Toán 10 - Phương pháp giải hệ đối xứng loại II và một số bài tập mẫu

( Phần dựng lượng giỏc với hàm số phớa sau chưa phải làm nha. Kiến thức đú lờn 11, 12 mới dựng được)
2. Hệ đối xứng loại (kiểu) II:
a. Định nghĩa:
Là hệ phương trỡnh cú dạng tổng quỏt (đổi vị trớ x và y cho nhau thỡ phương trỡnh này trở thành phương trỡnh kia)
b. Phương phỏp giải chung: 
Trừ hai phương trỡnh cho nhau, đưa về phương trỡnh tớch, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trỡnh của hệ.
c. Chỳ ý: Ngoài phương phỏp chung ta cú thể sử dụng cỏc phương phỏp khỏc như:
- Phương phỏp đỏnh giỏ.
- Phương phỏp đồ thị.
- Phương phỏp điều kiện cần và đủ.
d. Vớ dụ:
Vớ dụ 11: Giải hệ phương trỡnh (11)
GIẢI
Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:
Với x= y thay vào (*) ta cú :
Với x=1- y thay vào (*) ta cú :
(vụ nghiệm)
Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2).
* Cỏc trường hợp khỏc:
i) Cú những hệ phương trỡnh sau khi đưa ra dạng tớch khụng biểu diễn được x theo y mà phải sử dụng cỏch đỏnh giỏ. 
Vớ dụ 12: Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI
Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:
Do với nờn (***)thay vào (*) ta được: 
Vậy hệ (12) cú 3 nghiệm (0;0) ; (;) ; (-; -)
ii) Cú những hệ phương trỡnh sau khi đưa ra dạng tớch khụng biểu diễn được x theo y mà cũng khụng sử dụng được cỏch đỏnh giỏ. 
Vớ dụ 13. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI
Nhận xột: Nếu dựng cỏch giải thụng thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được:
Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trỡnh của hệ thỡ rất phức tạp. Ta cú thể giải theo cỏch sau:
Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được: 
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 
Vậy hệ phương trỡnh (13) cú 5 nghiệm (0; 0); (;); ( -; -) ; (1; -1) ; (-1; 1).
iii) Cú những hệ phương trỡnh đối xứng loại II khụng giải được theo phương phỏp quen thuộc ta phải dựng ẩn phụ để đưa về hệ phương trỡnh đối xứng loại II giải được theo phương phỏp quen thuộc.
Vớ dụ 14. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI
Đặt 
Hệ (14) trở thành theo phương phỏp thụng thường ta được nghiệm của hệ (14) là (1;1)
Vớ dụ 15. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI:
Đặt 
Hệ phương trỡnh (15) trở thành 
Giải theo phương phỏp thụng thường ta được nghiệm của hệ (15’) là :
Vậy hệ phương trỡnh (15) cú cỏc nghiệm là (0; 0) ; (3; 3) ; (3; -3) ; (-3; 3) ; (-3; -3) ;
 (; ); (; ) ; (; ) ; (; );
 (; ); (;) ; (;) ; (;)
iv) Một số dạng hệ phương trỡnh đối xứng loại II thường được giải theo phương phỏp biến đổi tương đương.
Vớ dụ 16. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI:
Điều kiện 
Cỏc vế của hệ phương trỡnh (16) dều khụng õm. Bỡnh phương hai vế ta được:
=> 
Thay x=y vào (*) ta được:
Vậy hệ phương trỡnh (16) cú nghiệm (11; 11).
v) Một số trường hợp khi điều kiện để cỏc biểu thức cú nghĩa ta suy ra được điều kiện cho ẩn từ đú cú thể dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ bằng phộp lượng giỏc húa. Ta xột vớ dụ sau:
Vớ dụ 17. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI:
Điều kiện 
Đặt 
Biến đổi phương trỡnh về dạng: 
Vậy hệ phương trỡnh cú hai cặp nghiệm (0; 0) ; (1; 1).
vi) Một số trường hợp hệ phương trỡnh đối xứng loại II khụng giải được theo cỏc phương phỏp quen thuộc và cũng khụng chọn được ẩn phụ nào thớch hợp để đưa về cỏc giải quen thuộc. Khi đú ta sẽ dùng phương phỏp đỏnh giỏ hoặc sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số.
Vớ dụ 18. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI:
Điều kiện 
Cộng vế theo vế của 2 phương trỡnh của hệ ta cú: 
(*)
Theo bất đẳng thức Bunhiacụpxki ta cú:
=> 
Do đú (*)
Vậy hệ phương trỡnh (18) cú nghiệm duy nhất (2; 2).
Vớ dụ 19. Giải hệ phương trỡnh 
GIẢI:
Nhận xột: Bài toỏn này khụng thể giải quyết được theo phương phỏp đỏnh giỏ như trờn.
Điều kiện 
Trừ từng vế 2 phương trỡnh của hệ ta được: 
 với 
Với 
Ta thấy f’(t) = 
=> Hàm luụn đồng biến trờn D.
Vậy f(x) = (f(y) x=y thay vào (*) ta được:
Vậy hệ phương trỡnh (19) cú 2 nghiệm (0; 0) ; (2; 2).
3. Mở rộng về dạng toỏn chứa tham số (Tỡm giỏ trị của tham số để hệ phương trỡnh đối xứng cú nghiệm duy nhất).
* Để giải bài toỏn tỡm giỏ trị của tham số để hệ phương trỡnh đối xứng cú nghiệm duy nhất ta dựng phương phỏp điều kiện cần và đủ:
Bước 1: Điều kiện cần
- Nhận xột rằng nến hệ cú nghiệm (x0; y0) thỡ (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Do đú hệ cú nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (*).
- Thay (*) vào hệ ta được giỏ trị của tham số. Đú chớnh là điều kiện cần để hệ cú nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ
- Thay giỏ trị vừa tỡm được của tham số vào hệ và giải để kiểm tra tớnh duy nhất về nghiệm của hệ.
Vớ dụ 20: Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất.
GIẢI:
Bước 1: Điều kiện cần 
Nhận xột rằng nếu hệ cú nghiệm (x0; y0) thỡ (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Do đú hệ cú nghiệm duy nhất khi x0 = y0 . 
 Khi đú:
Đú chớnh là điều kiện cần để hệ cú nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ
- Với m=1 ta được: x+y và xy là nghiệm của phương trỡnh:
 t2 - 3t + 2 = 0 là nghiệm duy nhất của hệ.
- Với m= -1 ta được 
Nhận thấy hệ luụn cú hai cặp nghiệm (0; 1) và (1; 0).
- Với m= - ta được x+y và xy là nghiệm của phương trỡnh:
 t2 - t + = 0 là nghiệm duy nhất của hệ.
Vậy với m=1 hoặc m= - thỡ hệ đó cho cú nghiệm duy nhất.
ệ phương trỡnh (10) cú nghiệm duy nhất (2; 2).