Toán 12 - Hệ toạ độ trong không gian

I. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.	Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
	Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 
	Chú ý: 	 và .
2.	Tọa độ của vectơ:
	a) Định nghĩa:	
	b) Tính chất: Cho 
	· 
	· 
	· 
	· 
	· cùng phương 	Û 
	· 	· 
	· 	· 
	· (với )
3.	Tọa độ của điểm:
	a) Định nghĩa:	(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
	Chú ý:	· M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
	· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
	b) Tính chất: Cho 
	· 	· 
	· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 
	· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
	· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
	· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4.	Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
	a) Định nghĩa: Cho , .
	Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
	b) Tính chất: 
	· 	· 
	· 	· cùng phương 
	c) Ứng dụng của tích có hướng:
	· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng Û 
	· Diện tích hình bình hành ABCD:	
	· Diện tích tam giác ABC:	
	· Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:	
	· Thể tích tứ diện ABCD:	
	Chú ý:	 
	– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
	– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
 1) 2) 3) 
5.	Phương trình mặt cầu:
 	· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
	· Phương trình với là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = .
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
	– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
	– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Viết tọa độ của các vectơ sau đây: 
	; 	; 	; 	
Cho: . Tìm toạ độ của các vectơ với: 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Tính góc giữa hai vectơ và :
a) 	b) 
e) 	f) 
Cho hai vectơ . Tìm :	
a) 	b) c) 	 
Cho hai vectơ . Tìm :	
a) 	b) c) 
d) e) 	 f) 
g) 	h) 
VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
	· A, B, C thẳng hàng Û cùng phương Û Û 
	· ABCD là hình bình hành Û 
	· A, B, C, D không đồng phẳng Û không đồng phẳng Û 
 Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
	· Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz	· Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
	a)	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
 Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M¢ đối xứng với điểm M:
	· Qua gốc toạ độ	· Qua mp(Oxy)	· Qua trục Oy
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Cho ba điểm A, B, C.
	· Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
	· Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC. 
	· Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
	· Tính số đo các góc trong DABC.
	· Tính diện tích DABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của DABC.
	a) 	b) 
	c) 	d) 	
Cho bốn điểm A, B, C, D. 
	· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
	· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
	· Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
	· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
	· Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a) 	b) 
c) 	d) 
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. 
	· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
	· Tính thể tích khối hộp.
	a) 	b) 
c) 	d) 
Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). 
	a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).	
	b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
	c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
	Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
	– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: .
	– Bán kính R = IA = .
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
	– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: (*).
	– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
	– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
	Giải tương tự như dạng 4.
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	k) 
Xác định m để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó: 
a) 
b) 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: 
a) 	b) 	c) 	d) 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với: 
a) 	b)