Toán 12 - Lý thuyết: Phương trình đường thẳng

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.	Phương trình tham số của đường thẳng 
	· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và có VTCP :
	 (phương trình tham số)
	· Nếu thì đgl phương trình chính tắc của d.
2.	Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
	Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số lần lượt là:
	và	
	· d // d¢ 	Û 
	Û Û Û 
	· d º d¢ 	Û 
	Û 	Û 
	Û 
	· d, d¢ cắt nhau 	Û hệ (ẩn t, t¢) có đúng một nghiệm
	Û Û 
	· d, d¢ chéo nhau	Û 
	Û Û 
	· d ^ d¢ 	Û 	Û 
3. 	Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng 
	Cho mặt phẳng (a): và đường thẳng d: 
	Xét phương trình: (ẩn t)	(*)
	· 	d // (a) Û (*) vô nghiệm
	· 	d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
	· 	d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm
4. 	Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng d: (1) và mặt cầu (S): (2)
	Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
	· d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm	Û d(I, d) > R
	· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm	Û d(I, d) = R
	· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt	Û d(I, d) < R
5.	Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
	Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP và điểm M.
6.	Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
	Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
	d1 đi qua điểm M1 và có VTCP , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP 
	Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (a) chứa d2 và song song với d1.
7.	Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
	Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a).
8.	Góc giữa hai đường thẳng 	
	Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP .
	Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa .
9.	Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng 
	Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng (a) có VTPT .
	Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của nó trên (a).
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng 
	Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm và có VTCP :
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
	Một VTCP của d là .
Dạng 3: d đi qua điểm và song song với đường thẳng D cho trước:
	Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
	Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
	· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
	– Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
	– Tìm một VTCP của d: 
	· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
	Vì d ^ d1, d ^ d2 nên một VTCP của d là: 
Dạng 7: d đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng D.
	· Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng D.
	Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
	· Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P) Ç (Q)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP cho trước: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng D cho trước: 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: 
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) f) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng D cho trước: 
a) 	b) c) 	
d) 	e) 	 f) 
Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: 
	a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
	b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).	
	c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: , . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: 
	a) Chứa các cạnh của tam giác ABC. b) Đường phân giác trong của góc A.
Cho tam giác ABC có . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: 
	a) Trung tuyến AM.	b) Đường cao BH.
	c) Đường phân giác trong BK.	d) Đường trung trực của BC trong DABC.