Toán 8 - Chuyên đề 4: Phép chia đa thứ

 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 1 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
Chuyên đề 4: Phép chia đa thức 
I. Kiến thức cần nhớ 
1) Chia đơn thức A cho đơn thức B (Trường hợp A chia hết cho B) 
- Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B 
- Bước 2: Chia mỗi lũy thừa của A cho lũy thừa của cùng một biến trong B 
- Bước 3: Nhân các kết quả tìm được với nhau 
2) Chia đa thức A cho đơn thức B (Trường hợp mỗi hạng tử của A đều chia hết cho B) 
- Chia các hạng tử của đa thức A cho đơn thức B rồi cộng các kết quả lại với nhau 
3) Chia đa thức một biến đã sắp xếp 
Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức một biến đã sắp xếp) ta 
làm như sau: 
- Bước 1: Đặt phép chia 
- Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của A cho hạng tử bậc cao nhất của B, giả sử được thương 
là C1 
- Bước 3: Lấy C1 nhân với B, kết quả tìm được viết dưới đa thức A sao cho các hạng tử cùng 
bậc thẳng cột với nhau, thực hiện phép trừ để tìm số dư 
- Bước 4: Đặt vai trị của số dư là số bị chia, quay trở lại bước 2 cho đến khi nhận được kết quả 
là bậc của số dư nhỏ hơn bậc của số chia 
*Với A và B là hai đa thức cùng biến tùy ý, B khác 0, luơn tồn tại 2 đa thức duy nhất Q và R 
sao cho: A = B.Q+R trong đĩ bậc của R luơn nhỏ hơn bậc của B 
Nếu R = 0 thì đĩ là phép chia hết, R khác 0 thì đĩ là phép chia cĩ dư 
4. Kiến thức bổ xung 
4.4.1) Nghiệm của đa thức 
- Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 
- Nghiệm nguyên của đa thức nếu cĩ phải là ước của hệ số tự do 
- Trong đa thức cĩ các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỷ (nếu cĩ) phải cĩ dang trong đĩ p là 
ước của hệ số tự do, q là ước dương của số hạng cao nhất 
4.4.2) Định lý Bơdu 
 Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a. 
Tức là f(x)=(x - a).g(x) - f(a) 
Hệ quả: Nếu f(a) = 0 thì f(x) (x - a) 
 Nếu f(a)  (x - a) thì f(a) = 0 
4.4.3) Phương pháp hệ số bất định 
Giả sử 
 f(x) = a3x
3
 + a2x
2
 + a1x + a0 
 g(x) = b3x
3
 + b2x
2
 + b1x + b0 
 Và nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị thì a3=b3; a2=b2; a1 = b1; a0 = b0 
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) bậc n và đa thức g(x) bậc lớn hơn n bằng nhau thì đa thức 
f(x) và đa thức g(x) đồng nhất 
4.4.4) Lược đồ Hocne 
Với đaa thức f(x) = n n-1 n-2n n-1 n-2 1 0a x +a x +a x + ... + a x +a chia cho x cĩ thương là 
g(x) = n-1 n-2 n-3n-1 n-2 n-3 1 0b x + b x + b x + ... + b x + b dư r 
Thì ta cĩ 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 2 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
 na
n-1a n-3a 2a 1a 0a 
a 
n-1b =
na 
n-2b =a n-1b +
n-1a 
n-3b =a n-2b +
n-3a 
1b =a 2b +
2a 
0b =a 1b +
1a 
r =a 0b +
0a 
II. Các dạng tốn cơ bản 
Dạng 1: Phép chia đơn thức cho đơn thức 
*Phương pháp giải tốn: Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần lí thuyết 
Ví dụ mẫu:Thực hiện phép tính 2 3 26 : 2x y x xyz 
Lời giải mẫu: 
- Bước 1: Chia phần hệ số 
 6: 2 3 
- Bước 2: Chia phần biến 
2
3 2
2
:
:
:
x x x
y y y
x z z



- Bước 3: Nhân các kết quả tìm được 2 23. . . 3x y z xy z 
Vậy 2 3 26 : 2 3x y z xyz xy z 
Bài tập áp dụng 
Bài 1: Thực hiện phép chia: 
2 3) 12 : ( 3 );a x y xy 
4 2) 2 : 5b x y z xy 
5 4 2 5 210 1) : .
3 6
c x y z x yz 
Bài 2: Thực hiện phép tính 
12 10
33 34
) 100 :100 ;
) ( 21) : ( 21) ;
a
b  
16 14
21 19
1 1
) ( ) : ( ) ;
2 2
2 2
) ( ) : ( ) .
7 7
c
d  
2) Phép chia đa thức cho đơn thức 
Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia 
 3 2 2
1
4 3 5 :
3
x x y xy x  
Lời giải mẫu: 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 3 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
 3 2 2
3 2 2
2 2
1
4 3 5 :
3
1 1 1
4 : 3 : 5 :
3 3 3
12 9 15
x x y xy x
x x x y x xy x
x xy y
 
     
        
     
  
Bài 1: Thực hiện phép chia 
a) (7.3
5
 - 3
4
 + 3
6
) : 3
4
. 
b) (16
3
 - 64
2
) : 8
2
c) (5x
4
 - 3x
3
 + x
2
) : 3x
2
d) (5xy
2
 + 9xy - x
2
y
2
) : (-xy) 
e) (x
3
y
3
 - 
1
2
x
2
y
3
 - x
3
y
2
) : 
1
3
x
2
y
2
f)      
2 3
3 2 2 :x y x y x y x y      
 
3). Phép chia đa thức cho đa thức 
3.1). Chia trực tiếp bằng cách đặt tính 
*Phương pháp giải tốn: Thực hiện theo các bước đã nêu 
Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia    3 24 6 4 : 2x x x x    
Lời giải mẫu: 
- Bước 1: Đặt tính 
- Bước 2: Lấy hạng tử 3x của đa thức bị chia cho hạng tử x của đa thức chia được 2x , lấy 2x 
nhân với đa thức chia là 2x được 3 22x x 
- Bước 3: Lấy    3 2 3 24 6 4 2x x x x x     được 22 6 4x x  
- Bước 4:Coi 22 6 4x x  là số dư, nhận thấy 22 6 4x x  cĩ bậc lớn hơn bậc của đa thức chia, 
tiếp tục thực hiện bước 2 cho đến khi bậc của dư nhỏ hơn bậc của số chia 
Trong thực hành, người ta làm như sau: 
3 2
3 2
4 6 4
2
x x x
x x
  

2x 
2
2
2 6 4
2 4
x x
x x
 

2 4
2 4
x
x


0 
2 2 2x x  
Vậy ta được    3 2 24 6 4 : 2 2 2x x x x x x       
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia    3 2 22 3 4 : 1x x x   
Lời giải mẫu: 
Ta cĩ: 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 4 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
3 2
3
2 3 4
2
x x
x x
 

2 1x  
2
2
3 2 3
3 3
x x
x
  
 
2 6x 
2 3x 
Tới đây phép chia khơng thể tiếp tục được nữa vì bậc của dư nhỏ hơn bậc của số chia 
Bài 1: Thực hiên phép chia 
a)    3 23 3 : 3x x x x    
b)    2 3 4 22 5 2 2 1 : 1x x x x x x      
c)    3 3 2 23 2 4 : 2 3x x x x x x      
d)    3 22 5 4 1 : 4 1x x x x    
Bài 2: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, biết 4 2 22; 1A x x B x x      
3.2). Chia bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử 
(Chỉ áp dụng khi phép chia đa thức đĩ là phép chia hết) 
- Cơ sở của cách làm này dựa vào khẳng định sau 
Điều kiện cần và đủ để đa thức A chia hết cho đa thức B là A = B.C với C là một đa thức, suy ra 
C chính là thương cần tìm 
*Phương pháp giải tốn 
- Dự đốn xem đa thức bị chia cĩ thể phân tích thành nhân tử trong đĩ cĩ một nhân tử là đa 
thức chia hay khơng 
- Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử và áp dụng khẳng định ở trên 
Ví dụ mẫu: Thực hiện phép chia    3 8 : 2x x  
Lời giải mẫu: 
Nhận thấy   3 28 2 2 4x x x x        3 28 : 2 2 4x x x x      
Ta cĩ: 
       
  
  
   
3 2
3 2
2
2
2
14 24
8 4 14 28
2 2 4 2 2 14 2
2 2 4 2 14
2 3 12
2 3 4
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
  
     
        
      
   
   
  2 5 6 2 3x x x x     
      3 2 214 24 : 5 6 4x x x x x x       
Bài 1: Khơng đặt tính, thực hiện phép chia sau 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 5 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
a)    3 23 4 12 : 3x x x x    
b)    3 23 4 5 : 2x x x x    
c)    8 4 21 : 1x x x x    
d)    3 2 214 24 : 5 6x x x x x     
4) Ứng dụng trong giải tốn 
4.1) Phân tích đa thức thành nhân tử 
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa 
nhân tử (xa) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu 
cĩ phải là ước của hệ số tự do 
  Nếu đa thức P(x) cĩ 1 nghiệm là x = a thì ta cĩ thể phân tích P(x) thành tích của hai 
thừa số là (x a) và Q(x) 
 P(x) = (xa).Q(x) 
Muốn tìm Q(x) ta thấy P(x) chia cho (xa). Sau đĩ phân tích tiếp Q(x) 
  Nếu đa thức P(x) cĩ hai nghiệm phân biệt là x a và x b thì ta cĩ thể phân tích đa 
thức P(x) thành tích của ba thừa số    ;x a x b  và Q(x) 
P(x) = (xa)(xb).Q(x) 
 Muốn tìm Q(x) ta hãy chia P(x) cho tích      2.x a x b x a b x ab      được thương là 
Q(x) sau đĩ phân tích tiếp Q(x 
  Nếu đa thức P(x) cĩ nghiệm kép 1 2x x a  thì ta hãy chia P(x) cho tích 
    2 2. 2x a x a x ax a     được thương là R(x) rồi phân tích tiếp R(x) ThÕ nµo lµ nghiƯm sè 
kÐp? Vậy nếu đa thức P(x) cĩ nghiệm kép 1 2x x a  thì P(x) = (xa)
2R(x). Muốn tìm 
R(x) ta lấy P(x) chia cho  
2
x a 
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 P(x) = x
3
 – 2x – 4 
Lời giải mẫu: 
P(x) = x
3
 – 2x – 4 
 Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 cĩ một nghiệm là x = 2. 
 Do đĩ ta cĩ 
 P(x) = (x – 2).Q(x) 
 Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2, ta được thương là 
 Q(x) = x
2
 + 2x +2 = (x + 1)
2
 +1 
Ta thấy Q(x) 0 x.  Nên Q(x) khơng thể phân tích được nữa. 
 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) 
 Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 2) 
Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) P(x) = x
4
 + x
3
 – 2x2 – 6x – 4 
b) P(x) = 2x
3
 – 5x2 + 8x – 3 
c) P(x) = x
3
 + 3x – 4 
4.2) Sử dụng phép chia đa thức để giải một số dạng tốn cơ bản 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 6 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức 3 3 2:n nP x x  với 1n  và 
1
8
x   
Lời giải mẫu: 
Với 1n  , ta cĩ  
2
3 3 23 3 2 3 3 2 2 1 1:
8 64
n nn n n nP x x x x x
            
 
Ví dụ 2: Tìm x, biết  3 2 22 3 : 5ax ax ax  biết a là hằng số khác 0 
Lời giải mẫu: 
Ta cĩ  3 2 22 3 : 2 3ax ax ax x   
2 3 5 2 8 4x x x       . 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2 2 2x x  chia hết cho giá trị của 
biểu thức 1x 
Lời giải mẫu: 
Thực hiện phép chia 2 2 2x x  cho 1x được  
22 2 2 1 1x x x     
Vậy để cĩ phép chia hết thì  2 1x hay  1x là Ước của 2, từ đĩ ta cĩ 
1 1 2 1 1 0
1 2 3 1 2 1
x x x x
x x x x
         
         
Các giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện của bài. Vậy 2; 3; 0; 1x x x x      
Bài 1: Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là 2 1x x  , thương là 1x và số dư là 2 
Bài 2: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết 
a)  2 3 34 5 : 2nx x x  
b)  4 22 5 :3 nx x x x  
c)  4 3 3 3 2 23 : 4n nx y x y x y x y  
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức 
a)  3 2
3
A 5 1 15 10 : 5 :
2
x
x x x x
 
    
 
 với 
3
4
x 

b) 2 2 4B = x :n nx  với 2n  và 10x  
4.3) Dạng bài tìm dư của phép chia, tìm điều kiện của tham số để cĩ phép chia hết 
*Phương pháp giải tốn 
- Bước 1: Thực hiện phép chia A cho B để cĩ được dư. 
Nếu là dạng bài tìm điều kiện của tham số để cĩ phép chia hết thì thực hiện thêm bước 2 
- Bước 2: Cho số dư bằng 0, tìm tham số 
Ngồi ra trong trường hợp đa thức chia là bậc nhất thì ta nên sử dụng cách 2 như sau: 
Cách 2: (Áp dụng cho đa thức chia là một nhị thức bậc nhất) Áp dụng định lí Bơzu ta cĩ “Dư 
của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x  a là f(a)”. Vậy để tìm dư của f(x) cho x  a ta chỉ 
cần tính f(a) 
Cách 3: (Chỉ áp dụng cho bài tốn tìm phần dư của hai đa thức cụ thể) Nhận thấy “phần dư là 
một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn đa thức chia”. Áp dụng phương pháp giá trị riêng tức là sử dụng 
những giá trị riêng cụ thể của x sao cho đa thức chia bằng 0 để tính phần dư đơn giản hơn 
Ví dụ 1 (minh họa cách 1 và 2): Tìm m để đa thức 24 6x x m  chia hết cho 3x 
 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 7 
Biên soạn: Đặng Thành Trung 
Lời giải mẫu: 
Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức 24 6x x m  cho đa thức 3x được 
  24 6 3 4 6 18x x m x x m       . Vậy để phép chia trên là phép chia hết thì 
18 0 18m m    
Cách 2: Áp dụng định lí Bơzu ta cĩ dư của phép chia thức 24 6x x m  cho đa thức 3x là 
(3) 18;f m  Để phép chia trên là phép chia hết thì 18 0 18m m    
Ví dụ 2 (minh họa cách 3): Tìm dư của đa thức 27 9 3x x x x   cho 2 1x  
Bậc của đa thức chia là 2 suy ra bậc của phần dư cĩ dạng ax b 
Nếu gọi thương của phép chia trên là B(x). Ta cĩ:  27 9 3 2( ). 1x x x x B x x ax b       (1) 
Chọn các giá trị riêng của x sao cho 2 1 0 1x x     
- Với 1x  thì (1) 4 a b   (3) 
- Với 1 4x a b      (4) 
Từ (3) và (4) suy ra 4; 0a b  . Vậy dư của phép chia trên là 4x 
Bài 1: Tìm m sao cho đa thức 4 3 23 6 7x x x x m    chia hết cho đa thức 2 2 1x x  
Bài 2: Tìm x để giá trị của đa thức 27 20( ) 1f x x x x    chia hết cho ( ) 1g x x  
Bài 3: Tìm dư của phép chia đa thức 27 12( ) 1f x x x x    cho 2 4x  
Bài 4: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm số dư khi chia f(x) 
cho (x + 1)(x
2
 + 1) 
4.4) Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện 
4.4.1) Tìm các hệ số cịn lại của đa thức 
Bài 1: Tìm a sao cho đa thức 2( ) 2 2 1g x x x a    chia hết cho 3x 
Bài 2: Tìm a, b sao cho đa thức 4( )f x ax ax b   chia hết cho 2 4x  
Bài 3: Tìm a, b sao cho đa thức 4 3 2( ) 2 3h x x x x ax b     chia cho đa thức 2 2x x  dư 
2 3x 
Bài 4: Tìm m sao cho đa thức 3 3 3( , , )f x y z x y z mxyz    chia hết cho x y z  
Bài 5: Tìm dư trong phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 1 
Bài 6: Chứng minh( x2 + x1)10 + (x2 x1)10 chia hết cho x1 
4.4.2) Tìm đa thức 
Bài 1: Tìm đa thức ( )f x , sao cho ( )f x biết ( )f x chia 2 1x x  được thương là 1x và dư là 
2x 
Bài 2: Tìm đa thức ( )f x , biết ( )f x chia 3x dư 7, chia 2x dư 5, chia cho   3 2x x  được 
thương là 3x và cịn dư 
Bài 3: Tìm đa thức ( )f x , biết ( )f x chia 4x dư 9, chia 3x dư 2 và chia cho 2 12x x  được 
thương là 2 3x  cịn dư 
Bài 4: Tìm đa thức bậc 2 ( )f x biết      0 19 ; 1 85 ; 2 1985f f f  