Toán 12 - Ôn tập phần mặt cầu, mặt phẳng trong không gian

ÔN TẬP PHẦN MẶT CẦU, MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Mặt cầu, cần nắm:
Mặt cầu tâm I(a,b,c), bán kính R pt là : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2. 
Hoặc dạng: x2 + y2 + z2 -2ax – 2by -2cz +d = 0 vs a2 + b2 + c2 –d > 0 cũng là pt mặt cầu tâm I(a,b,c), bán kính R=. Nếu kiểm tra thấy a2 + b2 + c2 –d 0 thì pt này không phải pt mặt cầu.
Các dạng toán thường gặp: Viết pt mặt cầu (S)
1. Biết tâm và bán kính
2. Biết tâm và đi qua 1 điểm cho trước
3. Biết (S) qua 4 điểm không đồng phẳng
4. Biết đường kính AB vs A, B cho trước
5. Biết tâm I cho trước và tiếp xúc vs mp (P) cho trước
6. Biết tâm I nằm trên mp cho trước và qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước.
Bài tập vận dụng:
Viết pt mặt cầu (S) biết
a. Tâm I(-1;2;0) và bán kính R = 3
b. Tâm I(-1;2;3) và đi qua A(2;-3;-1)
c. (S) qua 4 điểm : gốc O, A(1,0,0); B(0,1,0); C(0,0,1)
d. (S) nhận AB làm đường kính vs A(0;-1;-3), B(-2;3;1)
e. Tâm I(-1;2;3) và (S) tiếp xúc vs mp (P): 2x-3y-z+2=0
f. (S) đi qua A(0,8,0), B(4,6,2), C(0,12,4) và tâm I nằm trên mp(Oyz)
II. Mặt phẳng, cần nắm:
1. PT tổng quát: ax+by+cz+d=0, trong đó = (a,b,c) là VTPT của mp.
2. Trong pt tổng quát:
- Nếu thấy khuyết d thì mp qua O(0,0,0); 
- Nếu thấy khuyết ax thì mp // Ox (hoặc chứa Ox nếu d=0); 
- Nếu thấy khuyết by thì mp // Oy (hoặc chứa Oy nếu d=0) ;
- Nếu thấy khuyết ax & by thì mp // Oxy (hoặc chứa mpOxy nếu d=0); 
......
3. Mp qua Mo(xo,yo,zo) và nhận = (a,b,c) làm VTPT, pt là a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo)=0
4. Mp (P) cắt Ox tại A(a,0,0), cắt Oy tại B(0,b,0) và cắt Oz tại C(0,0,c), abc≠0, khi đó PT mp (P) theo đoạn chắn là : = 1
Chú ý: Nếu mp (P) // hoặc chứa hai đường thẳng d, d' cắt nhau (hoặc chéo nhau) thì VTPT của (P) là = d d' (với d , d' là VTCP của d và d')
5. VTTĐ của hai mp:
Cho hai mp (P): ax+by+cz+d=0 và (P'): a’x+b’y+c’z+d’=0. Từ (P),(P') lần lượt rút ra 2 VTPT là và ’ 
- Nếu thấy =k. ’ và d ≠ kd’ thì (P)//(P')
- Nếu thấy =k. ’ và d = kd’ thì (P) ≡ (P')
- Nếu thấy ≠ k. ’ thì (P) và (P') cắt nhau. Đặc biệt, nếu thấy .’ = 0 thì (P) ┴ (P')
6. Khoảng cách từ điểm M(xo,yo,zo) đến mp (P): ax+by+cz+d=0 : d(Mo,(P)) = 
Các dạng toán thường gặp: Viết pt mp() biết:
1. Qua 1 điểm và biết VTPT
2. Qua 1 điểm và // vs giá của 2 véctơ không cùng phương cho trước
3. Qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C
4. Chứa 1 cạnh AB và // vs cạnh CD của tứ diện ABCD cho trước
5. Qua 1 điểm và vuông góc vs 2 mp (P) và (Q) cắt nhau cho trước.
6. Qua 2 điểm và vuông góc vs mp (P) cho trước
7. Qua 1 điểm và // vs mp (P) cho trước
8. Qua 2 điểm và // vs trục tọa độ
9. Song song vs mp (P) cho trước và tiếp xúc vs mặt cầu (S) cho trước
10. () là mp trung trực của đoạn thẳng AB
11.() chứa 1 trục tọa độ và đi qua 1 điểm A cho trước
12. () tiếp xúc vs mặt cầu (S) cho trước tại tiếp điểm A cho trước.
13. () cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C cho trước
Bài tập vận dụng: Viết pt mp() biết :
1. Qua A(1;-2;3) và nhân (2;0;-1) làm VTPT
2. Qua A(0;-1;2) và // vs giá của 2 véctơ (1,-1,2) , (0,-2,3)
3. Qua 3 điểm A(0,-1,2), B(-1,2,-3), C(3,4,5)
4. () chứa A(0,-1,2), B(-1,2,-3) và // CD, biết C(3,4,5), D(2,-3,4)
5. () qua A(-1;2,3) và vuông góc vs 2 mp cắt nhau (P) : x+y-2z=0 ; (Q): 2x+3y = 0
6. () qua A(-1;2,3), B(0,-2,0) và vuông góc vs mp (P) : x+3y-2z-1=0
7. () qua A(-1;2,3) và // vs mp (P): x+y-2z = 0
8. () qua A(-1;2,3), B(0,-2,0) và // vs trục 0z
9.() // vs mp (P) : 2x-3y+z-1 = 0 và tiếp xúc vs mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x + 6y -6 = 0
10. () là mp trung trực của đoạn AB vs A(0,-1,2), B(-1,2,-3) 
11. () chứa trục Ox và đi qua A(1,-1,2)
12. () tiếp xúc vs mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 4x = 0 tại A(3,4,3)
13. () đi qua G(1,2,3) và cắt 3 trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
14. () đi qua H(2,1,1) và cắt 3 trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
7. VTTĐ của mp(P) và mặt cầu (S)
Bước 1 : Từ pt của (S) ta tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
Bước 2 : Tính khoảng cách d từ I đến mp (P)
Bước 3 : So sánh d vs R. 
 - Nếu d > R thì mp không cắt mặt cầu
 - Nếu d = R thì mp tiếp xúc vs mặt cầu. Tọa độ tiếp điểm là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).
 - Nếu d < R thì mp cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Tâm của (C) là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P); bán kinh của (C) bằng (Pitago). 
Vận dụng: (ĐH A-2009). Cho mp(P): 2x - 2y - z - 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z -11 = 0.
Chứng tỏ (P) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và tính bán kinh đường tròn giao tuyến đó.
Chúc các em học tốt !