Toán 6 - Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

 Toán 6 – Năng khiếu 
1 
BÀI 1. TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA 
I. Tìm một chữ số tận cùng 
1. Kiến thức cần nhớ : 
+ ...1 ...1
n
 ; ...0 ...0
n
 ; ...5 ...5
n
 ; ...6 ...6
n
 
+ 
4
...2 ...6 ; 
4
...4 ...6 ; 
4
...8 ...6 
+ 
4
...3 ...1 ; 
4
...7 ...1 ; 
4
...9 ...1 
+ 
2 1
...4 ...4
n
 ; 
2
...4 ...6
n
 ; 
2
...9 ...1
n
 ; 
2 1
...9 ...9
n
 
+ Một số chính phương thì không có tận cùng là 2 ; 3 ; 7 ; 8 
2. Một số ví dụ : 
Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của 324187 . 
187 
324 
; 1358
2008 
; 2
3456 
; 304
2014 
; 23
25 
; 52
35 
; 58
2013 
; 
999 ; 
765234 ; 
576579 
Giải: 
187
324
= (187
4
)
81 
 = 
81
...1 = ...1 
1358
2008 
= (1358
4
)
.501
 = 
501
...6 = ...6 
2
3456
 = (2
4
)
 864 
 =
864
...6 = ...6 
23
25
 = 23
4.6+1
 = 23. (23
4
)
6
= 23. 
6
...1 = 23. ...1 = ...3 
52
35
 = 52
4.8+3
 = 52
3
. (52
4
)
8
= ...8 . ...6 = ...8 
9
9 
 là một số lẻ nên 
999 = ...9 
7
65 = ...5 là một số lẻ nên 
765234 = ...4 
576 = ...6 là số chẵn nên 
576579 = ...1 
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của : 
a) 
102 1028 2 ;A   b) 60 37942 351 ;B   c) 25 4 2157 24 13 .C    
Giải: 
a) 8102 =(84)25.82 = ...6 25.64= ...6 .64 = ...4 
2
102
 =( 2
4
)
25
.2
2 
 =16
25
.4 = ...6 .4 = ...4 
Vậy 102 1028 2 ...4 ...4 ...0A      
b) 60 37942 351 ...6 ...1 ...5B      . 
c) 25 4 2157 24 13 ...7 ...6 ...3 ...0.C        
Ví dụ 3. Chứng minh: 
22 1 5( 1; )
n
A n n    ; 42 4 10 ( 1; ).
n
B n n    
Giải: 
 Toán 6 – Năng khiếu 
2 
2 2 22 4.2 22 1 2 1 16 1 ...6 1 ...6 ...5 5.
n n n n
A
  
          
2 24 4.4 42 4 2 4 16 4 ...6 4 ...0 10.
n n n
B
 
         
 2. Tìm hai chữ số tận cùng 
1. Kiến thức cần nhớ : 
 ...01 ...01
n
 ; ...25 ...25
n
 ...76 ...76
n
 
 Các số 320 ( hoặc 815) ,74 ,512 ,992 có tận cùng bằng 01 
 Các số 220 ,65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận cùng bằng 76 
 Số 26n (n>1) có tận cùng bằng 76 
2. Một số ví dụ : 
 Ví dụ 1:Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 
Giải: 
 Ta thấy :74 =2401 ,số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 
01. Do đó : 
 7
1991
 = 7
1988
.7
3
 = (7
4
)
497.343 = (01)497.343 
 =(.01).343 =.43 
 Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43 
Ví dụ 2:Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 
 Giải: 
 Ta có :2
10
=1024 
 ( 2)
100
=(2
10
)
10
 =(1024)
10
 =(1024
2
)
5
 =(.76)5 =.76 
Vậy hai chữ số tận cùng của 100 là 76 
Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của các số sau: 
51
100
 51
101
 51
2n
; 51
2n+1 
99
98 
 ; 99
99 
99
2n
; 99
2n+1 
6
100
; 6
101
 ; 6
5n
 ; 6
5n+1
3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên. 
1. Kiến thức cần nhớ : 
 Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng 
bằng 001 ,376 ,625 
 Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625. 
2. Một số ví dụ : 
 Ví dụ 1:Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992 
 Giải: 
5
1992
 =(5
4
)
498
 =625
498
 =0625
498
 =...0625 
Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8 
 Toán 6 – Năng khiếu 
3 
 Giải: 
Ta thấy : 26 5= 11881376 
Do đó 261570=(265)314= ...376 314= ...376 
Mà 376 chia hết cho 8 
Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 
Vậy 261570 chia hết cho 8 
Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng của các số sau: 
2
3n
. 47
n
 2
3n+1
. 47
n+2 45
n
 + 375 2001
n
 + 2
3n
 . 47
n
 + 25
2n 
 Giải: 
2
3n
. 47
n
 = 8
n
.47
n 
 = 376
n 
 = ...376 
BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: 
a) 74n – 1 chia hết cho 5 
b) 34n+1 +2 chia hết cho 5 
c) 24n+1 + 3 chia hết cho 5 
d) 92n+1 + 1 chia hết cho 10 
Bài 3. Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10 
Bài 4. Có tồn tại số tự nhiên n nào để n2 + n +2 chia hết cho 5 hay không? 
Bài 5. Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng: 
a) Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn thì n và 6n có chữ số tận cùng như nhau 
b) Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n4 tận cùng là 1. Nếu n tận cùng bằng chữ số 
chẵn khác 0 thì n4 tận cùng bằng 6 và 6n có chữ số tận cùng như nhau 
c) Số n5 và n có chữ số tận cùng như nhau