Toán 11 - Phần: Giới hạn

Giới Hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy sốcó giới hạn 0, kí hiệu(hay), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
b. Tính chất: 
c. Định lí: Cho hai dãy số (1)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L, kí hiệu , nếu 
b. Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, "n : 
• limun = L 
• Nếu thì: 
• (2)
• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
 Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
• 
• 
3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dãy số có giới hạn 
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kết quả: 
b. Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
+
+
• Quy tắc chia
 có dấu
 có dấu
+
+
+
+
II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Cho và f là hàm số xác định trên tập . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu , khi x dần đến (hoặc tại điểm ), nếu với mọi dãy số trong tập mà , ta đều có 
b. Giới hạn vô cực
nếu mọi dãy trong tập mà thì 
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có 
3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử và . Khi đó:
• 
•
•
• 
b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö . Khi đó:
• ;
• ;
• Nếu với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì và .
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:
4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có .
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có .
• Các định nghĩa được phát biểu tương tự như trên.
b. Định lí:
• 
• 
5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân
b. Quy tắc chia
có dấu
 có dấu
g(x) có dấu
+
+
+
+
+
+
6. Các dạng vô định
Khi tìm khi ta gặp các dạng vô địn, kí hiệu , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 2: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 3: Tìm: 
Giải:
.
Dạng 2: Chứng minh 
Phương pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số (1);
 (2)
Ví dụ: Chứng minh: 
Giải:
Ta có: và nên 
Dạng 3: Chứng minh tồn tại
Phương pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chứng minh dãy số cho bởi có giới hạn.
Giải:
	Ta có Do đó dãy giảm.
 Ngoài ra, nêu dãy bị chặn dưới. Vậy dãy có giới hạn.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 
Ví dụ: Tính tổng 
Giải:
	Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với và . Vậy: 
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm: 
Giải:
Cách 1:
	Ta có: 
	Lại có và nên suy ra: 
Cách 2:
	Ta có: 
	Lại có 
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính: .
Giải:
	Xét dãy mà và . Ta có: 
	Vì Do đó .
Ví dụ 2: Tính: 
Giải:
	Ta có: 
Ví dụ 3: Tính: 
Giải:
	Ta có: 
(Chú ý: khi là ta xét x < 0, nên )
Dạng 7: Chứng minh (Hoặc bằng L)
Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:
Ví dụ: Chứng minh: 
Giải:
	Ta luôn có: 
	.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm 
Giải:
	Ta có: (1)
	 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 2: Cho hàm số 
Tìm 
Tìm 
Giải:
	a. 
	b. 
Ta có:	 suy ra không tồn tại 
(Chú ý: tồn tại khi và chỉ khi thì )
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính 
Giải:
	Vì và 
Dạng 10: Khử dạng vô định
Phương pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng, với :
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho 
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 2: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 3: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 4: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 5: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 6: Tìm: 
Giải:
	Đặt . Do đó:
Ví dụ 7: Tìm: 
Giải:
2. Khi tìm giới hạn dạng , ta lưu ý:
• Đặt (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả: ( với )
Ví dụ 1: Tìm: 
Giải:
Ví dụ 2: Tìm: 
Giải:	
Ví dụ 3: Tìm: 
Giải:
C. Bài tập tự luận
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2. Tìm các giới hạn hàm số sau:
3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm
D·y sè cã giíi h¹n 0
1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
3. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
4. D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n?
	a. 	b. 	c. 	d. 
5. Gäi . Khi ®ã L b»ng
	a. 	b. 	c. – 1	d. 0
6. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n
7. Cho . Khi ®ã un b»ng
	a. 	b. 	c. 	d. 
8. Cho . Khi ®ã limun b»ng
	a. 0	b. 1	c. 	d. 
9. Gäi th× L b»ng sè nµo sau ®©y?
	a. 0	b. 	c. 3	d. 9
10. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n lµ
	a. 1	b. 	c. 	d. 
11. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n lµ
	a. 	b. 	c. 	d. 4
12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n lµ
	a. 	b. 	c. 	d. 
13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n: lµ
	a. 	b. 	c. 	d. 2
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
14. KÕt qu¶ lµ
	a. 	b. – 4	c. – 6	d. 
15. BiÕt th× L b»ng
	a. 	b. 3	c. 5	d. 
16. b»ng
	a. 	b. – 6	c. – 3	d. 
17. b»ng
	a. 	b. 	c. – 1	d. 0
18. b»ng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
19. b»ng
	a. 0	b. 	c. 	d. 
20. bằng
	a. 0	b. 	c. 	d. 
21. bằng
	a. 	b. 0	c. 	d. 
22. bằng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
23. Dãy số nào sau đây có giới hạn là?
	a. 	b. 	c. 	d. 
24. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?
	a. 	b. 	c. 	d. 
25. bằng
	a. 0	b. 1	c. 2	d. 
26. Kết quả là
	a. +∞	b. 10	c. 10	d. 0
27. Kết quả là
	a. 0	b. 1	c. 	d. 
28. Nếu thì bằng
	a. L + 9	b. L + 3	c. 	d. 
29. Nếu thì bằng bao nhiêu?
	a. 	b. 	c. 	d. 
30. bằng
	a. 	b. 	c. 1	d. 
31. bằng bao nhiêu?
	a. 	b. 10000	c. 5000	d. 1
32. bằng bao nhiêu?
	a. 0	b. 	c. 	d. 
33. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 0
34. bằng bao nhiêu?
	a. +∞	b. 4	c. 2	d. – 1
35. bằng số nào sau đây?
	a. 	b. 	c. 0	d. 1
36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
	a. 	b. 	c. 	d. 
38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?
	a. 	b. 	c. 	d. 
39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
	a. 	b. 	c. 	d. 
40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
	a. 	b. 	c. 	d. 
41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?
	a. 	b. 	c. 	d. 
42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
	a. 	b. 	c. 	d. 
43. Nếu thì L bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 0
44. Gọi . Khi đó L bằng
	a. 	b. 6	c. 3	d. 2
45. bằng
	a. 1	b. 	c. 2	d. 
46. bằng
	a. 	b. 	c. 9	d. 3
47. có kết quả là
	a. 1	b. 2	c. 4	d. 
50. Dãy số nào sau đây có giới hạn ?
	a. 	b. 	c. 	d. 
Giới hạn của hàm số
51. bằng
	a. 5	b. 7	c. 9	d. 
52. bằng
	a. 	b. 5	c. 9	d. 10
53. bằng
	a. 	b. 1	c. 2	d. 
54. bằng
	a. 5	b. 1	c. 	d. 
55. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
56. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
57. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
58. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
59. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
60. bằng
	a. 5	b. 3	c. 1	d. 
61. bằng
	a. 0	b. 1	c. 	d. 
62. bằng
	a. 	b. 	c. 1	d. 2
63. bằng
	a. 0	b. 	c. 	d. 
64. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
65. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 0
66. bằng
	a. 0	b. 	c. 	d. 
67. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
68. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
Giới hạn một bên
69. bằng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
70. bằng
	a. 1	b. 0	c. 	d. 
71. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
72. là
	a. 	b. 2	c. 1	d. 
73. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
74. là
	a. 	b. 	c. 	d. 
75. là
	a. 	b. 0	c. 1	d. 
76. Cho hàm số: . Khi đó bằng:
	a. 11	b. 7	c. 	d. 
77. Cho hàm số . Khi đó bằng
	a. – 4	b. –3	c. –2	d. 2
78. Cho hàm số . Khi đó bằng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
79. Cho hàm số: . Khi đó bằng
	a. –1	b. 0	c. 1	d. 
80. Cho hàm số . Khi đó bằng
	a. 	b. 2	c. 4	d. 
Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
81. Cho . Khi đó
	a. 	b. 	c. 	d. 
82. Cho . Khi đó
	a. 	b. 	c. 	d. 
83. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
84. bằng
	a. 	b. 5	c. 	d. 
85. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
86. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
87. bằng
	a. 	b. 2	c. 0	d. 
88. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
89. bằng
	a. 	b. 2	c. 1	d. 0
90. bằng
	a. 	b. 4	c. 1	d. 
91. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
92. bằng
	a. 	b. 0	c. 	d. 
93. bằng
	a. 	b. 3	c. –1	d. 
94. bằng
	a. 0	b. 1	c. 2	d. 
95. bằng
	a. 0	b. –1	c. 	d. 
96. bằng
	a. 	b. 1	c. 	d. 
97. bằng
	a. –8	b. –4	c. 	d. 
98. bằng
	a. –4	b. –1	c. 4	d. 
99. bằng
	a. 	b. –2	c. 	d. 
100. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
101. bằng
	a. –3	b. –1	c. 0	d. 1
102. bằng
	a. 0	b. 1	c. 2	d. 
103. bằng
	a. 	b. 	c. 0	d. 
104. bằng
	a. 	b. 1	c. 2	d. 
105. bằng
	a. 	b. 4	c. 0	d. 
106. bằng
	a. 	b. 2	c. 6	d. 
107. bằng
	a. 	b. 	c. 	d. 
108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được một khẳng định đúng.
Cột trái
Cột phải
1. bằng
a) 
2. bằng
b) 0
3. bằng
c) 
4. bằng
d) 
e)