Toán 12 - Đường thẳng trong không gian

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng
B3: PTTS: PTCT: 	Với a1, a2, a3 0
Chú ý
a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P):Ax+By+Cz+D = 0 và (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 
Khi đó đt d có VTCP: 
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là 
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng thì d và có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc
BÀI TẬP
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
(d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
(d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3) 
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
(d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
(d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng 
b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
(P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
(P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuông góc với hai đường thẳng: và 
(TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
 (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P)
(TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình tham số của d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
(ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
	Cho qua M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương 
 ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) và có vectơ chỉ phương 
	có PTTS là:
	*) Nếu thấy thì lấy tọa độ điểmthế vào phương trình đường thẳng ’. 
Xảy ra 2 khả năng:
	TH1: thì hai đường thẳng trên trùng nhau
	TH2: thì 2 đường thẳng trên song song
	*) Nếu thấy thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
	TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
	TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
	*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình: 
Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
Cho 2 đường thẳng 
Chứng minh d và d’ chéo nhau
Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
Xét hệ phương trình 
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm 
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý: 
Trong trường hợp d // (P) hoặc thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P)
 Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a) 	b) 
c) 	d) 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B : (d) qua A ( hay B) và vtcp 
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D): ( d) qua A và 
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(a): (d) qua A và 
Dạng 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu của M trên mp(a)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(a) : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : 
Dạng 5: PT d’ hình chiếu của d lên a : 
+Trường hợp d cắt tại điểm A:
	- Tìm giao điểm A của (a) và (P).
	- Tìm B Î(a) 
	- Viết phương trình của đường thẳng qua B và vuông góc (P).
	- Tìm giao điểm B’ của (d) và (P).
	- Viết phương trình của đường thẳng AB’
+ Trường hợp d // :
Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp
d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương 
+ Cách khác: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):
	· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
	– Lấy M Î D.
	– Vì (Q) chứa D và vuông góc với (P) nên .
	Khi đó d = (P) Ç (Q).
VÍ DỤ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (a):.Viết phương trình hình chiếu vuông góc (a’) của (a) lên:
a) mpOxy	b) mp(P):2x-3y+z-2=0
HD:
là hình chiếu của B lên mpOxy
b)Gọi A là giao điểm của (a) và mp(P).Tọa độ của A là : 
B(1;-1;0)Î(a) .Gọi (d) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) =>(d):x=1+2t ; y=-1-3t ; z = t;
B’ là giao điểm của (d) và (P)=>tọa độ của B’ là nghiệm của hệ :
(a’) là đường thẳng qua A;B’=>
BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)
1)(a):	 (P):3x+5y-z-2 = 0 DS:x=8t ; y = -7t ; z =-2-11t
2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)ºmp(Oyz) DS: (a’) :x = 0;y = =2+3t ; z = 3+t
3)(a): x ==2+t ; y = 7-9t ; z =-2 –t (P):2x – 3y +z – 1 = 0DSLa’):x = 2+t ;y = 1+t ; z = t
4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0 DS: x=2t ; y = -6 +5t ; z= -2+t
Dạng 6 : Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
A/ đối xứng với A qua (P) Û H là trung điểm của MM/ nên : 
Dạng 7: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2):	
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2
	B1: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và d1 toạ độ điểm A ( theo t) 
	 Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và d2 toạ độ điểm B ( theo t’) 
	B2 : Do A (P) t A( ; ; )
	 Do B (P) t’ B ( ; ; )
	B3: Phương trình đường thẳng d : 
Ví dụ:
Trong không gian Oxyz cho mp(P):y+2z = 0 và 2 đường thẳng (d): x=1+2t ; y = t ; z= 4t và (d’): x= 2-t’ ; y = 4+2t’ ; z= 1.Viết phương trình (a) nằm trong (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’).
HD:
BÀI TẬP
Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ; và (d’)
a)(P):6x+3y-13z+39 = 0 (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’
b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’;
c)(P):5x – 4y +2z = 0 (d):x = 2t ; y= 1+t ;z= 2 -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = 3 – 3t’ ; z= 1;
d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’): 
Dạng 9 : CM sự song song:
 a/ Cm đt(d) // đt(d/) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
đt(d/) đi qua điểm M2( x2 , y2 , z2) và có VTCP .
Ta tính .
đt(d) // đt(d/) .
 b/ Cm đt(d) // mp(P) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT .
đt(d) // mp(P) 
Dạng 10: Viết phương trình giao tuyến (c) của 2 mp cắt nhau:
(P): A1x +B1y +C1z+D = 0 (Q): A2x +B2y +C2 z+D = 0
Phương pháp :
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
	– Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
	– Tìm một VTCP của d: 
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
VÍ DỤ: Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 .Viết phương trình của giao tuyến (c) của (P) và (Q) .
HD:
 là vec tơ pháp tuyến của (P) là vec tơ pháp tuyến của (Q)
.
BÀI TẬP
1. Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:
a)(P):2x–y+3z +1 = 0 (Q)x-y+z+5=0 	ĐS:x=4 -2t ; y=9-t z = t 
b)(P): x–3y +z = 0 	 (Q):x+y-z +4 = 0 	ĐS:x = -2+2t ; y = 2t ; z= 2+4t 
c)(P): 3y-z-7=0 	 (Q):3x+3y-2z -17 = 0 	ĐS: x= 1+t ; y= t ;z = -7 +3t
d)(P) : 3x-y+2z-7 = 0	 (Q):x+3y-2z +3 = 0	ĐS: x= -2t ; y= 2 +4t ; z = 9/2 +5t
2. Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 .Viết phương trình của giao tuyến (c) của (P) và (Q) .
3. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: 
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: 
a) 
b) 
c) 
5. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: 
a) 
b) 
c) 
d) 
6. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với: 
a) 
..