 
Bài 28: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975
b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó.
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 3041975 
 (6,213716089)
 6 (650119)
b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240
Bài 29: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)
Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456
Đáp số: q = 5263; r = 7861
Bài 30: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm số dư trong phép chia: 
a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004
H.DẪN:
a) Số dư là: r = 9
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732
- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968
 ị Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004 
ị Số d là: r = 1232
Bài 31: Tìm số dư của 1112 cho 2001.
Bài 32:Tìm số dư trong phép chia a cho b:
1/ a=736; b=2003.	2/ a=7218 ; b=2009.363
3/ a= 1318+1320; b=6954 4/ a=1358+2475 ; b= 3311
Bài 33: Chứng minh rằng 1318-1 chia hết cho 6954.
Bài 34:Tìm số dư trong phép chia 56758966395349 cho 5675
Bài 35: Tìm số dư trong phép chia sau:
506507508 : 2006 2)506507508506507508 : 2006
Bài 36:A = 20052006 chia cho 6 dư mấy
Bài 37 :
Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 
Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 
Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
d) Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
Bài 38: a.Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25 
 b. Tìm số dư r khi chia 17762003 cho 4000 
Bài 39: a)Tìm số dư của phép chia sau:
	1)1357902468987654321 : 20072008	2).
 b)Chứng minh rằng:
 	2)
Bài 40: Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 . Tìm r1 và r2 ?
Bài 41 : a)Tìm số dư r1 khi chia 1234567890987654321 cho 60027002
 b)Tìm số dư r2 khi chia 1313 cho 2007
Bài 42. Tìm số dư trong phép chia 70286197 cho 200817
Bài 43: Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13
Bài 44:Tìm dư trong phép chia cho 49
Bài 45: Tìm số dư trong phép chia sau a) cho 2009 b) 12345678901234 cho 4567
Bài 46: Chia số 1505193115052008 cho 2008 được dư là r1, rồi chia r1 cho 11 được dư là r2. Tìm r2 
Bài 47.Cho A = 2100 + 2101 + 2102 + .... + 22007. Tìm dư khi chia A cho 2007.
 Đáp số:1557
Bài 48: Tìm số dư khi chia cho 293 
 ĐS : 52
Bài 49. Tìm số dư của phép chia a) 1213 cho 49; b) 9872 + 4563 cho 2007.
KQ: a) 26; b) 882.
Bài 50. Tìm số dư của phép chia: cho .
Bài 51: Tìm số dư trong phép chia 717 : 2008
BT 52 Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta có:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là:
.
BT 53 
Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Vậy số dư của phép chia cho là .
BT54 Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Vì là số nguyên tố và .
Nên ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
BT55. Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Cách 1:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Cách 2:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .