Toán 8 - Chuyên đề 5: Tìm số thập phân thứ n sau dấu phảy

CHUYÊN ĐỀ 5
TÌM SỐ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẢY
Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
 17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì 
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2: 
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
	307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 ()
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
Ví dụ 2:
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19
Bước 1: 
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. 
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là 
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 4: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...
 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có 
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.
Kết quả : số 8
Bài tập:
Bài 1: 
Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
1 chia cho 49
10 chia cho 23
Bài 2: 
Tìm chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy trong phép chia 
 b) Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào? 
 c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61 
 d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17 
Giải:
a) Ta có 
Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19
Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là: 
 89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )
Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 10-8
Tính tiếp 4 × 10-8 ÷ 19 = 2.105263158 × 10-9
Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315
4 × 10-8 – 19 × 210526315 × 1017 = 1.5 × 10-16
1,5 × 10-16÷ 19 = 7.894736842 × 10-18
Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684
Vậy : 
Kết luận là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia cho 18
Số dư khi chia cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập phân.
Ta có : 
Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu 
kì gồm 18 chữ số thập phân .
Kết quả : số 8
b) (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dơng)
 Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào? 
Giải:
1 chia cho 49 ta đợc số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ gồm 42 chữ số 0,(020408163265306122448979591836734693877551) vậy chữ số 2005 ứng với chữ số d khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do đó chữ số 2005 ứng với chữ số thứ 31 là số
 c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61 
 d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17 
Giải:
Bài 3: 
a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994
b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của . ĐS : 743
c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của .
d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x8 trong triển khai (-x3 + x2 + 1)9. 
 Tính tổng các chữ số của a5.
Bài 4 : Tìm số thập phân thứ n sau dấu phẩy của số hữu tỉ
Bài tập:a,Tìm số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy của phép chia13 cho 23 ĐS:9
b,Tìm số thập phân thứ 2007 và 2008 sau dấu phẩy của phép chia 3 cho 26
c,Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia250000 cho 19 
Giải : 
Chĩ ý: - Cách giải sau hơi dài nhưng ta có thể tham khảo vì đây hoàn toàn sư dụng bằng máy tính bỏ tui. ( Cách này áp dơng cho số vô ti được . VD tìm số thập phan thứ 17 và 18 của số 
 - Cách giải ngắn gọn là dùng lý thuyết đồng dư ( Chỉ áp dụngđược cho số hữu tỷ )
Ta cú 
Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ sau dấu phẩy trong phép chia 17cho 19
Ấn 17:19=0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:89473684 (không lấy số thập pâõn cuối cựng vỡ cú thể mỏy đó làm trũn)
Ta tính tiếp 17– 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 
Tính tiếp 4×÷19 = 2.105263158 × 
Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315
4 × – 19 × 210526315 × =1.5 × 
1,5 × ÷ 19 = 7.894736842 × 
Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684
Vậy : . . .
Kết luận là số thập phõn vụ hạn tuần hoàn cú chu kỡ là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tỡm số dư khi chia cho 18
Số dư khi chia cho 18 chớnh là số cú thứ tự trong chu kỡ gồm 18 chữ số thập phõn.
Ta cú : 
Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tỡm là số đứng ở vị trớ đầu tiờn trong chu kỡ gồm 18 chữ số thập phõn .
Kết quả : số 8
ĐS : 8
Bài 5 : Tìm 3 chữ số cuối cùng bên phải cđa 73411	ĐS : 734
Ta cú
 ĐS : 743
Khi thực hành ta thực hiện phộp tớnh như sau cho nhanh
Bài 6 : Tìm 4 chữ số cuối cùng bên phải cđa 8236	ĐS : 2256
Dễ thấy
Và ta cú : 
Cuối cựng :