Toán 12 - Ôn luyện hình học không gian

 Bài Viết Toán Học 
Ôn Luyện 
Hình Học Không Gian 
Part 1. Bồi Dưỡng HSG Toán THPT 
THPT Lê Quảng Chí-Tx. Kỳ Anh-T. Hà Tĩnh 
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Bài Toán 1: Cho góc tam diện vuông .Oxyz Gọi , ,a b c lần lượt là khoảng cách từ 
một điểm I ở bên trong góc tam diện theo thứ tự đến ba mặt phẳng    ,Oyz Ozx
và  Oxy . Qua I vẽ mặt phẳng  P cắt , ,Ox Oy Oz lần lượt tại , , .A B C Phải chọn 
mặt phẳng  P như thế nào để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ? 
(Đề nghị Olympic 30-4) 
Bài Giải: 
Ta có: 
1
1
IOAB IOBC IOCA
OABC OABC OABC
V V V
V V V
c a b
OC OA OB
  
   
Do đó: 
3
1 1 1 9
. . . .
6 6 6 2
. .
3
OABC
abc abc
V OAOBOC abc
a b c a b c
OA OB OC OA OB OC
   
 
  
 
 
 
Dấu “=” xảy ra khi: 
3
1
3 .
3
3
OA a
a b c
OB b
OA OB OC
OC c


    
 
Như vậy ta cần chọn mặt phẳng  P đi qua I sao cho 3 , 3 , 3 .OA a OB b OC c   
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Bài Toán 2: Cho góc tam diện vuông .Oxyz Gọi S là điểm cố định trên tia Oz và 
,A B là hai điểm lần lượt di động trên các tia ,Ox Oy sao cho .OA OB OS a   
1. Xác định theo a giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện .SOAB Nêu cách 
dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tự diện SOAB và tính theo a bán kính R 
của mặt cầu ấy khi thể tích khối tứ diện SOAB đạt giá trị lớn nhất. 
2. Khi ,A B di động, chứng minh rằng tổng các góc phẳng tại đỉnh S của tứ 
diện SOAB luôn bằng .
2

 (Đề nghị Olympic 30-4) 
 Bài Giải: 
1. 
Ta có: 
 
2 3 31
. . . . .
6 6 6 4 24 24
SOAB
OA OBOS OS OS a
V OAOBOS OAOB

     
Dấu “=” xảy ra khi .
2
a
OA OB  
Vậy 
3
.
24
SOAB
a
MaxV  Đạt được khi .
2
a
OA OB  
Cách dựng tâm I: 
 Gọi M là trung điểm AB . Qua M dựng đường thẳng Mt vuông góc với 
mặt phẳng  OAB . 
 Trong mặt phẳng  ,Oz Mt dựng đường thẳng  qua trung điểm N của 
SO và song song với .OM . 
 Vậy I chính là giao của của đường thẳng Mt với đường thẳng  vì theo 
cách dựng đó ta có .IA IB IS IO   
Bán kính R được tính bởi: 
2 22 2 2
2 2 6 .
2 4 2 4 4
OS AB OS OA OB a
R OI MN ON OM
   
           
   
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
2. Ta đặt các góc phẳng tại đỉnh S như sau: , ,ASB OSA OSB        
0 , ,
2

  
 
  
 
. 
Khi đó ta có: 
 
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
cos
2 . 2 .
. sin cos cos sin cos
. .
2
SA SB AB SO OA SO OB OA OB
SASB SA SB
SO OA OBSO OA SO SO OB
SASB SA SB SA SB SA SB
dpcm

     

  
      
 

       
   
Bài Toán 3: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D , cạnh a. Trên cạnh 'AA kéo 
dài về phía 'A lấy một điểm ,M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm 
N sao cho MN cắt cạnh ' '.C D Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn .MN 
(Đề nghị Olympic 30-4) 
 Bài Giải: 
Gọi ' ' ', .MN C D I AN CD I    
Vì 
   
   
   
' ' '
' ' ' .
' ' ' '
AMN CDD C II
AMN ABB A AM II AM
CDD C ABB A
  

  


Đặt 0, 0.AM x BN y    
Theo định lý Thales ta có: 
' ' 1 1 1
.
A M MI AI BC x a a
AM MN AN BN x y x y a

        
Ta có:  2 2 2 2 2 2 2 2 1MN AM AN AM BN AB x y a        
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có : 
 
1 1 1 4
4 *x y a
a x y x y
     

Lại có : 
   
 
2 2
(*)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
8 9 3 2
2 2
Dox y a
x y a x y a a x y a a

            
Từ (1) và (2) suy ra: 3 .MN a Dấu “=” xảy ra khi 2 .x y a  
Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 3a đạt được khi 2 .AM BN a  
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng ,Ax By chéo nhau. Hai điểm ,C D thay đổi 
lần lượt trên Ax và By sao cho: 
1 2 3
.
AC BD AB
  
1. Chứng minh rằng: Mặt phẳng   chứa CD và song song với AB luôn đi 
qua một điểm cố định I trong mặt phẳng   chứa Ax và   song song 
với .By 
2. Tìm vị trí của C và D sao cho thể tích tứ diện ABCD là nhỏ nhất. 
(Đề nghị Olympic 30-4) 
 Bài Giải: 
1. Dựng 'Ay song song với By . Trên 'Ay lấy 'D sao cho ' .AD BD 
Khi đó        ' , ' .DCD ACD   
Ta có: 
 
1 2 3 2
1 1
3 3 '
AB AB
AC BD AB AC AD
     
Giữa hai điểm ,C D thỏa giả thiết, luôn tồn tại điểm I thuộc 'CD sao cho: 
'
' 3
D I AB
D C AC
 
Với điểm I trên, gọi ',M Ay N Ax  sao cho , '.MI Ax NI Ay 
Khi đó, áp dụng định lý Thales ta có: 
 
'
*
' 3 3
AN D I AB AB
AN
AC D C AC
    
 
 
1' 2 2
1 1 **
' ' ' 3 3 ' 3
DoAM CI D I AB AB AB
AM
AD CD D C AC AD
        
Từ (*) và (**) suy ra ,M N cố định hay I cố định. Do đó   luôn đi qua 
điểm I cố định trong  . 
2. Vì 'ABD DD A   nên . . ' . 'ABCD C ABD C DD A D AD CV V V V   
Do đó ABCDV nhỏ nhất khi . 'D AD CV nhỏ nhất. 
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Vì 
 
    ( , ) , ' .
D By
d D d D AD C const
By



  

Suy ra: . 'D AD CV nhỏ nhất khi diện tích 'AD CS nhỏ nhất. 
Ta có: '
1 1
. 'sin . sin
2 2
AD CS AC AD A AC BD A  . 
Nhận thấy 'AD CS nhỏ nhất khi .AC BD nhỏ nhất. 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
23 1 2 1 2 82 . . .
9
AC BD AB
AB AC BD AC BD
     
Dấu “=” xảy ra khi 
2
1 2 3 3
.
42
3
AB
AC
AB
ABAC BD
BD


   
 

Vậy ABCDV nhỏ nhất khi hai điểm ,C D thỏa mãn 
2 4
; .
3 3
AB AB
AC BD  
Bài Toán 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a có 
2SA a và vuông góc với đáy. M và N là các điểm di động trên ,BC CD 
tương ứng sao cho 045 .NAM  Xác định vị trí của ,M N để hình chóp .S AMN 
có thể tích đạt giá trị lớn nhất. Tìm các giá trị ấy. 
 Bài Giải: 
Đặt ; .MAB NAD     
Khi đó ta có: ; ;
cos cos
a b
AM AN
 
  0 090 45 .MAN     
Ta có: 
   
0
.
2 3 3
1 1 1
. 2. . . .sin 45
3 3 2
2 2 1
. . .
6 2 cos cos 3 2cos cos 3 cos cos
S AMN AMNV SAS a AM AN
a a a a
       
 
  
    
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
 
3
3 2
3cos
2
a
 

 
Vì 
 
 
0
0 0
0
max cos 1
0 45
45 45 .
20 45 min cos
2
 

 
  
       
      
      
Từ đó suy ra: 
3
.
2
max
6
S AMN
a
V  . Đạt được khi 
0 0
0 0
45 ; 0
.
0 ; 45
 
 
  

 
 3
.
2 2
min .
3
S AMN
a
V

 Đạt được khi 022 30'.   
Bài Toán 6: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có khoảng cách từ A tới mặt 
phẳng  SBC bằng 2 .a Gọi  là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Với giá 
trị nào của  thì thể tích của hình chóp là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
 Bài Giải: 
Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AD và .BC 
Khi đó ta có: .SNM   
Vì DA BC nên          , , 1 .DA SBC d A SBC d M SBC  
Ta có:      .BC SMN SBC SMN   
Do đó nếu kẻ  MH SN H SN  thì  .MH SBC Vậy     , 2d M SBC MH 
Từ (1) và (2) ta suy ra 2 .MH a 
Từ đó ta có: 
2
tan tan .
sin sin 2 cos
MH a MN a
MN SO ON  
  
      
Vậy  
2 3
2
. 2
1 1 1 2 4
. . . *
3 3 3 sin cos 3sin cos
S ABCD ABCD
a a a
V S SO MN SO
   
 
    
 
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Từ (*) suy ra, để .S ABCDV nhỏ nhất thì 
2sin cos 0A    phải đạt giá trị lớn nhất. 
Ta có: 
 
 
3
2 2 2
2 2 2 2
2
sin sin 2 2sin 8
2 sin .sin 2 2sin
27 27
4 2 3
.
27 9
A
A A
  
  
  
   
   
Dấu “=” xảy ra khi: 
2 2 2 6 6sin 2 2sin 3sin 2 sin arcsin .
3 3
    
 
          
 
Suy ra: 
3
3
.
4
2 3 .
2 3
3
9
S ABCD
a
V a  Dấu “=” xảy ra khi 
6
arcsin .
3

 
   
 
Vậy 3. 2 3 .S ABCDMinV a 
Bài Toán 7: Hình chóp .ABCD có 090 , 2 .ACB ADB AB a    Đáy BCD là 
tam giác cân tại ,B có 2CBD   và .CD a Tính thể tích khối chóp .ABCD 
theo a và . 
(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2010-2011) 
 Bài Giải: 
Gọi I là trung điểm .AB Dễ dàng nhận thấy .
2
AB
IB IC ID a    
Gọi H là hình chiếu của I trên  BCD , M là trung điểm CD , ta có ngay: 
.
H BM
HB HC HD


 
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Theo định lí hàm sin ta có: 
.
2sin 2sin 2
CD a
BH
CBD 
 

Suy ra:   
2
2 2 2 2
2
, 4sin 2 1.
4sin 2 2sin 2
a a
d I BCD IH IB BH a 
 
       
       2, 2 , 4sin 2 1.
sin 2
a
d A BCD d I BCD 

    
Từ tam giác BMC vuông tại M ta có: tan .cot .
2
a
BM DM    
Vậy 
  
3 2
2
. 2
1 1 1 4sin 2 1
. , . . 4sin 2 1. . .cot . .
3 3 sin 2 2 2 24 sin
A BCD BCD
a a a
V d A BCD S a

 
 

   
Bài Toán 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với 2 ,AB a tam 
giác SAB vuông tại .S Mặt phẳng  SAB vuông góc với  ABCD .Biết góc tạo bởi 
đường thẳng SD và  SBC bằng  với 
1
sin .
3
  Tính thể tích khối chóp .S ABCD 
và khoảng cách từ C đến  SBD theo .a 
 Bài Giải: 
Ta có:  BC AB BC SAB SA BC     . Lại có SA SB ,suy ra:  .SA SBC 
Vì góc tạo bởi đường thẳng SD và  SBC bằng  với 
1
sin
3
  nên ta có: 
        , .sin , .
3 3
SD SD
d D SBC SD d A SBC AS Do AD SBC     
Xét tam giác SAD vuông tại A (do  DA SAB ) ta có: 
2 2 2 2 2 2 24 9 .
2
a
SA AD SD SA a SA SA       
Áp dụng định lý Py-ta-go ta được: 2 2
14
.
2
a
SB AB SA   
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Khi đó ta có: 
2 2 2 2
2 14
.
. 72 2 .
4
2 14
2 2
a a
SA SB a
SH
SA SB a a
  
    
   
   
Vậy 
3
2
.
1 1 7 7
. . . .4 .
3 3 4 3
S ABCD ABCD
a a
V SH S a   
Ta có: 
3
. .
1 7
.
2 6
C SBD S ABCD
a
V V  
Tam giác SBD có 
14 3 2
, 3 , 2 2.
2 2
a a
SB SD SA BD a    
Dễ thấy 2 2 2SB SD DB  nên suy ra tam giác SBD vuông tại .S 
Do đó
21 14 3 2 3 7
.
2 2 2 4
SBD
a a a
S   Suy ra:   
3
.
2
7
3.
3 26, .
33 7
4
C BCD
BCD
a
V a
d C SBD
S a
   
Bài Toán 9: Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là 
trung điểm của , .DB AC Trên đường thẳng AB lấy điểm ,P trên đường thẳng DN 
lấy điểm Q sao cho .PQ CM Tính độ dài PQ và thể tích khối .AMNP 
 Bài Giải: 
Gọi F là trung điểm AM , khi đó FN CM . 
Vậy .P DF AB  Trên  DPN dựng  PQ Q DN song song với FN . 
Gọi E là trung điểm của .PB Khi đó ||ME PF suy ra PF là đường trung bình của 
tam giác AME . 
Ta có: 
1 1 3
.
2 4 4
PF ME PD DF PD    
3
.
2 4
CM a
FN   
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
Suy ra: 
3
3 3 34 .
4 4 3
a
FN DF a
PQ
PQ DP PQ
      
Ta có:  
1 1 1
. . 1 .
3 2 6 12
APMN ABCD
AMNP
ABMC
V VAP AN
V
V AB AC
     
Lại có:  
3 2
2
12
ABCD
a
V  . 
Từ (1) và (2) ta suy ra: 
3 2
.
144
AMNP
a
V  
Bài Toán 10: Cho hình chóp .S ABC có các mặt phẳng  SBC và  ABC vuông 
góc với nhau. Các cạnh .AB AC SA SB a    Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối 
chóp .S ABC có thể tích 
3
.
8
a
V  
(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013) 
 Bài Giải: 
Gọi H là hình chiểu của A trên .BC 
Ta có các tam giác vuông sau bằng nhau AHB AHC AHS     (ch-cgv). 
Từ đó suy ra: HB HC HS SBC   vuông tại .S 
Đặt 0.SC x  Khi đó: 
2 2 2
2 2 2 3 .
2 2
BC a x
BC a x AH AC
 
      
 
Vậy 
2 2 2 21 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12
SABC SBC
a x ax a x
V AH S ax
 
   
Ta cần tìm x sao cho 
3
.
8
SABC
a
V  Hay: 
 
2 2 3 2
2 2 2 2 23 62 3 3 3 0 .
12 8 2
ax a x a a
x a x a a x x x

          
Vậy độ dài SC cần tìm bằng 
6
.
2
a
 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM 
 Trong quá trình gõ bài viết, không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự 
đóng góp ý kiến từ mọi người để Nguyễn Minh Đức có thể hoàn thành tốt bài viết và 
phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết. Cảm ơn! 
Sẽ tiếp tục cập nhật. 
My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu 
“Tôi thích sự truyền đạt” 
 Nguyễn Minh Đức.